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会东南山实验学校2025-2026学年度上期第一次月考
九年级数学试题
本试题分为A卷（100分）、B卷（50分），全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确．
2．选择题使用2B铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效．
3．考试结束后，将答题卡收回．
A卷（共100分）
第Ⅰ卷（选择题 共48分）
一、选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置．
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．3x2－6x+2 B．x2-y+1=0 C．x2=0 D．+ x=2
2．若是关于x的方程的解，则的值为（ ）．
A．2019 B．2020 C．2021 D．2022
3．把一元二次方程化为一般形式，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．用配方法解方程，则方程可变形为（ ）
A． B．
C． D．
5．关于x的方程的一个根为1，则方程的另一个根与m的值分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
6．若分式的值为零，则x的值为( )
A．3 B．3或-3 C．-3 D．0
7．一元二次方程9x2－6x+1=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
8．若关于x的一元二次方程kx2+2x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＜1且k≠0 B．k≤1且k≠0 C．k≥﹣1且k≠0 D．k＞﹣1且k≠0
9．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了1560张相片，如果全班有名学生，根据题意，列出方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．某商品经过连续两次涨价，售价由原来的每件元涨到每件元，则平均每次涨价的百分率为（ ）
A． B． C． D．
11．某公司今年销售一种产品，一月份获得利润10万元，由于产品畅销，利润逐月增加，一季度共获利36.4万元，已知2月份和3月份利润的月增长率相同．设2，3月份利润的月增长率为x，那么x满足的方程为（ ）
A． B．
C．10+10（1+x）+10（1+2x）=36.4 D．
12．用一块长40cm，宽28cm的矩形铁皮，在四个角截去四个全等的正方形后，折成一个无盖的长方形盒子，若折成的长方体的底面积为，设小正方形的边长为xcm，则列方程得（　　）
A．（20﹣x）（14﹣x）＝360 B．（40﹣2x）（28﹣2x）＝360
C．40×28﹣4x2＝360 D．（40﹣x）（28﹣x）＝360
第Ⅱ卷（非选择题共52分）
二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）
13．关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 ．
14．若菱形ABCD的两条对角线的长分别为一元二次方程x2-7x+12=0的实数根，则菱形ABCD的面积为 ．
15．若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为 ．
16．有一个人患了流行性感冒，经过两轮传染后共有144人患了流行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人数是 人．
17．在宽为20m，长为32m的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直，（如图），把耕地分成六块作试验田，要使实验田总面积为570，问道路应为多宽 ．
三、解答题（共3小题，共32分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（每题4分，共16分）用合适的方法解方程：
(1) (2)
(3) (4)
19．（8分）已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为，，且，求m的值．
20．（8分）某超市销售一种国产品牌台灯，平均每天可售出100盏，每盏台灯的利润为 12 元.为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价，据调查，每盏台灯每降价1元，平均每天会多售出 20盏．若要实现每天销售获利 1400元，同时又让消费者得到实惠，则每盏台灯降价多少元
B卷（共50分）
四、填空题：（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
21．已知是一元二次方程的两实数根，则的值是 ．
22．已知m是方程式的根，则式子的值为 ．
五、解答题（本大题共4小题，共40分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
23．（10分）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建一个矩形场地，用100米的围栏围成三个大小相同的矩形，设矩形的边长AB为x米，矩形场地的总面积为y平方米.
