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2025-2026学年甘肃省平凉市庄浪县紫荆中学高二（上）第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等差数列中，已知，，则公差等于( )
A. B. C. D.
2.已知正项等比数列，满足，，则( )
A. B. C. D.
3.某体育场一角看台的座位是这样排列的：第排有个座位，从第排起每一排都比前一排多个座位，则第排有个座位．
A. B. C. D.
4.数列，，，，前项和( )
A. B.
C. D.
5.已知等差数列的前项和为，且，则( )
A. B. C. D.
6.已知各项均为正数的等比数列，，则( )
A. B. C. D.
7.在数列中，，，则( )
A. B. C. D.
8.数学上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，它是指对于任意一个正整数，如果是奇数，则乘加如果是偶数，则除以，得到的结果再按照上述规则重复处理，最终总能够得到对任意正整数，记按照上述规则实施第次运算的结果为，则使的所有可能取值的个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列，则下列结论正确的是( )
A. 等差数列的公差为
B. 等差数列的通项公式为
C. 等差数列是一个单调递增的数列
D. 若，则
10.若数列是公比为的等比数列，则下列说法不正确的是( )
A. 若数列是递增数列，则，
B. 若数列是递减数列，则，
C. 若，则
D. 若，则是等比数列
11.已知递减的等差数列的前项和为，若，则( )
A. B. 当时，最大
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在等差数列中，，，则 ______．
13.已知是公比为的等比数列，若，则 ______．
14.已知，当时，，则的通项公式为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为等差数列的前项和，已知，．
求数列的通项公式．
求，并求的最小值．
16.本小题分
已知是等差数列的前项和．
证明：是等差数列；
设为数列的前项和，若，，求．
17.本小题分
已知数列满足，且．
求，；
证明：数列是等差数列；
求数列的通项公式．
18.本小题分
已知公差为的等差数列的前项和为，且．
求的通项公式；
若，数列的前项和为，证明：．
19.本小题分
已知正项数列的前项和为，且．
求数列的通项公式；
若，数列的前项和为，求使的最小的正整数的值．
答案解析
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：为等差数列的前项和，，．
，
解得，，
数列的通项公式．
．
时，的最小值为．
16.解：证明：设等差数列的公差为，
则，
即有，
则是公差为的等差数列；
，
由，，可得，，
解得，，
则．
17.由数列满足，且，
可得，．
证明：由，
可得，即，
所以数列是首项，公差的等差数列．
由等差数列的通项公式，可得：，
所以．
18.解：因为等差数列的前项和为，且，
所以，
解得，
故，
即的通项公式为；
证明：因为，
所以
，
因为，
所以．
19.当时，由，
可得，解得，
当时，由，
得，
两式相减得，
即．
是正项数列，
．
数列是以为首项，为公差的等差数列，
．
由知，
，
，
两式相减得，
．
，
单调递增，
当时，，
当时，，
使的最小的正整数的值为．
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