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2025-2026学年上绥滨县第五中学、第八中学九月质量联合检测
九年级数学试卷
考试时间：120分钟，满分：120 分
一、选择题（每小题3分，共30分）
下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. 2x + 3 = 0 B. + y = 1 C. + x = 2 D.3 - 5x + 2 = 0
抛物线 y = 2 + 1 的对称轴是（ ）
A. 直线 x = 3 B. 直线 x = -3 C. 直线y = 3 D. 直线y = 1
用配方法解方程 - 6x + 1 = 0 ，配方后正确的是（ ）
A. = 8 B. = 8 C. = 9 D. = 35
一元二次方程 ( x^2 - 4x + 4 = 0 ) 的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 只有一个实数根
抛物线 y = - + 2x + 3 的开口方向和顶点坐标分别是（ ）
A. 向上，(1, 4)B. 向下，(1, 4)C. 向下，(-1, 0)D. 向上，(-1, 0)
若关于 x 的方程 + 2x + k = 0 有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）
A. k > 1 B. k ≥1 C. k < 1 D. k≤1
将抛物线y = 向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得抛物线的解析式是（ ）
A. y = + 3 B. y = + 3
C. y = - 3 D. y = - 3
某商品原价为100元，经过两次降价，每次降价的百分率相同，现价为81元，设每次降价的百分率为 ( x )，则可列方程为（ ）
A.100 = 81 B.100 = 81
C.100(1 - 2x) = 81 D. 81 = 100
已知抛物线y = a + bx + c的图像经过点 (0, 3) ，则 c 的值为（ ）
A. 0 B. 3 C. -3 D. 无法确定
若一元二次方程 - 3x + m = 0 的一个根是1，则另一个根是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（每小题4分，共24分）
方程 - 5x = 0 的解是 。
抛物线 y = - 4x + 3 与 x 轴的交点坐标是 。
若关于x的方程 + mx + 9 = 0 有两个相等的实数根，则 m = 。
抛物线y = -2 + 4x - 1 的顶点坐标是 。
某小区2023年有私家车100辆，预计2025年达到144辆，若年平均增长率为 x ，则可列方程为 。
已知抛物线y = a + bx + c的对称轴为x = 1，且过点(3, 0)，则它一定经过点 。
三、解答题（共66分）
（10分） 解下列方程：
（1） - 4x + 1 = 0 （用配方法） （2）2 - 5x + 2 = 0（用公式法）
（8分） 已知关于x 的方程 - 2x + k - 1 = 0 有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围。
（8分） 画出抛物线 y = - 2x - 3 的图像，标出顶点、对称轴和与坐标轴的交点，并写出函数的最小值。
（10分） 某商场销售一种商品，每件进价为30元，售价为50元时，每月可销售200件。市场调查发现：售价每上涨1元，月销量减少10件。设售价上涨 x 元。
（1）求月销量y（件）与 x 的函数关系式；
（2）求月利润 y 元与 x 的函数关系式；
（3）当售价定为多少元时，月利润最大？最大利润是多少？
（10分） 已知抛物线y = a + bx + c 经过点A(0, 3)、B(1, 0)、C(3, 0)。
（1）求抛物线的解析式；
（2）求抛物线的对称轴和顶点坐标。
（10分） 如图，抛物线 y = - + 2x + 3 与 x 轴交于点 A、B （点 A 在点B 左侧），与 y 轴交于点 C。
（1）求点 A 、B、 C 的坐标；
（2）求 ABC的面积。
（10分） 探究题：
已知一元二次方程 + (m+2)x +(2m-1) = 0。
（1）求证：无论 m 取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根为1，求 m 的值，并求出另一个根。
第 2 页 共 2 页九年级数学答案
一、选择题（每小题3分，共30分）
题号 答案 分值 解析与评分标准
1 D 3分 解析：一元二次方程需满足：①整式方程；②一个未知数；③最高次数为2。A是一次方程；B含两个未知数；C不是整式（分母含 ）；D符合定义。评分标准：选D得3分；其他选项不得分。
2 A 3分 解析：抛物线 的对称轴是直线 。本题中 ，故对称轴为 。评分标准：选A得3分；其他不得分。
3 A 3分 解析： 配方过程： ， ， 。评分标准：选A得3分；其他不得分。
4 B 3分 解析：判别式 ，故有两个相等的实数根。评分标准：选B得3分；其他不得分。
5 B 3分 解析： ，开口向下；顶点坐标公式： ，代入得 ，顶点为 。评分标准：选B得3分；其他不得分。
6 B 3分 解析：方程有实根，则 ，解得 。评分标准：选B得3分；其他不得分。
7 B 3分 解析：平移规律“左加右减，上加下减”： 。评分标准：选B得3分；其他不得分。
8 B 3分 解析：两次降价，每次降 ，现价为 。评分标准：选B得3分；其他不得分。
9 B 3分 解析：代入 ，得 。评分标准：选B得3分；其他不得分。
10 B 3分 解析：代入 得 ， ，方程为 ，根为 ，另一根为2。评分标准：选B得3分；其他不得分。
二、填空题（每小题4分，共24分）
题号 答案 分值 解析与评分标准
11 或 4分 解析： ，解得 或 。评分标准：两个解均正确得4分；只写一个解得2分；解错或不写不得分。
12 4分 解析：令 ，解 ，得 。评分标准：两个点坐标全对得4分；写对一个得2分；顺序不限；坐标格式错误扣1分。
13 4分 解析： ，得 。评分标准：写对两个值得4分；只写一个得2分；符号错误不得分。
14 4分 解析：顶点公式 ，代入得 。评分标准：坐标正确得4分；只写 得2分；计算错误不得分。
15 4分 解析：两年增长，年增长率为 ，列方程 。评分标准：方程正确得4分；写成 得2分；其他不得分。
16 4分 解析：对称轴 ，点 关于 的对称点为 。评分标准：坐标正确得4分；写错不得分。
三、解答题（共66分）
17.（10分）解方程
（1）用配方法解：
解：
- 4x = -1 ..........................（1分）
- 4x + 4 = 3 ..........................（2分）
= 3 ..........................（1分）
x = 2±
