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徐州普学汇志学校2025-2026学年第一学期
九年级年级学科竞赛数学试卷
满分：140分 考试时间：90分钟
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
1．若关于x的方程是ax2﹣x＋2＝0是一元二次方程，则（ ）
A．a＞0 B．a≥0 C．a＝1 D．a≠0
2．的半径为3，若点P在内，则的长可能为( )
A．2 B．3 C．4 D．以上都有可能
3．如图，在圆O中，求的大小（ ）
A． B． C． D．
4．已知m是一元二次方程的一个根，则的值为（ ）
A．2019 B．2020 C．2023 D．2025
5．关于x的一元二次方程的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
6．方程左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，AB是的直径，C，D是上的两点，若，则的度数是（ ）
A．36° B．40° C．46° D．65°
（7） （8）
8．如图圆O的内接四边形ABCD中，BC=DC，∠BOC=130°，则∠BAD的度数是（ ）
A．120° B．130° C．140° D．150°
填空题（本题共32分，每小题4分）
9．的两根分别为，则 ．
10．两个连续的偶数乘积为224，设较小的偶数为x，可得方程为 ．
11．若关于的方程是一元二次方程，则 ．
12．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB＝AD，若∠ABD＝36°，则∠C的度数是 ．
（12）（13）（14）
13．如图，是的直径，是的切线，连接交于点C．若，则 度．
14．工人师傅对残破的圆形古画进行修复，将直角尺的三个顶点A，C，B落在圆上，测得，，则这幅圆形古画的半径是 ．
15．石拱桥采用圆弧形设计，不仅赋予了石拱桥独特的美学魅力，而且展现了我国古代工匠对力学原理的深刻理解和应用． 如图，拱桥的跨度，拱高，则半径为 ．
16．如图，，，，是线段上的一个动点，以为直径画分别交、于、，连接，则线段长度的最小值为 ．
三、解答题（本题共76分，共8小题）
17．（本题10分）解方程∶
(1)； (2)．
（本题10分）已知关于x的方程的两个实数根分别为，．(1)求a的取值范围．(2)若，求a的值．
19．（本题8分）如图，D是的平分线上任意一点，过点作于点，以点为圆心，长为半径作．求证：是的切线．

20．（本题10分）随旅游业的快速发展，外来游客对住宿的需求明显增大，某宾馆拥有的床位数不断增加．
(1)该宾馆床位数从2021年底的200个增长到2023年底的288个，求该宾馆这两年（从2021年底到2023年底）拥有的床位数的年平均增长率；
(2)该宾馆打算向游客出售了一款纪念工艺品，每件成本50元，为了合理定价，现投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，若销售单价每降低1元，每天就可多售出5件。若该馆想要每天的销售利润达到4000元，且销量尽可能大，应该如何定价？
21．（本题10分）在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于C、D两点．

(1)与相等吗？为什么？
(2)若大圆、小圆的半径分别为13和7，，求的长．
22．（本题8分）如图，已知为的一段弧，请根据要求画出图形．
(1)在图中找出的圆心O，并画出完整的圆（尺规作图，保留作图痕迹）．
(2)点A在上，在上找一点P，使得是直角三角形，且
23．（本题10分）如图，中，，以为直径的半圆与交于点D，与交于点E．(1)求证：点D为的中点；(2)求证：．
24．（本题10分）定义：若两个三角形有一对公共边，且另有一组对应边和一对对应角分别对应相等，那么这两个三角形称为邻等三角形．例如：如图1，中，，，，则与是邻等三角形．
(1)如图2，中，点D是的中点，那么请判断与是否为邻等三角形，并说明理由．
(2)如图3，以点为圆心，为半径的交轴于点，是的内接三角形，．求的度数和的长．
参考答案
一、选择题（本题共32分，每小题4分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A B B A B A B
二、填空题（本题共32分，每小题4分）
9．4
10．
11．
12．72°
13．80
14．5
15．10
16．
三、解答题（本题共76分，共8小题）
17．（1）解：，
∴，
∴，
即，
∴，
解得：；
（2）解：，
∴，
∴，
即或，
解得：．
18．（1）解：∵关于x的方程的两个实数根分别为，，
∴，
解得：；
（2）∵关于x的方程的两个实数根分别为，
∴，，
∵，
∴，
整理得：，
解得或，
∵，
∴．
19．证明：过点作于点．
又是的平分线上任意一点，，
∴，
即是的半径，
是的切线．
20．解：（1）设增长率为x，
则可列方程为，
解得（舍）
增长率为
（2）设降价a元，
则可列方程，
化简得，
解得，
因为销量要尽可能大，所以降价30元，故应定价为70元；
21．（1）解：与相等，理由如下：
如图，过点O作于点E，

∵点O为两个同心圆的圆心，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图，连接，则，

由（1）得：，，
在中，，
在中， ，
∴．
22．（1）解：如图，圆心O与即为所求作；
（2）解：连接并延长，交于点，即为直径，
点即为所求作．

23．（1）证明：连结，如图：
为半圆的直径，
∴，
∴，
∵，
∴点D为AB的中点．
（2）方法一：证明：∵，
∴，
∵四边形为圆内接四边形，
∴，
∴，
∴．
方法二：证明：连结，，
∵，，
∴，
∵，，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴．
24．（1）解：与是邻等三角形，理由如下：
∵点D是的中点，
∴，，
∵，
∴与是邻等三角形．
（2）解：如图3，作于，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
如图3，作于，在中，，
∴，
由勾股定理得，，
在中，，
∴，
∴，
∴．

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