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北京市东城区文汇中学2025-2026学年九年级上学期9月第二次月考：数学
班级 姓名 成绩
一、选择题(共8题，每题3分，共24分)
1.下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是
2.将抛物线 向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到的解析式是
3. 如图, 将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△A'B'C'.若∠A =40°, ∠B'=110°, 则∠BCA'的度数是
A. 90° B. 80° C. 50° D. 30°
4.下表给出了二次函数 的自变量x与函数y的一些对应值，则下列说法正确的是
x -2 -1 0 1 2
y -5 0 3 4 3
A.对称轴为直线x=-1 B. 当x=3时, y=-5
C. 当 时，y随x的增大而增大 D.此函数有最小值4
5.若关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值为
A. 1 B. - 1 C. ±1 D. 0
6.如图，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M N P ，则其旋转中心可能是
A. 点A B. 点B
C. 点C D. 点D
7.如图，在等边△ABC中，D是AC上一动点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转( 得到△BAE,连接ED, 若BC=10, 则△AED的周长的最小值是
A. 10
D. 20
8.二次函数 的大致图象如图所示，顶点坐标为(-2，-9a)，卜列结论：①abc>0; ②4a+2b+c<0; ③9a-b+c=0; ④若函数y=-1, 可整理为方程a(x+5)(x-1)=-1, 且有两个根x 和x , x A.2 B. 3
C.4 D. 5
二、填空题(共8题，每题3分，共24分)
9.写出一个开口向上，并且与y轴交于点 (0，2)的抛物线的解析式
10.在平面直角坐标系中，点A(3，-1)关于原点对称的点坐标是 .
11.关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值: a= , b= .
12. 如下图, 在△ABC中, ∠BAC=100°, 将△ABC绕点A逆时针旋转α, 得到△ADE,∠E=60°. 若点 B, C, D恰好在同一条直线上, 则α= °.
13. 已知(-4,m), (-3,y ), (-2,y ), (1,y ), (0,m)是抛物线. 上的点，则y , y , y 的大小关系是 (用“<”连接) .
14.某种型号的芯片每片的出厂价为400元，经科研攻关实现后，成本下降，进行两次降价，若每次降价的百分率都为x，降价后的出厂价为144元，依题意可列方程
为: .
15.二次函数 满足以下条件：当316. 已知经过A(1,2)的抛物线 不经过第四象限，则a的取值范围是 ；若3a+c是整数，则a的值可以是 .
三、解答题(共52分，17题4分，18题至23题每题各8分)
17.解方程:
18.如图所示，在平面直角坐标系xOy中， 的顶点均在格点上，点C的坐标为(4,-1).
(1)画出 与关于原点O中心对称的 点的坐标是 ；
(2)画出将 绕着点A逆时针方向旋转 得到的
19.已知关于x的一元二次方程
(1)求证：无论k为何值，该方程总有两个不等实根.
(2)当 的斜边 且两直角边a、b恰好是这个方程的两个根，求k的值.
20 .已知：二次函数 中的x和y满足表：
x ... 0 1 2 3 ...
... 3 0 0 m ...
(1) m的值为 ;
(2)直接写出这个二次函数的顶点式，并画出它的图象；
(3)当0(4)对于正比例函数 当x>3时，总有 直接写出k的取值范围.
21.小云有一个圆柱形水杯(记为1号杯)，在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来，新水杯(记为2号杯)示意图如下，
当1号杯和2号杯中都有VmL水时，小云分别记录了1号杯的水面高度h (单位： cm)和2号杯的水面高度h (单位： cm)，部分数据如下：
V /mL 0 40 100 200 300 400 500
0 2.5 5.0 7.5 10.0 12.5
0 2.8 4.8 7.2 8.9 10.5 11.8
(1)补全表格 (结果保留小数点后一位)；
(2)通过分析数据，发现可以用函数刻画 与V, 与V之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象；
(3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①当1号杯和2号杯中都有 320mL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为 cm(结果保留小数点后一位)；
②在①的条件下，将2号杯中的一都分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为 cm(结果保留小数点后一位).
22.抛物线 与y轴交于点C(0, 3) , 其对称轴与x轴交于点A(2, 0).
(1)求抛物线 的解析式；
(2)将抛物线( 适当平移，使平移后的抛物线( 的顶点为D(0, k) . 已知点B(2, 2) , 若抛物线 与 的边界总有两个公共点，请结合函数图象，求k的取值范围.
23. 如图, 在三角形ABC中, 点P为 内一点, 连接AP, BP,CP，将线段AP绕点A逆时针旋转 得到AP'，连接PP',CP',
(1)用等式表示(CP'与BP的数量关系，并证明；
(2)当 时，
①直接写出 的度数为 ；
②若M为BC的中点，连接PM，请用等式表示PM与AP的数量关系，并证明。

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