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第一章《勾股定理》单元测试卷
一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）
1．若6，a，8是一组勾股数，则a的值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
2．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得，若梯子的顶端沿墙下滑，这时梯子的底端也下滑，则梯子的长度为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，地面上，在同一水平面上，，当无人机从封处竖直上升时，无人机到处的距离为（　　）
A． B． C． D．
4．为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点与欲到达地点相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（ ）
A．8米 B．12米 C．16米 D．24米
5．如图，在 ABC中，，分别以为直径向外作半圆，面积分别为，若，则为（ ）
A． B． C． D．
6．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（ ）
A．72 B．52 C．80 D．76
7．勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，我国古代把直角三角形的直角边中较小者称为“勾”，另一长直角边称为“股”，把斜边称为“弦”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为10，则其弦是（ ）
A．25 B．26 C．27 D．28
8．对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，相交于点O．若，，则的值为（ ）
A．20 B．16 C．18 D．25
9．我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，连接，交于点P．如图所示，若，，则正方形的面积为（　　）
A．28 B．25 C．30 D．24
10．小明发现墙上有四边形涂鸦，如图，，，，现在小明想用一个最小的圆形纸板对其完全遮盖，则此圆形纸板的直径为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（6小题，每小题3分，共18分）
11．直角三角形的两直角边长为5和12，则该三角形的斜边长为 ．
12．如图，一块边长米的正方形绿地四周被小路环绕，点B在正方形的边上，则居民从比从A沿直线直接到B处要多走 米．
13．“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？ ”这是我国数学史上的“葭 生池中 ”问题．即， ，，则
14．小亮在一个科学实验课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠进小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的O、A、B、C、D均在同一平面上），过点作于点．现已知，测得，则的长为 cm．
15．如图， ABC为直角三角形，，分别以 ABC的三边为直角边，向外侧作等腰直角三角形，三个等腰直角三角形的面积分别记为，若．则图中阴影部分的面积为 ．
16．如图，在中，，，，动点P在 ABC内，且使得的面积为12，点Q为上的动点，则的最小值为 ．
三、解答题（9小题，共72分）
17．在中，．
(1)若，，则______；
(2)已知，，求、的值．
18．如图，在 ABC中，于点D，，，．
(1)求的长；
(2)求的长；
19．如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形A，B，C，D的边长分别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积．
20．《整式的乘法》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略．这充分体现了数学中“数形结合”这一数学思想方法的重要性．民兴七年级数学兴趣小组通过面积恒等的方法对直角三角形三边关系进行了探究．
【初步探究】

（1）如图（1），直角三角形纸片三条边长分别为a，b，c（），小组同学用四个这样的纸片拼成了一个大正方形，中间空一个小正方形（阴影部分）．
①一个直角三角形纸片的面积为____，小正方形边长为_____．（用含a，b的代数式表示）
②请用两种不同的方法表示出阴影部分（小正方形）的面积，从而探究出a，b，c三者之间的关系．（需化简）
【结论运用】
（2）如图2，已知， ABC是直角三角形，．请利用上面得到的结论求解．
①若，求的长．
②若，的长比的长大2，求的长．
【应用拓展】
（3）如图3，已知，在 ABC中，，请求出的面积．

21．【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．（1）在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）拼成，用它可以验证勾股定理；（2）图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）和直角边为的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理
【问题解决】（1）在直角三角形中，直角边分别为，，斜边为，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理；