即x1=2+，x2=2-..............................（1分）
（2）用公式法解：
解：在方程， a = 2, b = -5, c = 2 .............（1分）
=
=-4×2×2=25-16=9................................（1分）
将a = 2，b=-5， = 9代入求根公式，可得x==。（2 分）
当取+时，x==2；当取-时，x==，
即x1=2，x2=。（1 分）
18.（8分）求 的取值范围
解：
对于一元二次方程a+bx + c = 0(a≠0)，
判别式 =-4ac，当 > 0时，方程有两个不相等的实数根。.........（3分）
在方程-2x + k - 1 = 0中，a = 1，b=-2，c = k - 1。
计算判别式 =-4×1×(k - 1)=4 - 4k + 4=8 - 4k。.............（2分）
因为方程有两个不相等的实数根，所以 >0，即8 - 4k>0。..........（2分）
移项可得-4k>-8，两边同时除以-4，不等号方向改变，得k < 2。...（1分）
答：当 时，方程有两个不相等的实数根。
（未写“ ”或符号错误扣2分）
（8分）画抛物线y = - 2x - 3的图像并分析
解：
（1）配方： ，顶点（1，-4），.................（2分）
对称轴 ....................................（1分）
（2）与 轴交点：令 ， ，
得（3,0），（-1,0） ....................................（2分）
（3）与 轴交点：（0，-3） ...........................（1分）
（4）最小值： ..................................（1分）
（画图略）图像大致正确（开口向上、顶点位置）.........（1分）
（10分）商品销售利润问题
解：
（1）求月销量y（件）与 x 的函数关系式；
已知售价每上涨1元，月销量减少10件，原来月销量为200件，售价上涨x元，
所以月销量y = 200 - 10x（件）............................ (3分)
求月利润y元与x的函数关系式
每件利润为(50 + x - 30)元，月销量为(200 - 10x)件，
根据 “利润 = 每件利润 × 销量”，
可得：y=(50 + x - 30)(200 - 10x)=(20 + x)(200 - 10x)
展开式子：y = 20×200 - 20×10x + 200x - 10=4000 - 200x + 200x - 10=-10+4000
即y=-10+4000.........(3分)
求售价定为多少时利润最大及最大利润
对于二次函数y = -1+4000，其中a = -10<0，抛物线开口向下，函数在顶点处取得最大值。顶点的横坐标x = -，这里b = 0，所以x = 0。
此时售价为50 + 0 = 50元，最大利润为y = -10+4000= 4000元。（4 分）
21.（10分）求解析式与顶点
解：
（1）已知 ，点A(0, 3)、B(1, 0)、C(3, 0)，
把A（0,3）代入 ，得C=3.........（1分）
把B(1, 0)、C(3, 0)和C代入 ，
得到方程组 ，........（3分）
解得b=-4，...........................（1分）
把b=-4代入，得a=1.............................................................（1分）
所以抛物线的解析式为y = -4x + 3。
求抛物线的对称轴和顶点坐标
对于抛物线y = a+bx + c，对称轴公式为x = -。在y =-4x + 3中，a = 1，b = -4，
所以对称轴为x = -=2。.................................（2分）
把x = 2代入y =-4x + 3，得y = -4×2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1，所以顶点坐标为(2,-1)。..............................................（2分）
22.（10分）几何与函数综合
解：
求点A、B、C的坐标
求与x轴交点A、B：令y = 0，即-+2x + 3 = 0，变形为-2x - 3 = 0，因式分解得(x - 3)(x + 1)=0，解得x = 3或x = -1。
因为点A在点B左侧，所以A(-1,0)，.........（2分）
B(3,0).............（2分）
求与y轴交点C：令x = 0，得y = 3，所以C(0,3).......（2分）
求 ABC的面积
由A(-1,0)，B(3,0)可知AB的长度为3 - (-1)=4.............（1分）
点C到x轴的距离就是C点的纵坐标的绝对值，即3，这个距离就是 ABC中AB边上的高。................................................（1分）
根据三角形面积公式S=×底×高，
可得S ABC=×4×3 = 6.....................（2分）
23.（10分）探究题
（1）证明：
对于一元二次方程 + (m+2)x +(2m-1) = 0(a≠0)，
判别式 = -4ac。在方程+ (m+2)x +(2m-1) = 0中，a = 1，b = m + 2，c = 2m - 1。.................................(2分）
计算 ：
=(m + 2)2-4×1×(2m - 1)
=m2+4m + 4 - 8m + 4
=m2-4m + 8
=m2-4m + 4 + 4
=(m - 2)2+4................................（1分）
因为任何数的平方都大于等于0，即(m - 2)2≥0，
所以(m - 2)2+4≥4>0。..........（1分）
所以无论m取何值， >0，方程总有两个实数根。..........（1分）
求解m的值和另一个根
已知方程有一个根为1，将x = 1代入方程x2+(m + 2)x+(2m - 1)=0得：12+(m + 2)×1+(2m - 1)=0,..........................（1分）
解得m =-.......................................（1分）
把m = -代入原方程，得到x2+(-+2)x+(2×(-) - 1)=0，....（1分）
解得x1=1,x2=-，........................................（1分）
所以另一个根是-.......................................（1分）

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