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2024-2025学年山西省长治市沁源县部分学校九年级（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各式中，与是同类二次根式的是( )
A. B. C. D.
2.电影制作中，通过改变物体的大小来模拟远近变化，这类操作既可以帮助讲述故事，也可以增加电影的观赏性.这种原理利用到的图形变换是( )
A. 位似变换
B. 平移变换
C. 对称变换
D. 旋转变换
3.若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是( )
A. B. 且 C. D. 且
4.如图， ABCD中，点E是边AD的中点，连接BE并延长，交CD的延长线于点F，点G是DE的中点，连接BG并延长，交DF于点H，若，则FH的长为( )
A.
B. 2
C.
D. 3
5.下列调查中最适合采用普查方式的是( )
A. 调查全市参加晨练的人数 B. 调查全国初一学生每天看课外书的时间
C. 调查某品牌中性笔替芯的使用寿命 D. 调查某班学生的体重情况
6.已知是锐角，且，则的值是( )
A. B. C. D.
7.物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验.“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中，，，表示电路的开关，L表示小灯泡.当随机闭合两个开关时，灯泡发光的概率是( )
A. B. C. D.
8.对于抛物线，下列说法错误的是( )
A. 对称轴是直线 B. 顶点坐标是
C. 当时，y随x的增大而减小 D. 当时，y的最小值为1
9.将点向左平移3个单位长度，向上平移2个单位长度得到点P，点P恰好落在x轴上，则点P的坐标是( )
A. B. C. D.
10.如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转后得到，则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分阴影部分的面积是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.计算： .
12.山西某中学坚持对学生进行近视眼的防治，近视学生人数逐年减少.据统计，今年的近视学生人数是前年近视学生人数的设这两年平均每年近视学生人数降低的百分率为x，根据题意，可列方程为 .
13.如图，在中，，AB的垂直平分线交边BC于点D，若，则 .
14.已知m是一元二次方程的一个根，则的值为 .
15.如图，在中，，AD平分，交BC于点D，点E是AD的中点，连接CE并延长交AB于点F，若，，则EF的长为 .
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题10分
计算：；
解方程：
17.本小题7分
山西是华夏文明的发祥地之一，悠久的历史留下了众多文化遗产，周末甲、乙两人计划外出参观游玩，各自随机选择泽州府城玉皇庙、泽州青莲寺、陵川西溪二仙庙、高平铁佛寺四个风景区中的一个.假设这两人选择到哪个风景区参观游玩不受任何因素影响，且上述四个风景区中每个被选到的可能性都相同.
甲选择到高平铁佛寺风景区参观游玩的概率为______；
假设甲去过泽州青莲寺，乙去过高平铁佛寺，各自去过的风景区不再选择，请用列表法或画树状图法，求甲、乙两人选择到同一个风景区参观游玩的概率.
18.本小题9分
2024年，中国载人航天工程统筹推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务，向着建设航天强国的奋斗目标迈出了坚实步伐.某校为了解九年级学生掌握航天知识的情况，组织开展了知识竞赛满分100分
数据整理：小丽从九年级学生中随机抽取了部分学生的成绩整理成如下不完整的统计图表.
组别 成绩分
A
B
C
D
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
由图知，B组的人数占，则抽取的学生有______名，统计图中______，______；
请补全频数分布直方图；
假设九年级一共有1200名学生，请估计成绩在80分及以上的学生有多少名.
19.本小题7分
太谷白塔是我国八大白塔之一，如图1，该塔建于北宋元佑年间，是一座具有1700多年历史的八边形七级楼阁式砖木结构塔，某校“综合与实践”活动小组的同学要测量太谷白塔的高度，他们借助无人机设计了如下测量方案并绘制了示意图，如图2，无人机从点A处竖直向上飞行米到达点B，在点B处测得塔顶的仰角为，向靠近塔的方向水平飞行米到达点C，再次测得塔顶的仰角为，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，点A，E在同一水平直线上，则太谷白塔DE的高度为多少米？结果精确到米.参考数据：，
20.本小题9分
中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》将以“巳巳如意，生生不息”为主题，“巳巳如意”是对每个人新年万事如意的祝愿，而“生生不息”则象征着文化的传承与生命力的延续，某服装零售市场购进一批印有“巳巳如意”图案的拜年套装出售，成本价为每套100元，当售价为每套180元时，平均每周能售出500套.为尽快回拢资金，市场决定降价销售，经调研发现，若该套装的销售单价每降低5元，每周就能多售出50套.
