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2024-2025学年陕西省咸阳市渭城二中九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算的值为( )
A. B. C. D.
2.二次函数图象的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
3.如图所示，的三个顶点在上，其中，，则等于( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，在中，，，，那么边AC的长是( )
A.
B. 1
C. 2
D.
5.下列说法：①直径是弦；②弧是半圆；③平面上任意三点能确定一个圆；④圆的内接正六边形的中心角为其中正确的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
6.如图，二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标为，则关于x的一元二次方程的解是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
7.如图，AC是的直径，弦于点E，连接BC，OB，若，，则的面积是( )
A.
B.
C.
D.
8.已知二次函数的y与x的部分对应值如表，则下列判断中错误的是( )
x … 0 2 3 4 …
y … 5 0 0 …
A. 抛物线开口向上
B. 抛物线的对称轴是直线
C. 当时，
D. 若，是图象上两点，则
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
9.已知的半径为4，平面内一点A到圆心O的距离为3，则点A在 填“上”“内”或“外”
10.将抛物线向上平移5个单位长度得到的新抛物线的表达式为 .
11.如图，在菱形ABCD中，交AB于点E，连接BD，若，则的值是 .
12.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点A，过点A且与x轴平行的直线交抛物线于点B，C，则BC的长为______.
13.如图，在扇形OAB 中，OC平分交于点C，点D为半径OA上一动点，连接BD，若，，则阴影部分图形周长的最小值为______结果保留
三、解答题：本题共13小题，共81分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题5分
计算：
15.本小题5分
已知抛物线的表达式为，求该抛物线与x轴的交点坐标.
16.本小题5分
如图，某超市门口要修建一座跨度为24米的人行天桥即米，，天桥架空高度为6米与AB之间的距离为6米，若天桥两边的斜坡AD，BC的坡度均为2：3，求人行天桥的桥面CD的长度.
17.本小题5分
尺规作图：作的外接圆保留作图痕迹
18.本小题5分
如图，四边形ABCD的面积为，扇形ABD的半径为4，圆心角为，求图中阴影部分的面积结果保留根号和
19.本小题5分
已知二次函数为常数
求二次函数的图象与x轴的公共点的个数；
若点在二次函数的图象上，求二次函数的表达式.
20.本小题5分
如图，在中，，，点D在BC上，点E在AB上，过点E作交AC边于点F，连接ED并延长交AC的延长线于点G，，且，求AC的长.
21.本小题6分
如图，四边形ABCD内接于，，点E在BC的延长线上，连接DE，AC，求证：DE是的切线.
22.本小题7分
如图，无人机从A处测得大楼CD底端点D处的俯角，测得大楼CD顶端点C处的俯角已知点A、B、C、D、E都在同一平面内，无人机所处高度，，，求该大楼CD的高度参考数据：，，
23.本小题7分
如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，过点C的抛物线的对称轴为l，l与直线AC交于点B，连接求的面积.
24.本小题8分
如图，AB是的直径，点C，E在上，过点E作的切线与AB的延长线交于点F，且
求证：；
若，，求BC的长.
25.本小题8分
如图，某隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA为12m，宽OB为4m，隧道顶端D到路面的距离为10m，建立如图所示的直角坐标系.
求该抛物线的解析式；
一辆货运汽车载一长方体集装箱，集装箱最高处与地面距离为6m，宽为4m，隧道内设双向行车道，问这辆货车能否安全通过？
26.本小题10分
【问题提出】
如图1，P是半径为5的上一点，直线m是外一条直线，于点Q，圆心O到直线m的距离为7，则线段PQ的最大值为______；
【问题探究】
如图2，点P是正方形ABCD内一点，连接BP、CP，则，若，求AP的最小值；
【问题解决】
如图3，有一块形状为的湿地，其中，，点D是AC上的一个动点，以AD为直径在内作半圆O，现要将半圆O建为观测区，连接BD，BD与半圆O交于点E，连接CE，沿CE修一条步道，为了节约成本，要使得CE的长度最短，试求CE的最小值.
参考答案
1.B
解：的值，
故选：
2.C
解：的二次项系数，一次项系数，常数项，
，即，
，即，
二次函数图象的顶点坐标是
故选：
3.A
解：，
，
，
故选：
4.C
解：，，，
，
，
，
故选：
5.B
解：直径是弦，故①正确，
弧是半圆，故②错误，
平面上不在同一直线上的三点能确定一个圆，故③错误，
圆的内接正六边形的中心角为，故④正确，
正确的个数为2，
故选：
6.D
解：二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标为，
即抛物线与x轴的一个交点坐标为，
而抛物线解析式为，
抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
即方程的解为，，
关于x的一元二次方程可看作关于的一元二次方程，
或，
解得，，
即关于x的一元二次方程的解为，
故选：
7.A
解：设的半径为r cm，则，
是的直径，弦于点E，
，
在中，，
解得，
，
的面积
故选：
8.D
解：设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
抛物线解析式为，开口向上，所以A选项不符合题意；
抛物线的对称轴为直线，所以B选项不符合题意；
抛物线与x轴的交点坐标为，，
当时，，所以C选项不符合题意；
若，是图象上两点，所以，选项符合题意．
故选：
9.内
解：的半径，且点A到圆心O的距离，
，
点A在内，
故答案为：内．
10.
解：抛物线向上平移5个单位长度得到的新抛物线的表达式为：，即
故答案为：
11.
解：交AB于点E，
，
，
，
，
故答案为：
12.10
解：抛物线与y轴交于点A，
点坐标为
过点A且与x轴平行的直线交抛物线于点B，C，
当时，，
解得：，
点坐标为，C点坐标为，
故答案为：
13.
解：作C点关于直线OA的对称点E，连接BE，与OA的交点为D点，此时阴影部分周长最小，
在扇形AOB中，，OC平分交于点C，
，
由轴对称的性质，，，
，
是等边三角形，
，
，的长，
阴影部分周长的最小值为，
故答案为：
14.解：原式
15.解：当时，，
解得，，
抛物线与x轴的交点的坐标为和
16.解：过点D作于点E，过点C作于点F，
由题意得：，米，
天桥两边的斜坡AD，BC的坡度均为2：3，
，，
米，
米，
米，
人行天桥的桥面CD的长度为6米．
17.解：如图所示，即为所求；