（2）勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是（ ）；
A．函数思想 B．整体思想 C．分类讨论思想 D．数形结合思想
【知识应用】（3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路的长．
22．满足的三个正整数组成的数组叫做勾股数组．《周髀算经》中记载的“勾三股四弦五（古人将直角三角形中较短边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦）”就是一组最简单的勾股数组，在《九章算术》中给出了更多的勾股数组：，等．上述勾股数组的规律，可以用下面表格呈现：
勾股数组 …
股与弦的和： 9 25 49 …
股 …
弦 …
通过观察分析，回答下列问题：
(1)根据上述勾股数组的特点，写出勾股数组（11，______，______）；（______，______，145）
(2)猜想：若表示比1大的奇数，则上述勾股数组可以表示为（，______，______）；
(3)请证明（2）中的猜想．
23．【阅读理解】如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”
【方法运用】
（1）爱动脑筋的晓静同学把“弦图”中的四个三角形进行了运动变换，得到图2，请用两种不同方法表示图中阴影部分面积．方法1：____________；方法2：____________；根据以上信息，可以得到等式：____________；
【方法迁移】
（2）如图3，在 ABC中，，，，且是边上的高．求的长．
（3）如图4，在 ABC中，，，，，设，求的值．
24．[探究]
（1）已知，均为正实数，且，求的最小值，通过分析，小文想到了构造图形解决此问题：如图，，，，，，且，两点在直线的异侧．点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，．
①用含的代数式表示_______，用含的代数式表示________；
②据此求出的最小值；
[类比]
（2）根据上述方法，直接写出代数式的最小值________．
25．如图1，在四边形中，，分别是上的点，且，探究图中线段之间的数量关系．
(1)提示：探究此问题的方法是延长到点G，使，连接，先证明，再证明．请根据提示按照提示的方法完成探究求解过程．
(2)探索延伸：
如图2，若在四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？请说明理由．
(3)能力提高：
如图，等腰直角三角形中，，点M，N在边上，，若，则的长为 ．
参考答案
一、选择题
1．C
【分析】本题主要考查了勾股数，熟练掌握可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为勾股数是解题的关键．
分两种情况讨论：当a最大时，当8最大时，然后根据勾股定理求解．
【详解】解：当a最大时，；
当8最大时，，不是正整数，不符合题意；
所以a的值为10．
故选：C．
2．C
【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．先根据题意可得，，，，再设，则，利用勾股定理求出，然后根据建立方程，解方程可得的值，由此即可得．
【详解】解：由题意得：，，，，
∴，
设，则，
∴，，
又∵，
∴，即，
解得，
∴，
∴，
故选：C．
3．C
【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意得，，运用勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】解：如图所示：
依题意，米，，
∴，
故选：C．
4．D
【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度．
【详解】解：在中，根据勾股定理得到，
即，
解得，
故选：D．
5．B
【分析】本题考查勾股定理和圆的面积，解题关键是将勾股定理和圆的面积公式进行灵活的结合和应用．
根据圆的面积公式及勾股定理得出，进而即可求解．
【详解】解：∵在中，，分别以、、为直径向外作半圆，它们的面积分别记作、、，
∴在中，，
∴，
即，
，
故选：B．
6．D
【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质，根据题意得：，，利用勾股定理求出的长，进而求出的值即可得到答案．
【详解】解：如图，根据题意得：，，
∴，
∴，
∴这个风车的外围周长，
故选：D．
7．B
【分析】此题主要考查了勾股数的定义，数字类的规律问题，得出规律是解题关键．
根据规律可得，如果a，b，c是符合同样规律的一组勾股数，（m为偶数且），根据所给的二组数找规律可得结论．
【详解】根据规律可得，如果a，b，c是符合同样规律的一组勾股数， （m为偶数且 ），则另一条直角边 ，弦 ．
则弦为，
故选：B．
8．A
【分析】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键．
根据垂美四边形的性质，勾股定理的运用即可求解．
【详解】解：∵四边形是“垂美”四边形，即，
∴在中，，在中，，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
故选：A．
9．A
【分析】首先证明出，得到，然后证明出，得到，，然后，得到，然后由得到，相加求出，进而求解即可．
【详解】如图所示，设，交于点M
∵，，
∴，
∴，
∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∴得，
∴
∴正方形的面积．
故选：A．
10．D
【分析】过点作，过点作，连接交于点，根据勾股定理求出，再证明得，从而进一步可得结论．
