资源简介

1.4.2角平分线的性质
题型一、角平分线的性质
1．如图，平分，，，垂足分别为，．若，则（ ）
A．2 B．3 C．1.5 D．2.5
2．如图，在 ABC中，平分，于点，是线段的中点，若，，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在 ABC中，，平分，如果，点D到的距离是 ．
4．如图所示，在中，若，的平分线交于点D，且，点E是边上的一动点，则的最小值为 ．
5．如图，平分，，，A，B为垂足，交于点N．求证：．
6．如图，在直角 ABC中，，的平分线交于点，若垂直平分，求的度数．
7．如图，在 ABC中，平分，过点作于点，作于点．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
题型二、角平分线的性质与面积问题
8．如图，在中，，平分，交于点，于点，若，，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在 ABC中，的平分线交于点于D，如果，且三角形的面积，那么的长为 （ ）
A． B． C． D．无法确定
10．如图，在 ABC中，，是 ABC的角平分线，于点E，，，则的面积是 ．
11．如图，在 ABC中，，是的平分线，如果 ABC的面积为 ，那么的面积为 ．
12．如图，在中，，．
(1)请用尺规作出的平分线，交于点D；
(2)若，求的面积．
13．学校数理学习小组活动纪实：已知：在 ABC中，D是上一点．
小宜说：如图1，若是边上的中线，则利用三角形的面积公式可以得出：；
小昌说：如图2，若点D是边上任意一点，则有；
小石说：如图3，若是 ABC的角平分线时，则有；
小榴说：受前面同学的启发我想到了：当是 ABC的角平分线时，有，请你为小榴同学说明理由．
题型三、角平分线的判定
14．如图，于于则（ ）
A． B． C． D．
15．如图，已知点O是 ABC内一点，且点O到三边的距离相等，，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
16．如图，在中，，点在边上，，垂足为点，，，则的度数为 ．
17．如图，在四边形中，，，垂足为点E．如果，，那么 ．
18．如图，，于点E，交的延长线于点D，且，求证：是的平分线．
19．如图，已知，，垂足分别为点，，且，与相交于点，连．求证：平分．
20．如图，在 ABC中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作交的延长线于点F，且，连接．求证：平分．
题型四、角平分线的实际应用与作图
21．某镇要在三条公路围成的一块三角形平地内修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（　　）
A．仅有一处 B．有四处 C．有七处 D．有无数处
22．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 ．
23．为响应眉山市委市政府创建“全国卫生城市”的工作，某乡镇拟在两个村庄、与两条公路、附近修建一个垃圾中转站，要求垃圾中转站到两条公路、的距离相等，到两个村庄、的距离也相等并且运送距离和最短，那么点应选在何处？请在图中用尺规作图作出点的位置（不写已知、求作、作法，只保留作图痕迹）
24．（1）“西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路和两个城镇A、B（如图），准备建一个燃气控制中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇的距离也相等，请你利用直尺和圆规作出中心站P的位置．（作出满足题意的一处位置即可）
（2）如图②：在网格中，已知线段，以格点为端点画线段，使它与组成轴对称图形．（画出所有可能）
题型五、角平分线的有关计算与证明
25．如图，在 ABC中，点在边上，，的平分线交于点，过点作，垂足为，且，连接．
(1)求的度数；
(2)求证：平分；
(3)若，三角形的面积是16，求的长．
题型六、利用角平分线的性质解决线段和差问题
26．已知：如图，四边形中，∠B=90°，，为的中点，平分．求证：
(1)平分；
(2)．
27．如图， ABC中，，点D，E分别在边上，．
(1)求证：平分；
(2)写出与的数量关系，并说明理由．
28．如图，交的延长线于，于，若，．
(1)求证：平分；
(2)猜想、与之间的数量关系，并说明理由．
题型七、角平分线的常用辅助线问题
29．下面是多媒体上展示的一道习题，请你将解题过程补充完整．
试题：如图，在四边形中，平分，．
求证：
证明：延长，过点C作，垂足分别是E和F．
∵，，
__________
平分，
__________，
在和中，
∵，
（__________，写出判定依据，用字母表示），
__________．
__________（平角的性质）
__________
30．如图，已知F、G是上两点，M、N是上两点，且，，试问：点P是否在的平分线上？
31．如图，在 AOB中，，，平分交于点，，交的延长线于点.求证：.

32．如图，为 ABC的中线，，分别是和的角平分线．求证：．
参考答案
题型一、角平分线的性质
1．B
【分析】本题主要考查角平分线的性质，角的平分线上的点到角的两边的距离相等．利用角平分线的性质即可求解．
【详解】解：∵平分，，，，
∴．
故选：B．
2．D
【分析】本题考查三角形角平分线的性质，中线的知识，解题的关键是掌握三角形角平分线的性质，过点作交于点，根据角平分线的性质，则，根据是线段的中点，则，再根据，即可解答．
【详解】解：过点作交于点，
∵平分，于点，
∴，
∵是线段的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：D．
3．2
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D作于E，由角平分线的性质得到，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，过点D作于E，
∵平分，，，
∴，
∴点D到的距离是2，
故答案为：2．
4．4
【分析】本题主要考查了角平分线的定义，垂线段最短，由垂线段最短可知，当时，有最小值，则此时根据角平分线的定义可得．
【详解】解：由垂线段最短可知，当时，有最小值，
∵的平分线交于点D，，，
∴，
∴的最小值为4，
故答案为：4．
5．证明：平分，
，
在和中，
，
．
6．解：平分，
，
又垂直平分，
，
，
，
，，
，
，
即，
．
7．（1）证明：平分，，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，，，，，
，
，
．
题型二、角平分线的性质与面积问题
8．C
【分析】本题考查的是角平分线的性质，关键掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．先根据角平分线的性质求出DE的长，再由三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】解：平分，，，
，
的面积，
故选：C．
9．B
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积计算，作交于点E，作交于点F，连接，证明，再利用即可求出的长度．
【详解】解：作交于点E，作交于点F，连接，
∵平分，平分，
∴，
∵，
即，
∴．
故选：B．
10．15
【分析】本题考查的是角平分线的性质，根据角平分线的性质求出，再根据三角形面积公式计算即可．
【详解】解：∵是的角平分线，，
∴，
∴，
故答案为：15．
11．
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，过点D分别作的垂线，垂足为E、F，由角平分线的性质可得，则可证明，据此求解即可．
【详解】解：如图所示，过点D分别作的垂线，垂足为E、F，

