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1.4.1线段垂直平分线的性质
题型一、线段垂直平分线的性质
1．如图所示，在中，，是的垂直平分线，垂足为E．若，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，某景区有，，三处景点，景点之间均以最短路线修建公路，为了便于游客游玩与休息，现计划建设一座游客休息厅提供给游客休息，为了确保各个景点到游客休息厅的距离相等，则游客休息厅应建设在（ ）
A． ABC三条中线的交点 B． ABC三边垂直平分线的交点
C． ABC三条高的交点 D． ABC三条角平分线的交点
3．如图，在 ABC中，，边的垂直平分线和边的垂直平分线与边分别相交于点E，F，连接，，则的周长为（ ）
A．36 B．18 C．32 D．不能确定
4．如图，在 ABC中，直线垂直平分边，分别交，于点，，连接．若，，则的长为 ．
5．如图所示，在中，，边上的垂直平分线交于，交于，，的周长为，求的长．
6．如图，在中，，，，．在上有一点D，恰好在的垂直平分线上．
(1)求 ABC的面积；
(2)连接，求的周长．
题型二、线段垂直平分线的判定
7．到三角形三个顶点距离都相等的点是（ ）
A．三角形的三条角平分线的交点
B．三角形的三边垂直平分线的交点
C．三角形的三条高线的交点
D．三角形的三条中线的交点
8．如图，直线经过线段的中点，点在直线上，且，则下列结论：；；平分；垂直平分线段．其中正确的个数有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
9．如图，在 ABC中，，于点，点是上一点，连接，，若，则线段的长度为 ．
10．如图，四边形中，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．相交于点，请结合图形写出一个正确的数学结论 ．
11．已知：如图，，点E在上，求证：．
12．如图，在 ABC中，的垂直平分线交于点M，交于点D，的垂直平分线交于点N，交于点E，与相交于点O， ADE的周长为10．
(1)求的长；
(2)试判断点O是否在边的垂直平分线上，并说明理由．
题型三、线段垂直平分线的作图问题
13．请确定一个点P，使得点P到和的距离相等，且满足它到点A和点C的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹．）
14．如图，在上求作一点D，使（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

15．某社区经业主商讨决定在街道m上建一个垃圾站点D和鲜奶站E，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不要求写作法）．
(1)如图1，小区A，B在街道m的异侧，要使垃圾站点D到小区A，B的距离相等，请确定垃圾站点D的位置（要求利用尺规作图）；
(2)如图2，小区A，C在街道m的同侧，要使鲜奶站E到小区A，C的距离之和最短，请确定鲜奶站E的位置．
题型四、线段垂直平分线的有关计算问题
16．如图， ABC中，垂直平分，交 于点F，交于点E，且．
(1)若，求的度数；
(2)若 ABC周长为，求的长．
17．如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，，垂足为D，且，连接．
(1)求证：；
(2)若，求的周长．
题型五、线段垂直平分线的有关证明
18．如图，在 ABC中，边、的垂直平分线分别交于点、，直线、交于点．
(1)求证：点在边的垂直平分线上；
(2)若，则的大小为 度．
19．如图，点在 ABC的边上，，，垂足分别是点，，且，连接，，两者相交于点．求证：平分．
20．如图，是 ABC的角平分线，，，垂足分别是E，F，连接，与相交于点G．判断与的位置关系，并证明你的结论．
题型六、利用线段垂直平分线解决线段的和差问题
21．如图，在 ABC中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于.
(1)求证：.
(2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想；
(3)若，，则________.
题型七、利用线段垂直平分线解决最值问题
22．如图，在 ABC中，直线是线段的垂直平分线，点是直线上的一个动点，连接、，若，，则周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
23．如图，在中，，，，垂直平分，点P为直线上一动点，则周长的最小值是 ．

