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2025-2026学年福建省漳平二中高三（上）开学数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，，，，则集合中元素的个数为( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
4.设全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
5.函数的最小值是( )
A. B. C. D.
6.已知，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知命题：“关于的方程无实根”，若为真命题的充分不必要条件为，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.方程的两个不等的实根都大于，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各组集合不表示同一集合的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
10.已知，都是正实数，则下列不等式中恒成立的是( )
A. B.
C. D.
11.已知二次函数，，若对任意，则( )
A. 当时，恒成立
B. 当时，恒成立
C. 使得成立
D. 对任意，，均有恒成立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知集合，，则 ______
13.已知条件：；条件：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是______．
14.不等式对一切非零实数均成立，则实数的最大值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知二次函数图象的顶点在第二象限，且经过点和点，与轴的另一个交点为．
求实数的取值范围；
当面积等于时，求的面积．
16.本小题分
设集合，，若，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知函数．
Ⅰ求不等式的解集；
Ⅱ设函数在上的最小值为，正数，满足，求证：．
18.本小题分
如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花园，要求在上，在上，且对角线过点，已知米，米．
要使矩形的面积大于平方米，则的长应在什么范围内？
当的长度是多少时，矩形的面积最小？并求出最小面积．
19.本小题分
已知函数．
当时，求函数的最小值；
若函数有四个不同的零点，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意知，
因为图象过点，所以，又图象过点，所以，即，
故，
因为顶点在第二象限，故，故，
则的取值范围为；
由得，，令，得，，
则，则，，
由，得，
则，
则，
连接，
则．
16.解：由题意得：
当，即时，集合，结论显然成立；
当时，只需成立，解得．
综上，所求的范围是．
17.解：原不等式可化为，，解得，解得，
所以原不等式的解集为．
Ⅱ当时，单调递增，
所以函数的最小值为，即，
，
当且仅当时，等号成立，所以原不等式得证．
18.解：解：设的长为米
由题意可知：，
，
由得，
，即
解得：
即长的取值范围是．
解法一：，
，
当且仅当，即时，取“”号，此时，
即的长为米，矩形的面积最小，最小为平方米．
解法二：
令得
当时，当时
当时，取极小值，且为最小值，．
即长为米时，矩形的面积最小，最小为平方米．
19. 时，函数，
由于，因此．
当时，取到最小值．
因为函数，
所以函数，
令，
那么函数在有两个不同的根，
即，解得．
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