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第15章 轴对称图形与等腰三角形
15.3 第1课时 角的平分线的画法
课堂小结
随堂演练
获取新知
问题导入
例题精讲
问题导入
角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.
怎样得到一个角的角平分线呢？
方法一：用量角器量角的度数可以找出一个角的平分线.
获取新知
方法二：通过折纸可以得到一个角的角平分线.在半透明纸上任画∠AOB，折叠使射线OA，OB重合，得到的射线OP就是∠AOB的平分线.
A
O
B
O
P
A（B）
O
P
A
B
作法：
1.以____为圆心，______长为半径作弧，分别交OA,OB于点M、N；
2.分别以 _____ 为圆心，
__________的长为半径,在角的内部作弧，两弧交于点____；
3.作射线_____；
则_____为所求作∠AOB的平分线.
点O
任意
M、N
大于
P
OP
OP
方法三：尺规作图
A
B
N
M
P
O
想一想：为什么OP是角平分线呢？
B
A
N
M
P
O
已知：OM=ON，MP=NP.
求证：OP平分∠AOB.
证明：在△OMP和△ONP中，
OM=ON，
MP=NP，
OP=OP，
∴ △OMP ≌ △ONP,（SSS）
∴∠MOP=∠NOP,
即OP平分∠AOB.
作图依据：作角平分线的理论根据是三角形全等的判定方法：SSS．
拓展：根据角平分线的作法可以作已知角的四等分线．
易错警示：作角平分线的最后一步“过两点作射线”时，不能简单地叙述为“连接两点”，连接两点是线段，角平分线是射线而不是线段．
①作法中“以适当长为半径”的目的是为方便作图，不能太大或太小；
②“大于 EF的长为半径画弧”是因为若以小于或等于 EF的长为半径画弧时，画出的两弧不能相交或交点不明显．
注 意
问题：当∠AOB =180°时，角平分线怎么画？
A
B
O
P
发现问题：平角的角平分线与平角所在直线垂直。
提出问题：如何经过一点作已知直线垂线？
方案设计：由于这一点可能在直线上或直线外，这个作图要分两种情况：
B
A
C
C
B
A
点C在直线AB上
点C在直线AB外
已知：直线AB和AB上一点C（如图）.
求作：AB的垂线，使它经过点C.
作法：作平角∠ACB的平分线CF.
直线CF就是所求作的垂线.
1.经过已知直线上的一点作这条直线的垂线
已知：直线AB和AB外一点C.
求作：AB的垂线，使它经过点C.
作法：（1）任意取一点K,使K和C在AB的两旁；
2.经过已知直线外一点作这条直线的垂线
A
B
C
D
E
F
K
（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E；
（3）分别以点D和点E为圆心，大于 DE的长为半径作弧，两弧交于点F;
（4）作直线CF.
直线CF就是所求作的垂线.
A
B
C
E
F
K
D
连接CD，CE, DF，EF，
证明：
∵CD=CE，
∴C点在线段DE的垂直平分线上.
∵DF=EF，
∴F点在线段DE的垂直平分线上，
∴CF是线段DE的垂直平分线，
∴CF⊥DE,即CF⊥AB.
思考：为什么这样作出的直线CF就是所求作的垂线？
你能说说道理吗？
A
B
C
例1 已知：如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°。
（1）作∠B的平分线BD交AC于点D ；
过D点作AB的垂线交AB于点E；
（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）
（2）求证：△ADE ≌ △BDE.
例题精讲
A
B
C
D
E
(2)证明：
∵DE⊥AB，
∴ ∠AED=∠BED=90°.
∵BD平分∠ABC，∠B=60°，
∴ ∠DBE=30°.
∵∠A=30°，
∴ ∠A=∠DBE.
在△ADE和△BDE中，
∴ △ADE ≌△BDE(AAS).
DE=DE，
∠A=∠DBE，
∠AED=∠BED，
∵
解：(1)如图所示，
BD，DE即为所求.
例2 如图,已知△ABC,只用直尺和圆规作出△ABC的高AD.(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
解:如图,线段AD就是所要作的高.
随堂演练
1．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图，
则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是(　　)
A．SSS B．ASA
C．AAS D．角平分线上的点到角两边的距离相等
A
2.如图所示的作图痕迹作的是 （ ）
A.线段的垂直平分线
B.过一点作已知直线的垂线
C.一个角的平分线
D.作一个角等于已知角
B
3．如图，请你在下列各图中，过点P画出射线AB或线段AB的垂线．
解：如图：
4.利用直尺和圆规作一个等于45°的角.
作法:
1.作直线AB；
2.过点A作直线AB的垂线AC；
3.作∠CAB的平分线AD.
∠DAB（或∠DAC）就是所要求作的角.
角平分线的画法
方法
(1)折纸法;(2)度量法;(3)尺规作图法.
1.过直线上一点作已知直线的垂线就是作以已知点为顶点的平角的平分线.
2.过直线外一点作已知直线的垂线就是作已知直线上一条线段的垂直平分线.
应用
课堂小结

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