∵是的平分线，，
∴，
∵，
∴，
故答案为；．
12．（1）解；如图所示，线段和点D即为所求；
（2）解：如图所示，过点D作于E，
∵平分，且，，
∴，
∴．
13．证明：作，
是 ABC的角平分线，
，
，
又∵，
．
题型三、角平分线的判定
14．C
【分析】本题考查了角平分线判定定理的应用，注意：到角的两边的距离相等的点在角平分线上．
根据角平分线判定定理得出P在的角平分线上，推出，求出即可．
【详解】解：∵于M，于N，，
∴P在的角平分线上，
∵
∴．
故选C．
15．C
【分析】本题主要考查角平分线的判断，三角形内角和定理，掌握角平分线的判断和三角形内角和定理是解题的关键．由题意，分别为和的角平分线，利用三角形内角和即可求得．
【详解】解：∵点O到三边的距离相等，
∴平分，平分，
∴
故选：C．
16．
【分析】本题考查角平分线的判定，三角形的内角和定理，先利用三角形的内角和定理，求出的度数，证明平分，进而求出的度数即可．
【详解】解：∵，，
∴；
∵，，，
∴平分，
∴；
故答案为：．
17．
【分析】本题考查等腰三角形性质，角平分线判定及性质，三角形内角和定理．根据题意过点作，再利用已知条件得到平分，再利用等腰三角形性质及三角形内角和定理即可得到本题答案．
【详解】解：过点作，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴平分，
∴，
∵，
∴为等腰三角形，
∴平分，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
18．证明：，，
，
在和中，
，
，
，
，，
点C在的平分线上，
∴是的平分线．
19．证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴平分．
20．证明：如图，过点E作于点G，于点H．
∵，，
∴．
∵
∴，
∴，即平分．
又∵，，
∴．
∵是角平分线，，，
∴，
∴，
∴点E在的平分线上，
∴平分．
题型四、角平分线的实际应用与作图
21．A
【分析】本题考查了角平分线的性质．解答此题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理．
利用角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等，所以是三个内角平分线的交点有个，所以只有三个内角平分线的交点符合要求．
【详解】解：解：∵砂石场到三条公路的距离相等，
∴该点应该是三个角的角平分线的交点，
∵要求砂石场要在三条公路围成的一块平地上修建，
∴满足条件的只有一处，即为三个内角的角平分线的交点．
故选：A
22． ABC三条角平分线的交点处
【分析】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握：角平分线上的点到角两边的距离相等．据此解答即可．
【详解】解：∵要使凉亭到草坪三条边的距离相等，
∴凉亭的位置应选在 ABC三条角平分线的交点处．
故答案为： ABC三条角平分线的交点处．
23．解：如图所示：点即为中转站．
作线段的垂直平分线，
两条公路的夹角的平分线，
两条线相交于点．
24．解：（1）如图所示，分别作线段的垂直平分线和夹角的角平分线，二者的交点即为点P的位置；
（2）如图所示，线段即为所求．
题型五、角平分线的有关计算与证明
25．（1）解：∵，
，
，
，
∵∠BAE=∠BAD+∠CAD,∠BAD=100°，
，即．
（2）证明：过点作交于点交于点，
∵∠F=90°,∠AEF=50°，
，
由（1）可知，，
，
平分，
∵EF⊥AF,EG⊥AD，
，
平分，
，
∵EF⊥BF,EH⊥BC，
平分．
（3）解：∵S ACD=16，
，
，
∵AD=6,CD=10,EG=EH，
，
，
．
题型六、利用角平分线的性质解决线段和差问题
26．（1）证明：过点作于点，
∵∠B=90°，
∴．
∵平分，
∴．
∵为的中点，
∴．
∴．
∵，
∴
∴．
∵，，
∴平分．
（2）由（1）得，
∵，，
∴．
∴．
同理，，
∵，
∴．
27．（1）证明：如图：过点D作于点F，
∴，
∵，
∴．
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴点D在的平分线上，
∴平分．
（2）解：，理由如下：
由（1）知，平分，
∴．
在和中，
，
∴，
∴．
由（1）知，，
∴，
∴．
28．（1）解：证明：，，
，
在和中，
，
，
，
，，
平分；
（2）．理由如下：
，
，
在和中，
，
，
，
．
题型七、角平分线的常用辅助线问题
29．证明：延长，过点C作，垂足分别是E和F．
∵，，
，
平分，
∴，
在和中，
∵，
∴，
．
∵∠CDF+∠ADC=180°（平角的性质），
故答案为：90 ，，，，，，180，180．
30．解：点P在的平分线上．
理由：过点P分别向，作垂线，
∵，，，，
∴，
∴点P是在的平分线上．
31．证明：延长，并交于，

∵BD平分，，
，，
在和中
，
∵∠AOB=90°，，，
，
∵∠AOB=90°，
，
在和中
，
，
，
．
32．证明：在上截取，连接，．
∵是边上的中线，
∴．
∵平分，
∴．
又∵，
∴．
∴．同理，
∴．
在中，∵，
∴．

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