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玉溪一中2025—2026学年上学期高三适应性测试（五）
数学试题评分参考
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D B A B B D C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
题号 9 10 11
答案 AC ABD ACD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
题号 12 13 14
答案
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）
解：在中，，
由，得，
即，所以，
因为，所以
（2）由，得，
因为，所以，
在中，，
在中，，
即，
，得，
即，
即，
因为，，
所以．
16．（15分）
解：，
，
两式作差得，，
当时，，，
所以是首项为，公比为的等比数列，．
故．
，，
，
，
两式作差得，
化简得，
恒成立，，，
当时，
当时，
当时，，，所以，
综上所述，
17．（15分）
解：（1）在图的中，，
所以，，且，，
因为，所以，，则，，
在中，，，，则，
在图的中，，，，
满足，所以，
因为，，，、平面，
所以平面．
因为平面，，
以点为原点，、、的方向分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、，，，
设平面一个的法向量，则
取，可得，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，则，
设平面与平面所成角为，
则，
因此，平面与平面所成角的余弦值为．
18．（17分）
解：（1）由题设，则，故，，
所以函数在处的切线方程为，
整理得；
（2）由题设且，
当时，，即在上单调递减，
此时，在区间上有最小值，可得；
当时，时，时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
若，即时，在区间上有最小值，可得，不符合；
若，即时，在区间上有最小值，可得，不符合；
若，即时，在区间上有最小值，不符合；
综上，；
由题设且，
对于，有，则时，时，
所以在上单调递减，在上单调递增，则，
所以恒成立，则在上恒成立，
令，则，
令，则，
令，则，
所以时，时，则在上单调递减，在上单调递增，
故，易知在上单调递增，且，
所以时，即，时，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，故，
综上，．
19．（17分）
解：（1）设圆，的交点为，则，，
因为，所以，
故点的轨迹曲线是以，为焦点的双曲线，
从而，，即，，
故曲线的方程为．
要证，
只要证线段的中点与线段的中点重合．
设，，其中，
由条件，直线的斜率存在，设的方程为．
因为直线与圆相切，
所以，即
联立，消去并整理得，
所以
从而线段的中点横坐标为．
又直线与直线和交点的横坐标分别为和，
则线段中点的横坐标为，
所以
②由条件，，即，
所以，
由题意知，，．
所以
，
即为定值． 绝密★启用前
玉溪一中2025—2026学年上学期高三适应性测试（五）
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则“”是“”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.若复数，则
A. B. 5 C. D. 1
3.已知向量，若向量在向量上的投影向量为，则
A. B. C. 1 D.
4.已知等比数列满足，，记为其前项和，则
A. B. C. D.
5.已知函数，，，且在区间上单调，则的最大值为
A. B. C. D.
6.若，则
A. B. C. D.
7.在平面直角坐标系中，双曲线：的右焦点为，点，在的右支上，且，点关于原点的对称点为若，则的离心率为
A. B. C. D.
8.已知函数设，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.甲、乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，记事件为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，事件为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，事件为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则
A. 事件、是相互独立事件 B. 事件、是互斥事件
C. D.
10.如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的是
A. 平面PBD1平面
B. A1P平面ACD1
C. 异面直线A1P与AD1所成角的范围是
D. 三棱锥D1-APC的体积不变
11.如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为，则下列结论正确的是
A. 点在曲线上
B. 点在上，则
C. 点在椭圆上，若，则
D. 过作轴的垂线交于两点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的单调递增区间是 ．
13.一个被染满颜料的蚂蚱从数轴上的原点开始跳动，每次跳跃有等可能的概率向左或向右跳动个单位长度，蚂蚱所在的点会留下颜色则蚂蚱跳动次后染上颜色的点数个数的期望 ．
14.在斜中，为锐角，且满足，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）
记的内角，，的对边分别为，，已知．
（1）求；
（2）若，，求．
16．（15分）
已知数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式
（2）设数列的前项和为，且，若对于恒成立，求的取值范围．
17．（15分）
如图，在中，，、两点分别在、上，使现将沿折起得到四棱锥，在图中．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值．
18．（17分）
已知函数为自然常数．
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）若函数在区间上有最小值，求实数的值；
（3）在（1）的条件下，若不等式恒成立，求实数的取值范围．
19．（17分）
已知动圆与动圆，满足，记与公共点的轨迹为曲线，曲线与轴的交点记为，点在点的左侧．
（1）求曲线的方程
（2）若直线与圆相切，且与曲线交于，两点点在轴左侧，点在轴右侧．
①若直线与直线和分别交于，两点，证明：
②记直线，的斜率分别为，，证明：是定值．

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