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2025-2026学年八年级数学上册第一次月考测试卷（一-二章）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各式一定属于二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列给出的四组数中，是勾股数的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4， C．，， D．，，
3．下列等式不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．设 ABC的三边分别为，满足下列条件的 ABC中，不是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
5．在实数，，3.14，，，，，，0.10100100…（每两个1之间0的个数逐次增加一个）中，无理数的个数为（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，数轴上两点表示的数分别为和，点关于点的对称点是点，则点所表示的数为（　　）
A． B． C． D．
7．《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的俯视示意图），今推开双门，门框上点C和点D到门槛的距离为1尺（1尺寸），双门间的缝隙为2寸，则门宽的长是（ ）寸？
A．101 B．102 C．103 D．104
8．把分式，根号外的字母a移进根号内的结果是（ ）
A． B． C． D．
9．定义：如图，点M，N把线段分割成和三条线段，若以线段为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段的勾股分割点．已知点M，N是线段的勾股分割点，若，，则（　　）
A．5 B．12 C．13 D．5或13
10．如图，中，， 于点E， 于点D，，与交于点F．连接．则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C．若 则 D．若则
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．①计算： ；②8的立方根是 ；③3的算术平方根是 ．
12．如图，这是秦始皇陵中的一个兵马俑，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，其中 ．（填“”“”或“”）
13．如图是一株美丽的勾股树．所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为，则正方形、、、的面积的和是 ．
14．《九章算术》“勾股章”有如下问题：“今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐，问葛长几何．”意思是：今有高2丈（即高20尺）的圆木桩，围圆柱一周长为3尺．葛藤生于圆木之下，自下而上绕柱7圈，上与木齐．问藤长是多少．”你算得此葛藤为 尺．
15．下面是小颖根据学习“数与式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法探（第15题图）究二次根式的运算规律：
①；②；③；……
如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为 ．
16．小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在中，，，．小华在边找一点D，在边找一点E，以为轴折叠得到，点C的对应点为点M，小华变换D，E的位置，始终让点M落在上，则当为直角三角形时，的长为 ．
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）
17．（1）计算： （2）解方程：
18．如图， ABC中，是上的一点，，，，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由；
(2)求线段的长．
19．（1）如图，化简．
（2）已知的平方根是，的立方根是，求的平方根．
20．定义：任意两个数、，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”．
(1)若，，求出、的“如意数”；
(2)已知，且、的“如意数”，求的值．
21．如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1．
(1)连接，判断的形状；
(2)求四边形的面积．
22．规律探索图，如图，认真分析各式，然后解答问题．
（是的面积）；
（是的面积）；
（是的面积）；
．．．
(1)______________；
(2)__________________；
(3)求出的值．
23．阅读下列解题过程：
请回答下列问题：
(1)仿照上面的解题过程化简：_________________________________；
(2)化简：___________；
