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1.5等腰三角形--等腰三角形的性质
题型一、等腰三角形的边与角
1．等腰三角形的两边分别是8、17，则它的周长是（ ）
A．25 B．33 C．42 D．33或42
2．如果 ABC是等腰三角形，，那么的度数不可能是（ ）
A． B． C． D．
3．已知 ABC中，，是边上的高，，那么的度数是 ．
4．一个等腰三角形的周长是．
(1)若腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长．
(2)若其中一边的长为，求这个等腰三角形其余两边的长．
题型二、等边对等角
5．如图，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．随着钓鱼成为一种潮流，如图1所示的便携式折叠凳成为热销产品，图2是折叠凳撑开后的侧面示意图，已知，凳腿与地面所成的角，则为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在 ABC中，，通过尺规作图，得到直线，仔细观察作图痕迹，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，若，则的度数为 ．
题型三、等边对等角与角的计算和证明
9．如图，在 ABC中，点D在边上，．若，求的度数．
10．如图，在 ABC中，点在上，且，，求的度数．
11．如图，，，连接交于点O，．求证：．
12．如图，在 ABC中，，延长至，使得，连接，再延长至，使得，连接．求证：．

13．如图，平分，，，垂足分别为，．求证：．
14．如图，已知，在 ABC中，，D是上一点，且，E为上的一点，交于F，．
(1)求证：；
(2)求证：．
题型四、三线合一的性质
15．如图，在 ABC中，是边上的中线，平分分别交、于点、，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
16．如果一个等腰三角形一腰的垂直平分线恰好经过底边的中点，那么这个等腰三角形的顶角的度数是（ ）
A． B． C． D．
17．如图，在 ABC中，，D为的中点，连接，延长至点E，使，连接，，则的大小为 ．
题型五、与三线合一有关的计算与证明
18．如图，在 ABC中，，D是边上的中点，，求和的度数．
19．如图，在 ABC中，，为 ABC的中线，点E在上，，连接若，求的度数．
20．如图，点在线段上，，，，平分，交于点，求证：．
21．如图，AB∥CD，AE＝DC，AB＝DE，EF⊥BC于点F．
求证：（1）△AEB≌△DCE；
（2）EF平分∠BEC．
22．如图，在 ABC中，，D是的中点，E是上任意一点，连接，，试说明：．
23．如图，在 ABC中，，为的中点，于，于．求证：．

题型六、等腰三角形与基本作图问题
24．如图，已知 ABC，点在边上，且．
(1)尺规作图：作出点；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)若，且，求的度数．
25．已知：如图，在 ABC中，，．
(1)求作边的垂直平分线，交于点、交于点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，连接，求的角度
题型七、等腰三角形与辅助线问题
26．如图，已知：，，．求度数．
27．如图，，，求证：平分；
题型八、等腰三角形与分类讨论思想
28．如图，在 ABC中，，，在射线上找一点D，使为等腰三角形，求的度数．
29．如图是等腰直角三角形，，O是内部的一个动点，是等腰直角三角形，．
(1)求证：；
(2)若是等腰三角形，，求的度数．
题型九、等腰三角形与新定义问题
30．若等腰三角形的顶角为，则这个三角形称为黄金三角形．如图，在 ABC中，，点在边上，且．
(1)如图，求的度数，并直接写出图中所有的黄金三角形；
(2)若为线段上的点，过作直线于，分别交直线，于点，，如图，猜想线段、、之间的数量关系，并说明理由．
题型十、等腰三角形与动点问题
31．如图，在 ABC中，是 ABC边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒1个单位长度，点从点B开始沿方向运动，且速度为每秒2个单位长度，它们同时出发，设出发的时间为秒．
(1)______________；当点在边上运动时，_____________；（用含的式子表示）
(2)当点在边上运动时，某时刻是等腰三角形，请计算运动时间;
(3)当点在边上运动时，出发_____________秒后，是以或为底的等腰三角形．
题型十一、等腰三角形与几何变式探究问题
32．在 ABC中，，点在射线（点不与点，重合）上运动，连接，作，交射线于点．

