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2025-2026学年江苏省南通市如皋市江安中学高一（上）学情调研
数学试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，，则满足条件的实数的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.设“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.下列一定正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
4.已知命题：，，若命题是假命题，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.设集合，其中为自然数集，，，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
6.命题，“关于的方程的根为正实数”为真命题的一个必要不充分条件是，( )
A. B. C. D.
7.已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.若，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中假命题有( )
A. “”是“”的必要条件
B. “”是“不等式在上恒成立”的充要条件
C. 的最小值是
D. 的最小值为
10.若对于任意，不等式恒成立，则实数的值可能是( )
A. B. C. D.
11.已知，且，则下列不等式恒成立的是( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最大值为 D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.不等式的解集是______．
13.已知命题：“，一元二次不等式”是真命题，则实数的取值范围是______．
14.若对于任意的实数，恒成立，则实数的最大值是 ，此时 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
若，求实数的值；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
计算或化简．
化简：；
计算：；
已知，求的值．
17.本小题分
已知不等式的解集为或．
求实数，的值；
解关于的不等式．
18.本小题分
设命题：关于的不等式有解，命题：关于的方程有两个不相等的负数根．
若命题为真命题，求实数的范围：
若命题和命题中至少有一个是真命题，求实数的范围．
19.本小题分
已知正实数、满足．
求的最小值；
求的最小值；
求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.由得，即，解得；
因为，所以，
由知可能为，，，；
当，即无解，所以，解得；
当，即有两个等根为，所以依据韦达定理知所以无解；
当，即有两个等根为，所以依据韦达定理知所以无解；
当，即有两个根为，，所以依据韦达定理知，解得；
综上所述，或．
16.解：原式；
原式；
对两边平方，可得，
再对两边平方，得，
所以，
则．
17.解：因为不等式的解集为或，
所以，且的两根为，，
所以，所以，．
，
即，
若，则，
若，则或，
若，
当即时，，
当即时，无解，
当即时，，
综上所述：时，不等式的解集为，
时，不等式的解集为，
时，不等式的解集为，
时，不等式的解集为，
时，不等式的解集为．
18.设关于的方程两根为，，
故，解得，
故实数的范围为；
命题：关于的不等式有解，
若，则需或，解得或，
若，则，解得，满足要求；
综上，命题为真命题，需满足，
当命题和命题均为假命题时，需，解得，
所以若命题和命题中至少有一个是真命题，则．
19.解：因为、是正数，所以
，
当且仅当时等号成立，
故的最小值为
，
即， ， ，，，
因为，，所以，，
则，
当且仅当、时等号成立，故的最小值为
因为，，，
所以
，
当且仅当、时等号成立，
故的最小值为．
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