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2025-2026学年许昌市禹州第三高级中学集萃校区高一（上）9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，则与大小关系是( )
A. B. C. D.
2.与集合相等的集合是( )
A. B. C. D.
3.命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
4.下列叙述正确的是( )
A. ，
B. 命题“，”的否定是“，且”
C. 命题“，的否定是真命题
D. 设，，则“且”是“”的必要不充分条件
5.如果，是实数，那么“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知，在下列不等式中一定成立的是( )
A. B. C. D.
7.下列函数中，最小值为的是( )
A. B.
C. ， D.
8.已知，，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知实数，满足，，则( )
A. B. C. D.
10.下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，则 D. 若，则
11.已知，，若，则( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最大值为 D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.牛栏山一中高一年级某班有学生人，其中音乐爱好者人，体育爱好者人，还有人既不爱好体育也不爱好音乐，则这个班级中既爱好体育又爱好音乐的有______人
13.集合或，，若，则实数的取值范围是______．
14.已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，，．
若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知集合，．
若，求实数的值；
若，且，求的值；
求实数的值使得．
17.本小题分
某学生社团设计一张招新海报，要求纸张为长、宽的矩形，面积为版面设计如图所示：海报上下左右边距均为，文字宣传区域分大小相等的三个矩形栏目，栏目间中缝空白的宽度为三个栏目的文字宣传区域面积和为，
用、表示文字宣传区域面积和；
如何设计纸张的长和宽，使得文字宣传区域面积和最大？最大面积是多少？
18.本小题分
若，求的最大值；
已知，求的最大值；
设正实数，，满足，求的最小值．
19.本小题分
已知集合，集合满足且．
判断，，中的哪些元素属于；
证明：若，，则；
证明：若，则．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.，，
“”是“”的充分不必要条件，．
则，解得．
故实数的取值范围为；
，当时，，解得，此时成立；
当时，，解得．
结合，，则或，解得或，故此时．
综上，若，则实数的取值范围为．
16.若，
则，
解得；
由题意可知，，
若，且，
当时，，符合题意，
当时，即，则，
所以无解或，
所以，
综上，或；
由，且，则，即，
当时，无实数根，
即，
解得；
当时，有两相等实数根，
则，
解得，符合题意；
当时，有两相等实数根，，则，
此时为，，则，不合题意；
当时，有两实数根和，
此时且，
解得且，
则，
故综合上述，的取值范围为或．
17.由题意可得每一栏的宽为，长为，
所以文字宣传区域面积和；
因为，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
所以当纸张为长为、宽为时，文字宣传区域面积和最大，最大值为．
18.因为，所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最大值为．
因为，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最大值为．
因为正实数，，满足，则，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．
19.解：因为，所以；
因为，所以；
因为没有倒数，所以；因为，
所以；综上可得，；
证明：若，，则；设，，，，，为整数，
所以，
由于，都是整数，所以，当，时，，，
所以，所以；
证明：因为，
所以，
所以都是整数，
所以为整数，
所以，假如，则，则应为的倍数，
设为整数，若，则不是的倍数；若，
则不是的倍数；
若，则不是的倍数；
所以即．
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