（1）请用含有x的式子表示y（不要求写出x的取值范围）；
（2）当x为何值时，矩形场地的总面积为400平方米？
24．（10分）如图，在中，，，，点P从点A出发沿边AC向点C以1cm/s的速度移动，同时点Q从点C出发沿CB边向点B以2cm/s的速度移动．当Q点到达B点时，点P同时停止运动．
（1）运动几秒时的面积为？
（2）的面积能否等于面积的一半？若能，求出运动时间，若不能，说明理由．
25．（10分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实根和，
（1）若，求k的值；
（2）求的最大值．
26．(10分)阅读下面材料，然后解答问题：
解方程：．
分析：本题实际上一元四次方程．解高次方程的基本方法是“降次”，我发现本方程是以为基本结构搭建的，所以我们可以把视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程将次为一元二次方程来继续解答．我们把这种换元解方程的方法叫做换元法．
解：设，则原方程换元为．①
解得：，
∴或．
解得，，，．
请参考例题解法，解下列方程：
（1）
（2）
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
解：因为3x2－6x+2是一个代数式，所以不是一元二次方程，所以选项A错误，不符合题意；
因为x2-y+1=0中有2个未知数，所以不是一元二次方程，所以选项B错误，不符合题意；
因为x2=0符合一元二次方程的定义，所以C正确，符合题意；
因为+x=2是分式方程，所以选项D错误，不符合题意；
故选C．
2．B
解：∵是关于的方程的解，
∴，即，
∴，
故选：B
3．A
解：由原方程，得
x2+6x+9=3x2-x，
即2x2-7x-9=0，
故选：A．
4．C
解：，
，即，
，
，即，
故选：C．
5．A
解：设方程的另一根为x2．
∵关于x的方程的一个根为1，
∴x=1满足关于x的一元二次方程，
∴，
解得m=-4；
又由韦达定理知1×x2=3，
解得x2=3．
故方程的另一根是3．
故选：A．
6．C
解：由题意得，解得，则x=-3
故选C．
7．B
解：9x2－6x+1=0，
∴，
∴一元二次方程9x2－6x+1=0的根的情况是有两个相等的实数根．
故选：B．
8．B
解：由题意可知：△＝4﹣4k≥0，
∴k≤1，
∵k≠0，
∴k≤1且k≠0，
故选：B．
9．C
解：每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班有名学生，
每个同学需送出张相片，
依题意得：，
故选：C．
10．B
解：设平均每次涨价的百分率为，
由题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
的值为，
即平均每次涨价的百分率为，
故选：．
11．D
解：设二、三月份的月增长率是x，
依题意有：，
故选D．
12．B
解：设剪掉的正方形的边长为xcm，
则（28﹣2x）（40﹣2x）＝360．
故选：B．
13．k＜2且k≠1
解：∵关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根，
∴k－1≠0且 =（－2）2－4（k－1）＞0，
解得：k＜2且k≠1．
故答案为：k＜2且k≠1．
14．6
解：∵AC、BD的长是一元二次方程x2-7x+12=0的两个实数根，
∴AC BD=12，
∴菱形的面积=AC BD=6．
故答案为6．
15．3
解：∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴1+2a=a2﹣2，
解得：a=3或a=﹣1．
∵1+2a≥0，a2﹣2≥0，
∴a=3．
故答案为：3．
16．11
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，由题意可得：
，
解得：（舍去），
故答案为：11．
17．m
解：设道路为x米宽，
由题意得：，
整理得： ，
解得：，
经检验是原方程的解，但是，因此不合题意舍去．
故答案为：．
18．（1）解：，
，
∴，；
（2）解：，
，
，
，
∴，；
（3）解：，
，
或，
∴，；
（4）解：，
，
，
∴，．
19．（1）证明：∵，∴△=[﹣（m﹣3）]2﹣4×1×（﹣m）=m2﹣2m+9=（m﹣1）2+8＞0，∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵，方程的两实根为，，且，∴ ， ，∴，∴（m﹣3）2﹣3×（﹣m）=7，解得，m1=1，m2=2，即m的值是1或2．
20．解：（1）设每盏台灯应降价x元，依据题意列方程得：
(12-x)(100+20x)=1400
整理得
解得：，
∵让消费者得到实惠，
∴x=5，
答：要实现每天销售获利1400元，则每盏台灯应降价5元．
21．
解：∵是一元二次方程的两实数根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
22．解：∵m是方程的根，
∴
∵
=
=
=
=
=3+2020
=2023．
故答案为：2023
23．解：（1）设AB=x，BC=100-4x，依题意得：
（2）当y=400时，
解得：
∵墙长为25米
∴当时，BC=100-4x=80>25
不符合题意，舍去
∴x=20
答：（1）y与x的关系是：；
（2）当x=20时，矩形场地的总面积为400平方米.
24．解：（1）设后，可使的面积为．
由题意得，，，，
，
整理得：，
解得：，，
所以P、Q同时出发，2s或4s后可使的面积为．
（2）由题意得：，
，
，
，该方程无实数解，
所以，不存在使得的面积等于的面积的一半的时刻．
25．解：（1）、是方程的实根，
，．
，
，
即，
解得：，．
方程有两个不相等的实根，
，
或，
，符合题意；
（2） ，．
，
时，m有最大值4．
26．解：（1）设，则，
∴，
解得：t=2或t=3，
即或，
解得，，，．
（2）设，则，
则，
∴，
解得：a=-1（舍）或a=2，
即，
∴，
∴，
解得：，，
经检验：，是原方程的解，
∴，．
答案第1页，共2页

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