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第2章《实数》单元检测卷
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．计算的结果是（ ）
A． B．4 C．3 D．
2．下列各组数中，表示的数一定相同的是（ ）
A．4的平方根与 B．与 C．与 D．与6
3．二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．在代数式，，，中（本题中所有字母均表示不含平方因数的正整数），最简二次根式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．已知，化简二次根式的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
6．在如图所示的运算程序中，输入的值是时，输出的值是（ ）
A． B． C． D．
7．设，则最接近的整数是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．设为的小数部分，则（　　）
A． B． C． D．
10．二次根式除法可以这样解：如．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化，判断下列选项正确的是（　　）①若a是的小数部分，则的值为1；
②比较两个二次根式的大小；
③计算；
④对于式子，对它的分子分母同时乘以或或，均不能对其分母有理化；
⑤设实数x，y满足，则；
⑥若，，且，则正整数．
A．①④⑤ B．②③④ C．②④⑤⑥ D．②④⑥
二、填空题（6小题，每小题3分，共18分）
11．如果一个自然数的平方根为，那么与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是 ．
12．已知 ， ，则 （结果精确到小数点后两位）．
13．若，则代数式的值为 ．
14．如图所示为一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵的规律，第10行倒数第二个数是 ；
15．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，善于思考的小明进行了以下探究．例如：，即．请你仿照小明的方法，解决下列问题：
（1）若，且均为正整数，则 ；
（2）化简的正确结果为 ．
16．已知满足，则代数式的值是 ．
三、解答题（9小题，共72分）
17．计算：
(1)； (2)．
18．（24-25八年级下·甘肃定西·期末）设，，求的值．
19．一个正数的两个平方根分别是和；且．
(1)求；
(2)求的平方根．
20．已知a的算术平方根是4，b是的立方根，c是的整数部分．
(1)_______，_______，_______；
(2)求的立方根；
(3)判断是有理数还是无理数，并说明理由．
21．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为．
(1)台风中心经过多长时间从B点移到D点？
(2)如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？
22．已知，都是实数，为整数，若，则称与是关于的一组“两倍数”．
(1)与_______是关于1的一组“两倍数”；
(2)与_______是关于3的一组“两倍数”；
(3)若，，判断与是否为关于某整数的一组“两倍数”，说明理由．
23．阅读材料，并解决问题．
定义：将分母中的根号化去的过程叫做分母有理化．如：将分母有理化．
解：原式．
运用以上方法解决问题：
(1)将分母有理化．
(2)比较大小（在横线上填“>”“<”或“=”）：______．
(3)计算：．
24．阅读材料，完成任务．
材料一 数形结合是重要的数学思想．按照图①所示将两个边长为1的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接）成一个大的正方形，可以得到无理数；按照图②和图③所示的两种剪拼方法将一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形，可以得到无理数．
材料二 实数与数轴上的点一一对应．要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图④，正方形的边长为1个单位长度，以原点为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点，，则点对应的数为，点对应的数为．类似的，我们可以在数轴上找到表示任意无理数的点．
任务 （1）材料1中，无理数是________； （2）如图⑤，改变图④中正方形的位置，用类似的方法作图，图⑤中点表示的数为________，点表示的数为________； （3）若，，求代数式的值，并在图⑥的数轴上作出表示这个代数式的值对应的点．（不写作法，保留作图痕迹，标明字母）
25．【发现问题】
由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：
，当且仅当时取到等号．
【提出问题】若，，利用配方能否求出的最小值呢？
【分析问题】例如：已知，求式子的最小值．
解：令，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4．
【解决问题】
请根据上面材料回答下列问题：
（1）__________（用“”“”“”填空）；当，式子的最小值为__________；
【能力提升】
（2）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？
（3）如图，四边形的对角线、相交于点，、的面积分别是8和14，求四边形面积的最小值．
参考答案
一、选择题
1．A
【分析】此题考查了二次根式的除法法则，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键．
根据二次根式的除法法则计算即可．
【详解】解：．
故选：A．
2．D
【分析】本题主要考查了平方根，算术平方根，立方根的含义，把能够化简的数线化简，再进一步判断即可．
【详解】A．4的平方根是，，4的平方根与不相同，故本选项不符合题意；
B．，，和不相同，故本选项不符合题意；
C．，与不相同，故本选项不符合题意；
D．，与6相同，故本选项符合题意；
故选：D．
3．B
【分析】本题考查了二次根式的有意义的条件，根据被开方数大于或等于0列不等式求解即可．
【详解】解：二次根式在实数范围内有意义，
，
，
故选：B．
4．D
【分析】本题主要考查最简二次根式的定义，需满足被开方数不含分母且因数不含平方数，据此求解即可；
【详解】解：，，，都是最简二次根式，
故选：D．
5．D
【分析】本题考查了二次根式的化简，解答此题的关键是判定字母的符号，注意题目中的隐含条件．
首先确定出的取值范围，再根据二次根式性质化简即可.
