资源简介

2025-2026学年八年级数学上册第一次月考检测卷
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
2．直角三角形两边分别为和，则第三边为（ ）
A．3 B．4 C． D．4或
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．若最简二次根式与可以合并，则的值是（ ）．
A． B． C． D．
5．如图，在中，，分别以和为边向外作正方形和正方形．若，则正方形和正方形的面积和为（　　　）
A．150 B．200 C．225 D．无法计算
6．将式子根式外的因式移到根式内的结果是（ ）
A． B． C． D．
7．如图， ABC中，，，三角形的顶点在相互平行的三条直线上，且之间的距离为，之间的距离为，则的长是（ ）
A． B． C． D．
8．因为，，，所以，若是正整数，，则与实数最接近的整数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图是一个长为，宽为，高为的仓库，在其内壁的点A（长的四等分点）处有一只壁虎．在点B（宽的三等分点）处有一只蚊子．则壁虎爬到蚊子处的最短距离应为（ ）
A． B． C． D．
10．四条线段的长分别为1，x，5，9（其中x为正数），用它们拼成两个直角三角形，且与是其中的两条线段（如图），则x可能取值的个数为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．4
二、填空题（6小题，每小题3分，共18分）
11．比较大小 ．
12．如图是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：），可以计算出两孔中心B和C的距离为 ．
13．已知x、y是实数，，若，则 ．
14．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，若，则 ．
15．如图，已知 ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以的斜边为直角边，画第二个等腰，再以的斜边为直角边，画第三个等腰，……依此类推，则第2020个等腰直角三角形的斜边长是 ．
16．观察下列各式：
，
，
，
．．．
请利用你发现的规律，计算：
，其结果为 ．
三、解答题（9小题，共72分）
17．求下列各式中的x的值．
(1)； (2)．
18．计算：
(1) (2)
(3) (4)
19．如图，已知，两直角边，，点为上一点，现将沿折叠，使点落在斜边上的点处，
(1)求的长；
(2)求的长．
20．某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表：
课题 测量学校旗杆的高度
工具 绳子、皮尺等
测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点，如图1，第一次将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，还多出了一段，用皮尺测出的长度；如图2，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点处，用皮尺测出的距离．
测量数据 测量项目 数值
图1中的长度 1米
图2中的长度 5米
根据以上测量结果，请求出学校旗杆的高度．
21．在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，这个定理称为“勾股定理”．即在直角三角形中（如右图），．两条直角边分别为，，斜边为．则．利用勾股定理解答下列问题：
(1)在直角三角形中，，，，求的长．
(2)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的的网格中，每个小格的顶点叫做格点．
①在图中，利用勾股定理求线段的长度．
②在图中，画一条格点线段，使．
22．如图，把两张小正方形纸片分别沿对角线剪开，拼成一张面积为的大正方形纸片．
(1)小正方形纸片的边长为 ；
(2)若沿此大正方形纸片边的方向剪出一张长方形纸片，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为？若能，试求出剪出的长方形纸片的长和宽；若不能，请说明理由．
23．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了问题探索与分析．
【提出问题】已知，求的最小值．
【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题．
【解决问题】（1）如图，我们可以构造出边长为1的正方形，P为边上的动点，设则，则__________________；
（2）在（1）的条件下，已知，请结合图形求的最小值；
【应用拓展】（3）直接写出的最小值为_________．
24．在进行二次根式的化简与运算时，如遇到，，这样的式子，还需做进一步的化简，化去分母中的根号．
，①
，②
．③
以上化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
．④
(1)请参照③和④分别用两种不同的方法化简．
(2)计算：．
25．如图，在长方形中，．
(1)如图①，将长方形沿翻折，使点与点重合，点落在点处，求的长；
(2)如图②，将沿翻折，若交于点，求的长；
(3)如图③，为边上的一点，将沿翻折得到分别交边于点，且，求的长．
参考答案
一、选择题
1．A
【分析】本题主要考查了无理数．解题的关键是理解有理数和无理数的概念．有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】A、是开方开不尽的数，属于无理数，符合题意；
B、，是整数，属于有理数，不合题意；
C、有限小数，属于有理数，不合题意；
D、，是整数，属于有理数，不合题意；
故选：A．
2．D
【分析】本题考查了勾股定理的计算，掌握勾股定理的计算是关键．根据勾股定理分类讨论即可求解．
【详解】解：当直角三角形两直角边分别为和时，斜边，即第三边为；
当直角三角形斜边长为5，一直角边为3，则第三边长为，
综上所述，第三边长为或，
故选：D ．
3．C
【分析】本题考查了二次根式的除法运算，二次根式的减法运算，二次根式的性质，据此相关性质进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项符合题意；
D、，故该选项不符合题意；
故选：C．
4．B
【分析】本题考查同类二次根式，化简二次根式，由最简二次根式与可以合并，可知与是同类二次根式，由此求出m的值，代入计算即可．
【详解】解：由题意知与是同类二次根式，
，
解得，
，
故选B．
5．C