题型八、线段垂直平分线与动点问题
24．如图，在四边形中，，，，，动点E从A点出发，以的速度向B点移动，设移动的时间为.
(1)当x为何值时，点E在线段的垂直平分线上？
(2)在(1)的条件下，判断与的位置关系，并说明理由．
参考答案
题型一、线段垂直平分线的性质
1．C
【分析】本题考查线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键．由是的垂直平分线，，，即可得到答案．
【详解】解：∵是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴．
故选：C
2．B
【分析】本题主要考查的是线段垂直平分线的性质在实际生活中的应用；
由于各个景点到游客休息厅的距离相等，所以根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知是 ABC三边垂直平分线的交点．由此即可确定休息厅的位置．
【详解】解∶ ∵各个景点到游客休息厅的距离相等，
∴休息厅选择 ABC三边垂直平分线的交点，
故选：B．
3．A
【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到，，再根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵边的垂直平分线和边的垂直平分线与边分别相交于点E，F，
∴，，
∵，
∴的周长，
故选：A．
4．
【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，理解线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质回答即可．
【详解】解: 直线垂直平分边，分别交，于点，，
，
，
，
故答案为：．
5．解：边上的垂直平分线交于，交于
的周长为
．
6．（1）解：；
（2）解：如图：
∵点D在线段的垂直平分线上，
，
的周长为．
题型二、线段垂直平分线的判定
7．B
【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，根据到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线上进行作答即可．
【详解】解：∵到三角形三个顶点距离都相等的点，
∴该点是三角形的三边垂直平分线的交点，
故选：B
8．C
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据等腰三角形的性质，线段垂直平分线的判定等知识点进行判断即可．
【详解】解：直线经过线段的中点，点在直线上，且，
，平分，垂直平分线段，
故正确，
条件不足，无法求出的度数，故错误；
故选：C．
9．27
【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，垂直平分线的判定与性质，先因为，于点，则，故是线段的垂直平分线，即可作答．
【详解】解：∵，于点，
∴，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
故答案为：27．
10．（答案不唯一）
【分析】此题考查了垂直平分的判定，根据垂直平分线的判定即可得出结论．
【详解】解：，理由如下：
∵，，
∴在的垂直平分线上，
即是线段的垂直平分线，即，
故答案为：（答案不唯一）．
11．解：∵
∴点A在的垂直平分线上，
∵，
∴点D在的垂直平分线上，
∴是线段的垂直平分线，
∵点E在上，
∴．
12．（1）垂直平分，
，
同理，
；
（2）点在边的垂直平分线上，
理由：连接，，，
与是，的垂直平分线，
，，
，
点在边的垂直平分线上．
题型三、线段垂直平分线的作图问题
13．解：如图，点P为所作．
14．解：∵，点D在上，
∴点D在线段的垂直平分线上．
如图，点D即为所求．

15．（1）解∶如图1作线段的垂直平分线，交直线m于点D，则点D即为所求．
（2）解：如图， 取点C关于直线m的对称点，连接交直线m于点E．此时，为最小值，则点E即为所求，
题型四、线段垂直平分线的有关计算问题
16．（1）解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵ ABC周长为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
即，
∴．
17．（1）证明：∵，垂足为D，且，
∴垂直平分，
∴，
∵垂直平分，交于点F，交于点E，
∴，
∴；
（2）解：∵垂直平分，交于点F，交于点E，
∴．
∵，
∴．
由（1）得，
∴的周长．
题型五、线段垂直平分线的有关证明
18．（1）证明：
如图，连接，
∵垂直平分线段，垂直平分线段，
∴，
，
∴点在边的垂直平分线上；
（2）解：
∵垂直平分线段，垂直平分线段，
，
，
，
，
，
，
∴的大小为，
故答案为：20．
19．证明：∵，
，
在和中，，
，
，
∴点在线段的垂直平分线上，
，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴是的垂直平分线．
20．解：垂直平分．
证明：平分，，，
．
在和中，，，
．
．
点A在的垂直平分线上．
又
点D也在的垂直平分线上．
垂直平分．
题型六、利用线段垂直平分线解决线段的和差问题
21．（1）证明：如图，连接、，
∵，D为中点，
∴，
∵，，且平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（2）解：，证明如下：
在和中，
，
∴，
∴，
由（1）知，
∴．
即；
（3）解：由（2）知，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2．
题型七、利用线段垂直平分线解决最值问题
22．B
【分析】本题考查了垂直平分线的性质，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键．
连接，由直线是线段的垂直平分线，则，又周长为，则当点三点共线时，周长最小，为，然后代入即可求解．
【详解】解：连接，
∵直线是线段的垂直平分线，
∴，
∴周长为，
则当点三点共线时，周长最小，
∴周长的最小值为，
故选：．
23．17
【分析】此题考查的是线段垂直平分线的性质，连接，如图，根据线段垂直平分线的性质得到，则，根据三角形三边之间的关系得到（当且仅当A、P、C共线时取等号），则的最小值为的长，所以周长的最小值．
【详解】解：连接，如图，

∵垂直平分，
∴，
∴，
∵（当且仅当A、P、C共线时取等号），
∴的最小值为的长，
∴周长的最小值．
故答案为：17．
题型八、线段垂直平分线与动点问题
24．（1）解：根据题意，，，
∵，
∴，时，
∵，
∴，
∴，
∴点E在线段的垂直平分线上，
∴．
故当时，点E在线段的垂直平分线上．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．

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