【详解】解：，
，
故选：D ．
6．B
【分析】本题考查了程序运算，算术平方根、立方根及有理数和无理数，按照运算程序逐步运算即可得到答案，看懂运算程序是解题的关键．
【详解】解：当时，算术平方根为，是有理数，
再取立方根，是有理数，
倒回再取的算术平方根为，是无理数，
∴输出的值为，
故选：B．
7．C
【分析】本题考查了二次根式，熟练运用完全平方公式是解题的关键．
先对通式进行化简，然后将的各项代入计算即可．
【详解】解：
，
，
所以最接近的整数是2017，
故选：C．
8．A
【分析】本题主要考查了分母有理化的应用、二次根式的大小比较等知识点，灵活分母有理化成为解题的关键．
先对a、b、c进行分母有理数，然后根据分子相同、分母越大、该数越小求解即可．
【详解】解：；
同理，，．
∵，
∴．
故选：A．
9．C
【分析】本题考查无理数的估值．利用换元法先将原式变形，然后简化计算结果，最后估计出小数部分的值，然后从选项中进行查找，最接近的即为答案．
【详解】解：本题根据条件，为的小数部分，因此，因此可以排除A、D选项．
设，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴
，
∵，
∵的整数部分是，
∴小数部分为，
选项B是，选项C是，
只有选项C最接近答案．
故选：C．
10．C
【分析】本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合计算，分母有理化，注意：认真阅读材料，理解材料中的知识，分母有理化，解题的关键是：根据平方差公式，将各式分母有理化．
①，把直接分母有理化即可判断．
把和分别分母有理化比较大小即可．
把原式的各项先分母有理化，再化为两个根式的差，计算即可得到结果．
④按照题意，分别进行分母有理化计算即可判断．
⑤先化简成和两个式子，把两个式子相加即可求出，再判断即可．
⑥分别把x和y分母有理化，求出和的值，代入，求出，再求出的值即可．
【详解】解：①若a是的小数部分，则，
故①错误，不符合题意．
②∵，，，
∴，
故②正确，符合题意．
③
．
故③错误，不符合题意．
④，
，
，
∴均不能对其分母有理化，
故④正确．
⑤∵，
∴，
∴，
同理，两式相加得，，
∴．
故⑤正确．
⑥，
，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故⑥正确．
综上所述：正确的有②④⑤⑥．
故选：C．
二、填空题
11．
【分析】本题考查了平方根的定义；先根据平方根的定义求出这个自然数，再根据平方根的定义得出答案．
【详解】解：∵一个自然数的平方根为，
∴这个自然数为9，
∴与这个自然数相邻的下一个自然数为10，
∴与这个自然数相邻的下一个自然数的平方根是，
故答案为：．
12．0.47
【分析】本题考查了实数的运算，先根据条件得到，再进一步计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：0.47．
13．10
【分析】本题考查非负性，二次根式的运算，根据非负性求出的值，进而求出代数式的值即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：10
14．
【分析】本题考查数字规律型，根据数阵中数字的特点总结规律求解即可．
【详解】解：由数阵可得，整个数阵从每一行左起第一个数开始，从左到右，从上到下，是连续的正整数的算术平方根，且每一行的个数分别为2、4、6、8 ，
∴前10行的总个数为，
即第10行最后一个数是，
∴第10行倒数第二个数是，
故答案为：．
15． 3
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算、运用二次根式的性质化简、完全平方公式等知识点，灵活运用完全平方公式是解题的关键．
（1）根据完全平方公式、二次根式的性质将原式化成完全平方式，进而求得a、b的值，然后代入求值即可；
（2）根据二次根式的性质和完全平方公式逐步化简即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴．
故答案为：3．
（2）
．
故答案为：．
16．
【分析】由二次根式的非负性得，从而得，结合条件即可求解．
此题主要考查了非负数的性质，解题突破点是根据已知求出未知数的值，另外要注意算术平方根、绝对值具有非负性的知识点的运用．
【详解】解：由得，
而，
故，
解得，
故时，
又，
，，，
，
故，
故答案为：．
三、解答题
17．（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．解：∵，，
∴，
∴，
∴．
19．（1）解：由题意得，，
∴，
∴，
∴，
∵，
代入，
∴，
∴；
（2）解：∵，，，
∴，
∴的平方根为．
20．（1）解：由题意得，
∴；
∵，
∴，
∴，
故答案为：，，；
（2）解：由（1）知，，，
∴，
∵，
∴的立方根为；
（3）解：是有理数，理由如下：
由（1）知，，，
∴，
∴是有理数．
21．（1）解：由题意可知，，，，
在中，，
，
台风中心经过从B点移到D点；
（2）解：如图，在射线上取点E、F，使得，
由得，在中，，
，
，
市受到台风影响的时间持续．
22．（1）解：∵，
∴．
∴当，时，
．
故答案为：4．
（2）解：∵，
∴．
∴当，时，
．
故答案为：．
（3）解：与是关于整数3的一组“两倍数”．
理由如下：
∵，，
∴
．
∴与是关于整数3的一组“两倍数”．
23．（1）解：．
（2）解：，，
∵
∴．
故答案为：．
（3）解：
．
24．解：（1）材料一中，，
∴，（负值舍去）
故答案为：；
（2）根据点在数轴上的位置及范例计算方法可得：点表示的数是，表示的数是 ，
故答案为：，；
（3）由（1）可知，
∴，，
，
在数轴上表示为点，如图所示：
25．解：（1）∵，且，
∴；
当时，，
故答案为：，2；
（2）设这个长方形花园靠墙的一边的长为米，另一边为米，
则，
，
这个篱笆长米，
根据材料可得，，当时，的值最小，
或（舍弃），
，
∴当长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米．
（3）设，已知，，
则由等高三角形可知：，
，
，
四边形面积
当且仅当，即时，取等号，
四边形面积的最小值为．

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