(3)利用上面所提供的方法，求的值；
(4)利用上面的结论，不计算近似值，试比较与的大小．
24．已知长方形，，，Q为射线上的一个动点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）．
(1)如图1，连接，当点落在上时， ______；
(2)如图2，当点Q与点A重合时，与交于点E，求重叠部分（阴影）的面积；
(3)当直线经过点D时，求的长．
25．几何直观 【阅读理解】
（1）若一个三角形的三边长a，b，c满足，则我们称该三角形为“变异直角三角形”．如图①，在 ABC中，，则 ABC ________“变异直角三角形”（填“是”或“不是”）．
【变式迁移】（2）如图②，在 ABC与中，，．试说明：以线段，，的长为边长的三角形是“变异直角三角形”．
【拓展创新】（3）如图③，在四边形中，，E为线段上一点，以为边向外作正方形．若以线段，，的长为边长的三角形是“变异直角三角形”，请求出正方形的面积．
参考答案
一、选择题
1．C
【分析】本题考查二次根式的识别，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．
根据形如，这样的式子叫做二次根式，逐项进行判断即可．
【详解】解：A、因为，则无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意；
B、当时，则无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意；
C、因为，故是二次根式，故此选项符合题意；
D、当时，则，无意义，不是二次根式，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．D
【分析】本题考查了勾股数的定义，准确理解其定义是解题的关键．
根据勾股数的定义，需满足三个正整数且满足（为最大数）．
【详解】解：A：，，不满足勾股数的定义，故该选项不合题意；
B：三个数必须为正整数，不符合要求，故该选项不合题意；
C：，，均为小数，非正整数，不满足勾股数的定义，故该选项不合题意；
D：，，满足勾股数的定义，故该选项符合题意．
故选：D．
3．B
【分析】本题考查二次根式的乘法，二次根式的除法，二次根式的化简，二次根式的减法，熟练掌握二次根式的相关运算法则是解题的关键，利用二次根式的乘法，二次根式的除法，二次根式的化简，二次根式的减法逐项进行计算即可判断．
【详解】解：A中，，正确，故不符合题意；
B中，，原计算错误，故符合题意；
C中，，正确，故不符合题意；
D中，，正确，故不符合题意；
故选：B．
4．B
【分析】本题考查勾股定理的逆定理及直角三角形的判定方法，灵活运用以上知识点是解题的关键．根据题意运用直角三角形的判定方法，在三角形中，当一个角是直角或两边的平方和等于第三边的平方，可判定该三角形是直角三角形，据此逐个选项进行判断即可．
【详解】解：A. 由，可得，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
B. ，
，，，不是直角三角形，故本选项符合题意；
C. 由，可得，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
D. ，
设，
，
是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：B．
5．C
【分析】本题考查无理数．
根据无理数的定义，找出题中所有的无理数，即可得无理数的个数．
【详解】解：是有理数，是有理数，3.14，是分数，属于有理数，
无理数有：，，，，0.10100100…（每两个1之间0的个数逐次增加一个），
∴无理数的个数为．
故选：C．
6．A
【分析】本题考查数轴上点对应的实数，涉及数轴上两点之间距离的求法，熟记数轴性质是解决问题的关键．先由数轴上点的对称得到，再由数轴上两点之间距离的求法列一元一次方程求解即可得到答案．
【详解】解：点关于点的对称点是点，
，
设点所表示的数为，
数轴上两点表示的数分别为和，
，
解得，
故选：A．
7．A
【分析】本题考查勾股定理，取的中点，由题意可知：，寸，设寸，则：寸，根据勾股定理列出方程进行求解即可．
【详解】解：取的中点，由题意可知：，寸，
设寸，则：寸，寸，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
解得：，
∴寸；
故选A．
8．D
【分析】主要考查了二次根式的意义．解题的关键是能正确的把根号外的代数式或数字移到根号内部，它是开方的逆运算，从根号外移到根号内要平方，并且移到根号内与原来根号内的式子是乘积的关系．注意根号外的数字或式子是负数时，代表整个式子是负值，要把负号留到根号外再平方后移到根号内．
如果根号外的数字或式子是负数时，代表整个式子是负值，要把负号留到根号外再平方后移到根号内，然后化简即可．
【详解】解：由二次根式的意义可知，
∴，故D正确．
故选：D．
9．D
【分析】本题考查勾股定理，分两种情况：为最大线段，为最大线段，根据勾股定理分别计算即可．
【详解】分两种情况：①当为最大线段时，因为点M，N是线段的勾股分割点，
所以；
②当为最大线段时，因为点M，N是线段的勾股分割点，
所以
综上所述，的值为5或13．
故选D．
10．D