(1)如图1，点在线段上运动，当时．
①求证：；
②若，求边的长．
(2)如图2，点在线段的延长线上运动，当时，（1）中①的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
(3)如图3，若，在线段的延长线上是否存在一点，使 ADE是以为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出的度数；若不存在，请说明理由．
参考答案
题型一、等腰三角形的边与角
1．C
【分析】本题考查了三角形的三边关系、等腰三角形的定义．分①腰长为8和②腰长为17两种情况，再结合三角形的三边关系，利用三角形的周长公式即可得．
【详解】解：由题意，分以下两种情况：
①当腰长为8时，则这个等腰三角形的三边长分别为8、8、17，
此时，不满足三角形的三边关系，舍去；
②当腰长为17时，则这个等腰三角形的三边长分别为8、17、17，
此时，满足三角形的三边关系，
所以它的周长为；
综上，这个等腰三角形的周长为42，
故选：C．
2．C
【分析】题考查了三角形内角和定理，等边对等角．根据等腰三角形的性质，分情况讨论为顶角或底角，结合三角形内角和定理，排除不可能的情况．
【详解】解：当为顶角时：
和相等，由内角和定理得：；
当为底角时：另一底角也为，
当为顶角：；
当也为底角：；
综上，的度数不可能是，
故选：C．
3．或
【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，分情况讨论：当为锐角三角形时，当 ABC钝角三角形时，结合等腰三角形的性质，即可求解．
【详解】解：如图①，当 ABC为锐角三角形时，；
如图②，当 ABC钝角三角形时，，
所以．
综上，的度数为或．
故答案为：或．
4．（1）解：设等腰三角形的底边长为，则腰长为，
由题意得：，
解得：
∴，这个等腰三角形的底边长为，腰长分别为，，
即各边长分别是；
（2）当腰为时，底边长为： ，
∴其余两边分别为，此时能构成三角形；
当底为时，腰长为：，
∴其余两边分别为，此时能构成三角形；
综上所述：其余两边分别为与，或与．
题型二、等边对等角
5．C
【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握相关知识．由平行线的性质可得∠ACD=∠1=70°，由可得，最后根据三角形的内角和定理求解即可．
【详解】解：，
∴∠ACD=∠1=70°，
，
，
，
故选：C．
6．B
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握等边对等角是解题的关键．由等腰三角形的性质得，再利用三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：，，
，
，
故选：B．
7．C
【分析】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，垂直的定义，先根据作图得出是的垂直平分线，得出，推出，再根据垂直的定义得出，求出，最后可得出答案．
【详解】解：根据作图可知，是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
8．
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，等边对等角，三角形外角的性质，先证明 ABC是等边三角形，得到，再由等边对等角得到，则由三角形外角的性质可得答案．
【详解】解：∵，
∴ ABC是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
故答案为；．
题型三、等边对等角与角的计算和证明
9．解：，
，
，
，
是的外角，
，
．
10．解：，
，
，
，
，
，
11．证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
12．解：∵在 ABC中，，
，
，，
．
13．证明：∵平分，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
14．（1）证明：，，
，
．
又是上一点，
．
在与中
，
；
（2）证明：，
．
又中，
，
，
；
题型四、三线合一
15．D
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理．根据等腰三角形的三线合一得，从而得，再根据角平分线定义可得，据此计算即可求解．
【详解】解：∵，是边上的中线，
∴，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
故选：D．
16．A
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，
先画出图形，可知垂直平分，点D是边的中点，根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质得，，则答案可得．
【详解】解：如图所示，
根据题意可知垂直平分，点D是边的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：A．
17．110
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，根据三线合一得到，利用等边对对角得到，再根据求解，即可解题．
【详解】解：在中，，D为的中点，
，即，
，，
，
；
故答案为：．
题型五、与三线合一有关的计算与证明
18．解：，D是边上的中点，
，，
，
；
故：，．
19．解：，为的中线，
平分，，
平分，
，
，
，
．
20．证明：∵AD∥BE
∴∠A=∠B
在△ACD和△BEC中
∴△ACD≌△BEC（SAS）
∴DC＝CE
又∵CF平分∠DCE
∴EF=DF（三线合一）
21．证明：（1）∵AB∥CD，
∴∠A=∠D，
在△AEB和△DCE中，
，
∴△AEB≌△DCE（SAS）；
（2）∵△AEB≌△DCE，
∴BE=CE，△EBC是等腰三角形，
∵EF⊥BC，
∴EF平分∠BEC．
22．解：因为，D是的中点，
所以，即垂直平分．
因为点E在上，
所以．
23．证明：∵，为的中点，
∴，
∵于，于，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴．
题型六、等腰三角形与基本作图问题
24．（1）解：如图，点即为所求；
（2）解：∵，且，，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴．
25．（1）解：如图所示，直线就是所要求作的，
（2）解：如图，连接，
，
，
，
∴∠B=∠ACB=2∠A，
，
，
．
题型七、等腰三角形与辅助线问题
26．解：延长到点E，使得，
在和△ADE中，
，
，
，
，
，
，
即点C为的中点，
，
∴DA=DE，
△ADE是等腰三角形，
是△ADE底边上的中线，
，
．
27．解：延长至点，使得，连接，
∵，，
，
在和中，
，
，
∴
∴，
平分．
题型八、等腰三角形与分类讨论思想
28．解：，
，
点D在射线上，分以下三种情况讨论：如图，
①当时，则，
；
②当时，则；
③当时，则，
，
．
综上所述，的度数为或或．
29．（1）∵和是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴；
（2）解：∵是等腰直角三角形，
∴，
设的度数为x，则，
∵，
∴，
∵是等腰三角形，
①当时，，解得：，
②当时，，解得：，
③当时，，解得：，
故的度数为或或．
题型九、等腰三角形与新定义问题
30．（1）解：△ABC和都是黄金三角形，理由如下：
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
△ABC和都是黄金三角形；
（2）解：，理由如下：
由（1）知，，，即，
，
，
在和中，
，
，
，
即，
又，，
，
，
，
即．
题型十、等腰三角形与动点问题
31．（1）解：由题意得，,
∴,
故答案为：，；
（2）由题意可知，,
当为等腰三角形时，则有，即,
解得，
∴出发秒钟，能形成等腰三角形；
（3）当点Q在上时，，
∴，
∵是以或为底的等腰三角形
∴有和两种情况，
当时，则，
解得；
当时，则，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得；
综上可知，当点Q在边上运动时，出发12秒或11秒后，是以或为底的等腰三角形．
故答案为：11或12．
题型十一、等腰三角形与几何变式探究问题
32．（1）①证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
②解：∵，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴边的长为；
（2）解：（1）中①的结论仍然成立．
证明：∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（3）解：①当时，如图，

∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②当时，如图，

∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的度数为或．

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