若该市场希望每周出售该套装获得利润36000元，则该套装的销售单价应该定为多少元？
当该套装的销售单价定为多少元时，该市场每周出售该套装可获得最大利润？最大利润为多少元？
21.本小题10分
阅读与思考
下面是小斌同学的数学笔记，请认真阅读并完成相应的任务.
如图1，图2，在学习完“图形的相似”之后，我知道平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似.
通过思考，如果将图1，图2中所涉及的基本图形综合，是否会有新的结论产生？于是我画出了如图3所示的图形，得出的结论，这个结论可表述为：
如图3，若，则
下面是该结论的证明过程不完整：
证明：，
∽
①
，
……
我进一步思考发现：，和的面积之间存在一定的数量关系.
任务：
请将小斌的证明过程补充完整.
猜想图3中，和的面积之间存在的数量关系，并说明理由.
在图3中，若，请直接写出的值.
22.本小题10分
综合与实践
【问题情境】如图1是某景区的音乐喷泉，其水流的形状可近似地看成抛物线的一部分.某校九年级数学兴趣小组欲测量该抛物线水流的最高点与地面的距离.
【方案设计】如图2，该抛物线水流与地面的交点分别记为A，B，且，AB的垂直平分线与抛物线交于点P，与AB交于点O，OP即为抛物线水流的最高点与地面的距离.小组成员设计的方案如下：拿一根长的竹竿CD，竖直放在线段OB上，当水流刚好经过竹竿顶部点C时，测得竹竿底部点D到点O的距离为
【问题解决】
在图2中画出平面直角坐标系，并求抛物线的函数表达式和OP的长.
如果该小组成员想在喷泉下方拍照留念，恰好他们的身高都是，请问他们最多能站多宽才不会被水淋到该小组成员站在线段AB上拍照结果保留整数
23.本小题13分
综合与探究
【问题情境】在矩形ABCD中，，，E是AB边上一动点，将矩形沿CE所在直线翻折，点B的对应点为点
【猜想证明】
如图1，过点F作交CE于点M，连接
①试判断四边形EFMB的形状，并说明理由.
②如图2，当点F恰好落在AD边上时，求出此时四边形EFMB的周长.
【深入探索】
连接AF，DF，当的面积为4时，直接写出AE的长.
参考答案
1.C
解：，
，，，都是最简二次根式，
判断可得只有和是同类二次根式．
故选：
2.A
解：平移变换只是位置改变，大小和形状不变，B项错误；
对称变换是关于某条直线对称，图形的大小也未发生改变，C项错误；
旋转变换是绕定点旋转一定角度，同样不涉及大小的变化，D项错误；
位似变换可以使图形按照一定比例放大或缩小，与电影中物体大小变化模拟远近的原理相符，A正确．BCD不符合题意．
故选：
3.B
解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
且，
解得，且，
故选：
4.B
解：四边形ABCD是平行四边形，
，
，
是AD的中点，
，
在与中，
，
≌，
，
是DE的中点，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
故选：
5.D
解：本选项适合采用抽样调查，故本选项不符合题意；
B.本选项适合采用抽样调查，故本选项不符合题意；
C.本选项适合采用抽样调查，故本选项不符合题意；
D.本选项适合采用普查方式调查，故本选项符合题意．
故选：
6.C
解：，是锐角，
，
，
则的值是
故选：
7.A
解：列表如下：
-
-
-
-
由表可知，共有12种等可能的结果，其中灯泡发光的结果有6种，
灯泡发光的概率为，
故选：
8.D
解：，
抛物线的开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，函数有最大值，最大值为1；
当时，y随x的增大而减小，
故选：
9.B
解：将点向左平移3个单位长度，向上平移2个单位长度得到点P，
则点P坐标为，
由点P正好落在x轴上知，
解得，
则，
点P坐标为，
故选：
10.C
解：，，
，
将绕点A逆时针旋转后得到，
，，
，，，
，
故选：
11.