【分析】本题考查了等腰三角形基本性质，三线合一，全等三角形的证明及性质，勾股定理，熟练掌握基础知识点是解题关键；
通过等腰三角形三线合一即可判断A；先证得为等腰直角三角形，再证得，得到，即可判断B；若，通过勾股定理算出，进而得到，即可判断C；若，先算出，再通过勾股定理计算即可．
【详解】解：∵， 于点E，
∴为的垂直平分线，
∴，故A说法正确；
∵中，， 于点D，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵ 于点E， 于点D，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵， 于点E，
∴，
∴，故B说法正确；
若，∵，
∴，
在直角三角形中，，
∴，
∴，故C说法正确；
若，∴
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
在直角三角形中，，
故D说法错误，
故选：D．
二、填空题
11． 3 2
【分析】本题考查了求一个数的算术平方根、立方根，根据算术平方根、立方根的定义求解即可．
【详解】解：①；
②，则8的立方根是；
③3的算术平方根是．
故答案为：，，．
12．
【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．先估算的大小，进一步判断的大小，从而得出比较结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查了勾股定理，由勾股定理可证明，同理可得，，则．
【详解】解：如图所示，在中，由勾股定理得，
由正方形的面积计算公式可得，
∴，
同理可得，，
∴，
故答案为：．
14．29
【分析】根据圆柱的展开图，勾股定理解答即可．
本题考查了圆柱的展开图，勾股定理，熟练掌握定理和展开图是解题的关键．
【详解】解：由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边(即木棍的高)长20尺， 另一条直角边长 (尺)，
因此葛藤长 (尺)．
故答案为：29．
15．
【分析】本题主要考查二次根式混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出规律，分析所给的等式的形式进行总结即可．
【详解】解：，
，
，
用含的式子表示为：，
故答案为：．
16．或．
【分析】本题主要考查折叠的性质，勾股定理，分和两种情形，结合折叠的性质，勾股定理求解即可．
【详解】解：在中，，，
∴；
①当时，如图，
由折叠得：，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得，，
即：；
②当时，如图，
由折叠得，，
∵，
∴，
又，
∴，
设，则，
∴,
∵，
∴，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴；
综上，的长为或．
三、解答题
17．解：（1）
；
（2），
∴，
∴，
∴或．
18．（1）解：．理由如下∶
因为，
所以是直角三角形，且，
所以．
（2）在中，，
所以．
19．解：（1）由数轴得：，，
，，．
原式
．
（2）的平方根是，的立方根是，
，，
，，
，
的平方根为，
的平方根为．
20．（1）
（2）∵， ，的“如意数”，
∴，
∴，
即：．
21．（1）解：如图，
根据勾股定理得：，
，
，
，
，
是直角三角形，
，
是等腰直角三角形，
（2）解：根据勾股定理得：，
由（1）知：，，
，
是直角三角形，
四边形的面积：．
22．（1）解：，
，
，
，
，
故答案为：．
（2）解：∵（是的面积）；
（是的面积）；
（是的面积）；
∴；
故答案为：；
（3）解：
．
23．（1）解：，
故答案为：，，；
（2）解：，
故答案为：；
（3）解：原式
；
（4）解：利用上述结论可得，．
因为，
所以，
所以．
24．（1）解：，，
，
∵将沿直线翻折至 B/CQ的位置（点B落在点处）．
，
，
故答案为：；
（2）解：，
，
∵将沿直线翻折至 B/CQ的位置（点B落在点处）．
，
，
，
，
，
，
∴重叠部分（阴影）的面积；
（3）解：当在线段上时，
将沿直线翻折至 B/CQ的位置，，，，
，
，
∴DQ2=AD2+AQ2，即：，解得：；
当点D在线段上时，
∵将沿直线翻折至 B/CQ的位置，
，，，
，
，
∴DQ2=AD2+AQ2，
，
；
综上所述：的长为2或8．
25．解：（1），
，
是“变异直角三角形”，
故答案为：是；
（2）如图②，连接．
，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
故以线段，，的长为边长的三角形是“变异直角三角形”．
（3）如图③，连接，过点C作，交的延长线于点M．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
E为线段上一点，
，
，
，
以线段，，的长为边长的三角形是“变异直角三角形”，
分两种情况讨论：
①当时，得，不符合题意，舍去；
②当时，．
综上所述，正方形的面积为8．

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