18.解：由题知，
因为扇形ABD的半径为4，圆心角为，
所以扇形ABD的面积为：
又因为四边形ABCD的面积为，
所以阴影部分的面积为
19.解：令，则，
由题意知：，，，
，
关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
二次函数的图象与x轴有2个公共点；
将点代入中得，
，
解得：，
二次函数的表达式为
20.解：，，，
又，
，
，
在中，，
，即，
解得，
的长为
21.证明：连接BD，如图，
，
是的直径，
，，
，
，
，
即，
，
为的半径，
是的切线．
22.解：延长AE、DC交于点F，
依题得：，，，
，四边形ABDF是矩形，
，，，
，
，
，
，
故该大楼CD的高度是
23.解：将代入中得：，
点C坐标为，
将点代入中得：，
解得：，
一次函数的表达式为：，
令，则，
解得，
，
抛物线，
对称轴l为直线，
点B的横坐标为2，
将代入中，得，
，
24.证明：如图，连接OE，
，
过点E作的切线与AB的延长线交于点F，
点E是的切点，
，
在中，，
是直径，
，
，
，
，
；
解：，，设，则，
，
，
解得，
在直角三角形OEF中，由勾股定理得：，
，
解得，负值舍去，
，
，，，
，，
∽，
，即，
解得，
25.解：根据题意，该抛物线的顶点坐标为，
设抛物线解析式为：，
将点代入，得：，
解得：，
故该抛物线解析式为；
根据题意，当时，，
这辆货车能安全通过．
26.解：P是半径为5的上一点，于点Q，圆心O到直线m的距离为7，如图1，过点O作，
由点到直线的所有连线中垂线段最短，且圆的半径OP不变，
可知此时最大，
最大值为，
故答案为：12；
根据题意得是定值，，
点P的轨迹在以BC为直径的圆O上部分，如图2，

连接AO，交圆O于点，
此时的即为AP的最小，
四边形ABCD是正方形，
，，
，
，
，
的最小值为；
如图3，连接AE，根据题意得：，
以AB为直径作圆Q，，
点E在以AB为直径作圆Q上，
连接QE，
当点Q、E、C三点共线时，CE取得最小值，
，，
，
在直角三角形ACQ中，由勾股定理得：，
，
的最小值为

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