【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．利用勾股定理，结合正方形面积公式求解．
【详解】解：∵在中，，，
∴．
∵正方形的面积为，正方形的面积为，
∴正方形和正方形的面积和为．
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了二次根式的性质、二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解题关键．先根据二次根式有意义的条件可得，再根据二次根式的性质计算即可得．
【详解】解：由题意得：，且，
∴，
则
，
故选：C．
7．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，作于，作于，可证，得到，再利用勾股定理求出即可，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，作于，作于，
则，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：．
8．A
【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．先求出m的取值范围，即可确定整数m的值，于是可求出整数n的值，再估算实数的取值范围，即可得解．
【详解】解：，
，
即，
为正整数，
，
是正整数，
，
，
，
与最接近的整数是1，
即与实数最接近的整数是1，
故选：A．
9．A
【分析】本题考查了勾股定理的应用．将点A和点B所在的面展开，则为矩形，连接，分类探讨壁虎爬到蚊子处的距离，找到最短距离即可．
【详解】解：如图，
①将正面和右面展开，过点B向底面作垂线，垂足为点C，则为直角三角形，
，，
，
故壁虎爬到蚊子处的最短距离为．
②将正面和上面展开，则A到B的水平距离为6，垂直距离为7，
此时的最短距离为，
，
故选：A．
10．C
【分析】此题考查了勾股定理的应用．首先过作交的延长线于，根据题意即可得，，，可得是最长边，长为9或，然后由勾股定理可得，然后分别从，为9或5或1；，或5或1去分析求解，即可求得答案．此题难度很大，解题的关键是注意数形结合思想，方程思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．
【详解】解：如图，过作交的延长线于，
根据题意得：，，，
，
是最长边，长为9或，
若，，则，
若，，则，
若，，则，
若，，则，
若，，则，
若，，则，
共6个，
故选：C．
二、填空题
11．<
【分析】本题考查了二次根式大小比较，求解此类问题常用的方法有：①取倒数比较；②分母有理化；③局部放缩比较；④取平方比较；⑤数形结合比较，熟练掌握相关方法是解决本题的关键．两边同时求倒数，比较倒数的大小，然后即可求得答案．
【详解】解：左边求倒数为，
右边求倒数为，
，
．
故答案为：<
12．150
【分析】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是根据图形得出，的长度．
根据图形分别得出，的长度，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：由图可知：，，
根据勾股定理可得：．
故答案为：150．
13．
【分析】本题考查了完全平方公式及非负数的性质，属于基础题，关键是根据非负数的性质先求出x及y的值再求解．
根据，可求出x，y的值，代入，即可解出a．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
解得：，，
代入，
，
故．
故答案为：．
14．34
【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．
在和中，根据勾股定理得，进一步得，再根据，，然后根据等量代换即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
在和中，根据勾股定理得：，，
∴，
∵，，
∴
．
故答案为：34．
15．
【分析】本题主要考查了勾股定理、数字规律等知识点，找到等腰直角三角形的斜边长的变化规律是解题的关键．
先根据勾股定理计算第1个，第2个，第3个，第4个等腰直角三角形的斜边长，再找到规律，再利用规律求出第2020个等腰直角三角形的斜边长．
【详解】解：根据勾股定理可得：
第1个 ABC的斜边；
第2个的斜边；
第3个的斜边；
．．．．．．
第n个等腰直角三角形的斜边；
所以第2022个等腰直角三角形的斜边．
故答案为：．
16．
【分析】先根据所给式子，找到规律，判断出每个式子的值，再整体求和．
本题主要考查探索规律，二次根式的化简等内容，根据给出式子，找到规律是解题关键．
【详解】解：由题意可得：
．
故答案为：．
三、解答题
17．（1）解：，
，
，
即或，
解得或．
（2），
，
18．（1）解：
；
（2）
；
（3）
；
（4），
移项，得，
开平方，得，
即，．
19．（1）解：，，，
根据翻折的性质可得，
则．
（2）解：设，由折叠可知：，，
在中，
∴
解得：
∴的长为．
20．由图1可得绳子的长度比旗杆的高度多1米，
设旗杆的高度为米，则绳子的长度为米
由图2可得，在中，，
解得，，
答：旗杆的高度为12米．
21．（1）解：因为，
所以，
所以，
因为，所以．
（2）解：①，所以．
②如图2中，线段即为所求作．
22．（1）解：由题意得，小正方形的面积是大正方形面积的一半，
∴小正方形的面积为，
设小正方形的边长为a，
则，
∴（负值舍去），
故答案为：；
（2）解：不能，理由如下：
大正方形的边长为：，
∵长方形的长宽之比为，
∴设长方形的长和宽分别是，，
∴，
，
∵，
，
∴长方形的长为，
，，
∵，
∴沿着大正方形边的方向不能裁出符合要求的长方形．
23．解：（1）根据题意得：；
故答案为：；；
（2）作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则，
此时的值最小，且，
即的最小值为的长，
在中，由勾股定理得：，
∴的最小值为，
∴的最小值为；
（3）如图，构造一个长方形，使两边长，，点P为边上一动点，设，则，作点D关于的对称点，连结，与交于点P，则，
此时的值最小，且，
即的最小值为的长，
在中，由勾股定理得：，
∴的最小值为7，
∴的最小值为7．
24．（1）解：
；
．
（2）解：
．
25．（1）解：根据折叠的性质，得．
因为四边形是长方形，
所以．
设，则，
在Rt中，因为，
所以，解得，
所以．
（2）因为四边形是长方形，
所以．
根据折叠的性质，得．
又因为，
所以．
因为交于点，
所以，
所以，
所以．
设，则．
在Rt中，因为，
所以，解得，
所以．
（3）因为四边形是长方形，
所以．
根据折叠的性质，得，
所以．
又因为，
所以，所以，
所以．
又因为，
设，则，
所以．
在Rt中，，解得，
所以．

展开更多......

收起↑