【详解】解：过点作，过点作，连接交于点，如图，
在中，，
在中，，
∴
∵，
∴设，则，
∴
解得，,
∴,
∴；
在中，，
在中，，
设，则
同理可得，，
解得，，
∴
∴
∴
又，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴
∵，
∴最小的圆形纸板的直径应当为才能完全遮盖四边形，
故选：D．
二、填空题
11．13
【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由勾股定理得出斜边长，即可得解．
【详解】解：∵直角三角形的两直角边长为5和12，
∴该三角形的斜边长为．
故答案为：13．
12．6
【分析】本题主要考查了勾股定理．利用勾股定理求出的长即可得到答案．
【详解】解：由正方形的性质得：米，米
∴（米），
∴（米），
即居民从比从A沿直线直接到B处要多走6米，
故答案为：6．
13．
【分析】本题考查勾股定理的实际应用．设，则，由勾股定理列出方程进行求解即可．
【详解】解：设，则，
∵，，
∴，
解得：，即，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，利用证明得到，然后根据勾股定理求出，进而求解即可．
【详解】解：，
，
又，，
，
，
．
在和中，
，，，
，
，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：35．
15．
【分析】本题主要考查了勾股定理，平行线的性质与判定，由题意得，，由勾股定理可得，则可推出，据此可得，证明，则．
【详解】解：由题意得，，
在中，，则由勾股定理可得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理，轴对称的性质，垂线段最短，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
过点P作的垂线交于点M，作点B关于的对称点E，连接，，，过点E作于点H，运用勾股定理求出，由的面积为12即可求出，由对称得，，则，当点三点共线，且点Q与点H重合时取得最小值，即为，再对运用等面积法即可求出．
【详解】解：过点P作的垂线交于点M，作点B关于的对称点E，连接，，过点E作于点H，
∵
则，
∴，
由对称性得，
当点E，P，Q三点共线，且点Q与点H重合时取得最小值，即为，如下图．
的最小值为
故答案为：．
三、解答题
17．（1）解：∵，，，
∴；
故答案为：12；
（2）解：，
设，．
又，，
，
即，
（舍去负值）
，．
18．（1）解：在 ABC中，于点D，
故在中，
；
（2）在 ABC中，于点D，
故在中，
．
19．解：如图所示，∵正方形A，B的边长分别为12，16，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴正方形F的边长为20，
同理可得正方形G的边长为，
∴正方形E的边长为，
∴正方形E的面积为．
20．解：（1）①由题意得，一个直角三角形纸片的面积为，小正方形的边长为；
②∵小正方形的边长为，
∴小正方形的面积为；
∵小正方形的面积等于边长为c的正方形面积减去4个直角三角形的面积，
∴小正方形的面积为，
∴，
∴，
∴；
（2）①由（1）可得，
∵，
∴，
∴或（舍去）；
②∵的长比的长大2，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（3）如图所示，过点A作于D，
设，则，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴．

21．解：（1）根据赵爽弦图进行证明：
∵，
∴，
∴．
根据“总统证法”进行证明：
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是数形结合思想．
故选：D
（3）当时，最小，能最大限度节省铺路的费用．
设千米，则（千米）
∵，
∴在中，，
在中，，
∴，
解得，
∴千米，
∴（千米）．
答：新修路的长为0.8千米．
22．（1）解：由表格可知，，
∴当时，，
∴；
当时，则，
∴，
∴或（舍去），；
（2）解：∵m为最小的数，
∴另外两个数的和为，
∴股为，弦为；
（3）证明：
，
∴是勾股数组．
23．解：（1），，
∴；
（2）∵，，，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
∵，设，
∴，
∵，，
∴在中，由勾股定理，得：，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
解得：．
24．和 BDE是直角三角形，，
在中，，，
，
在中，，，
，
故答案为：，．
②如图所示，过点做的平行线交延长线于点，
∴，，
当点，，三点共线时，有最小值，
∴，
在直角中，，，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
（2）如图所示，，，，，，设，则，
∴，，
当，，三点共线时，的值最小，
∴由上证明可得，，，
∴在直角中，，
∴的最小值为，
故答案为：．
25．（1）解：如图，延长到点，使，连接，
在和中，
，
∴，
∴，，
，
即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：（）中的结论仍然成立．
证明：如图中，延长至，使，连接，
∵， ，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）如图，过点C作，垂足为点C，截取．连接、．
∵，
∴
∵，
∴，
在和中
∵
∴
∴，
∴，
∴，
在和中
∵ ，
∴
∴，，
∴．
故答案为：24．

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