解：
，
故答案为：
12.
解：设前年近视学生人数为a人，则今年近视学生人数为，
根据题意得：，
即
故答案为：
13.
解：如图，连接CD，
的垂直平分线交边BC于点D，，
，，
，
，
，
，
故答案为：
14.20
解：是一元二次方程的一个根，
，
，
，
故答案为：
15.
解：如图，过D作于点G，过A作交CF延长线于点H，
，
，
，
，，
点E是AD的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
在直角三角形ABC中，，，，
由勾股定理得：，
，
，即，
，
平分，，，
，
，
，
，
在直角三角形ACD中，由勾股定理得：，
点E是AD的中点，
，
，
∽，
，
设，则，
，
解得：，
经检验：是原方程的解，
，
故答案为：
16.原式
；
，
，
，
则或，
所以
17.由题意得，甲选择到高平铁佛寺风景区参观游玩的概率为，
故答案为：；
分别记泽州府城玉皇庙为A、泽州青莲寺为B、陵川西溪二仙庙为C、高平铁佛寺为D，画树状图如下：
由树状图可得，共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人选择到同一个风景区参观游玩的有2种结果，
故甲、乙两人选择到同一个风景区参观游玩的概率为
18.组10人，占，
本次抽取学生人数为：人；
C组所对应的扇形圆心角的度数为：，
D组所对应的扇形圆心角的度数为：
故答案为：40，135，81；
组人数为：人，
补全频数分布直方图如下：
名，
答：估计成绩在80分及以上的学生有720名．
19.解：延长BC交DE于F，
则四边形ABFE是矩形，
米，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
米，
答：太谷白塔DE的高度约为米．
20.解：设该套装的销售单价降低5x元，则销售单价为元，每周能销售套，
，
，
解得或舍去，
元，
该市场希望每周出售该套装获得利润36000元，则该套装的销售单价应该定为140元；
设每周的利润为y元，销售单价降低了5x元，则：
，
，
当时，每周的利润最大，最大利润为42250元，
此时销售单价为元，
当该套装的销售单价定为165元时，该市场每周出售该套装可获得最大利润，最大利润为42250元．
21.，
∽
，①
，
∽，
，②
①+②得：，
左右两边同时除以EF可得：；
；理由如下：
如图3，过点A作于点G，过点E作于点H，过点C作交BD延长线于点
，
，
，
，
，
，
；
的值为3
证明：，
∽
，①
，
∽，
，②
①+②得：，
左右两边同时除以EF可得：；
解：；理由如下：
如图3，过点A作于点G，过点E作于点H，过点C作交BD延长线于点
，
，
，
，
，
，
；
解：的值为理由如下：
由得：，
，，
，
解得：，
的值为
22.解：平面直角坐标系如下：
，
抛物线顶点在y轴，设，
，AB的垂直平分线与抛物线交于点P，与AB交于点O，
，，
由题可知，，，
，
A，C在抛物线上，代入，
得，
解得，
函数解析式为：，
顶点为，
故；
当时，代入抛物线表达式，
解得，
最大宽度为，
他们最多能站5m才不会被水淋到．
23.解：①四边形EFMB为菱形，
理由如下：将矩形沿CE所在直线翻折，
垂直平分BF，，
，，
，
，
，
，
，
四边形EFMB为菱形；
②如图，
，
在中，，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
菱形EFBM的周长；
由题可知，
，
；
当点F在AD下方时，如图，过G作，
则，
，
在中，，
设，则，
，
，
，
∽，
，即，
解得，
；
当点F在AD上方时，如图，过G作，
则，
，
在中，，
设，则，
，
，
，
∽，
，即，
解得，
；
综上，AE的长为或

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