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2025-2026学年海南省琼海市嘉积中学高三（上）第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足为虚数单位，则复数的虚部为
A. B. C. D.
3.已知，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.一组数据按从小到大排列为，，，，，，如果该组数据的中位数与这组数据的第百分位数相等，则该组数据的平均数为( )
A. B. C. D.
5.声强级单位：由公式：给出，其中为声强单位：若某音源的声强由变为，其声强级由提高到，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数且，若，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
7.已知关于的不等式的解集为，其中，则的取值可以是( )
A. B. C. D.
8.设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则( )
A. B. C. D.
10.眼睛是心灵的窗户，保护视力从青少年开始“近视”设为事件和“老花”设为事件是影响中老年人学习与生活质量的重要视力因素设，，，则( )
A. 与互为对立 B. 与相互独立
C. D.
11.已知定义在上的函数满足：；对，，有；，且，有，则下列选项正确的有( )
A.
B. 不等式的解集为
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设随机变量服从正态分布，且，若，则______．
13.已知函数是定义在上的单调递减函数，则的单调递增区间为______．
14.已知函数，则根为______；若函数有四个零点，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且．
求；
若，求的周长的取值范围．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，为正三角形，，．
证明：平面平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知椭圆：的离心率为，且过点
Ⅰ求椭圆的标准方程；
Ⅱ设、为椭圆的左、右顶点，过的右焦点作直线交椭圆于，两点，分别记，的面积为，，求的最大值．
18.本小题分
已知函数，．
求在处的切线方程；
讨论的单调性；
证明：．
19.本小题分
为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利周年，某校组织相关知识的答题竞赛，每名参赛选手都赋予分的初始积分，每答对一题加分，每答错一题减分已知小明每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响．
求小明答道题后积分小于的概率．
设小明答道题后积分为，求和．
若小明一直答题，直到积分为或时停止，记小明的积分为时最终积分为的概率为，则，．
证明：为等比数列；
求的值．
参考答案
1.
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3.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或；
15.解：在中，，
由正弦定理：，可得：，可得，
因为，故，从而，
又，所以．
在中，由余弦定理有
当且仅当时取等号，
，，，
又，
的周长的取值范围
16.证明：设中点为，连接，，
因为四边形为菱形，，所以为正三角形，
又为正三角形，则，，
因为，所以，
所以，即，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面；
解：由可知，，两两垂直，
以为原点，，，分别为，，轴建立如图所示坐标系，
则，，，
可得，，
易知平面的一个法向量，
设平面的法向量，
则，令，
可得平面的一个法向量，
因为，，，
所以，，
设平面与平面的夹角为，
则，．
所以平面与平面夹角的余弦值为．
17.解：Ⅰ根据题意可得：，，，
解得：，．
故椭圆的标准方程为：．
Ⅱ由Ⅰ知，当直线的斜率不存在时，，于是；
当直线的斜率存在时，设直线：，设，，
联立，得．
，，
于是．
当且仅当时等号成立，此时的最大值为．
综上，的最大值为．
18.由题意可得，所以，又，
所以在处的切线方程为，即；
由题意可得：的定义域为，
当时，，所以在上单调递减；
当时，令，解得，
令，解得；令，解得，
可知在上单调递减，在上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
证明：令，，
则，
由可知，令．
因为在上单调递增，则在上单调递增，
且，
可知在上存在唯一零点，
当，则，即；
当，则，即，
可知在上单调递减，在上单调递增，
则，
又因为，则，
可得，
即，所以．
19.某校组织相关知识的答题竞赛，每名参赛选手都赋予分的初始积分，
每答对一题加分，每答错一题减分，
已知小明每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响，
小明答道题后积分小于，
则小明题都答错，或答对题，答错题，
故所求概率小明答道题后积分小于的概率为；
设小明答道题后积分为，设小明答对的题数为，则他答错的题数为，
所以，
由题意知，
根据二项分布期望和方差公式可得，
根据期望和方差的性质可得；
若小明一直答题，直到积分为或时停止，
记小明的积分为时最终积分为的概率为，则，；
证明：当小明的积分为时，
若小明接下来一题答对，则积分变为，
若小明接下来一题答错，则积分变为，
由全概率公式有，整理可得，
又，
所以为等比数列；
由可得，
所以，
又，所以，
所以
，
所以的值为．
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