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2025-2026学年安徽省六安市金安区皋城中学九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
A. B. C. D.
2.下列各式中，计算正确的是( )
A. B. C. D.
3.对于二次函数的图象，下列说法正确的是( )
A. 图象有最低点，其坐标是 B. 图象有最高点，其坐标是
C. 当时，y随x的增大而减小 D. 当时，y随x的增大而减小
4.在中，、、的对应边分别是a，b，下列条件中，不能判断是直角三角形的是( )
A. B. a：b：：4：5
C. D. ：：：4：5
5.如图，在矩形纸片ABCD中，，，点E是边AD上的一点，将沿BE所在的直线折叠，使点A落在BD上的点G处，则AE的长是( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
6.若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是( )
A. B. 且 C. D.
7.习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”.学校为响应该市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计，第-天进馆1280人次，进馆人次逐日增加，第三天进馆2880人次，若进馆人次的日平均增长率为x，则可列方程为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知一次函数的图象如图，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是( )
A. B.
C. D.
9.如图，与均为直角三角形，且，，AB：：3，点E是BD的中点，则AE的长为( )
A. B. C. 2 D. 3
10.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以AC为斜边作，AE与BD交于点F，连接BE，使得，且，若，则菱形ABCD的周长为( )
A. B. C. D. 4
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.函数中，自变量x的取值范围是______.
12.一组数据3，4，x，7，8的平均数是6，这组数据的中位数为______.
13.已知关于x的一元二次方程，若等腰三角形的一边长为3，另两边长恰好是该方程的两个根，则k的值是______.
14.在平面直角坐标系中，设二次函数，其中
此二次函数的对称轴为直线______；
已知点和在此函数的图象上，若，则t的取值范围是______；
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题8分
计算：
16.本小题8分
解下列方程：
；
17.本小题8分
如图所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点.
作三角形，使三角形的三边长分别为，，；
请求中你所画的的AB边上的高的长度.
18.本小题8分
如图，在平行四边形ABCD中，点E是边AD的中点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，连接AC，
求证：四边形ACDF是平行四边形；
若，，求平行四边形ACDF的面积.
19.本小题10分
观察下列等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
…
按照以上规律，解决下列问题：
写出第4个等式：______；
写出你猜想的第n个等式：______用含n的式子表示，并证明．
20.本小题10分
中考体育测试前，某区教育局为了了解选报引体向上的初三男生的成绩情况，随机抽取了本区部分选报引体向上项目的初三男生的成绩，并将测试得到的成绩绘成了下面两幅不完整的统计图
请你根据图中的信息，解答下列问题：
写出扇形图中______，并补全条形图；
样本数据的平均数是______，众数是______，中位数是______；
该区体育中考选报引体向上的男生共有1200人，如果体育中考引体向上达6个以上含6个得满分，请你估计该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有多少名？
21.本小题12分
某村今年收获12万千克的茭白，计划在A市和B市全部销售.在A市销售时，每千克茭白的利润为2元；在B市销售时，平均每千克茭白的利润元与B市的销售量万千克之间的关系满足
若该村销售完所有茭白共获利万元，求该村在B市销售茭白多少万千克；
若在B市销售茭白m万千克与n万千克所获总利润相同，且，求出m与n所满足关系式？
22.本小题12分
如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点
求该抛物线的解析式；
若点E是抛物线的对称轴与直线BC的交点，点F是抛物线的顶点，求EF的长；
设点P是中抛物线上的一个动点，是否存在满足的点P？如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．请在图2中探讨
23.本小题14分
如图，中，于点D，，点E在CD上，，连接
求证：；
延长BE交AC于点F，连接DF，求的度数；
过点C作，，连接BM交CD于点N，若，，直接写出的面积.
参考答案
1.C
解：A、不是最简二次根式，不符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：
2.C
解：，因此选项A不符合题意；
B.与不是同类项，不能合并运算，因此选项B不符合题意；
C.，因此选项C符合题意；
D.，因此选项D不符合题意．
故选：
3.D
解：A、由于，所以开口向下，有最大值，故A不符合题意．
B、由二次函数可知顶点为，故B不符合题意．
C、由二次函数可知对称轴为，当时，y随x的增大而增大，故C不符合题意．
D、二次函数可知对称轴为，当时，y随x的增大而减小，故D符合题意．
故选：
4.D
解：A、，
，
是直角三角形，
故A不符合题意；
B、：b：：4：5，
设，，，
，，
，
是直角三角形，
故B不符合题意；
C、，
，
，
，
，
是直角三角形，
故C不符合题意；
D、：：：4：5，
，
不是直角三角形，
故D符合题意；
故选：
5.B
解：四边形ABCD是矩形，
，
，
设，则，
由翻折的性质得：，，，
，
在中，由勾股定理得：
，
解得：，
，
故选：
6.C
解：当时，
此时方程为，
该方程有实数根，
所以满足题意．
当时，
，
解得，
综上所述，k的取值范围是
故选：
7.B
解：设进馆人次的日平均增长率为x，
根据题意得，，
故选：
8.C
解：观察函数图象可知：、，
二次函数的图象对称轴，与y轴的交点在y轴正半轴．
故选：
9.B
解：延长AE交BC的延长线于点F，
，
，
，
点E是BD的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
：：3，
，
，
，，
在中，由勾股定理得，
，
故选：
10.B
解：连接OE，
四边形ABCD是菱形，
，，
在中，OE是斜边AC的中线，
，
，
，
，
，
，，
，
，
≌，
，，
，
，
等腰直角三角形，
，
，
菱形ABCD的周长是
故选：
11.
解：由题意得：，
解得：，
故答案为：
12.7
解：一组数据3，4，x，7，8的平均数是6，
，
解得，
将这组数据从小到大排列为：3，4，7，8，8，
这组数据的中位数为
故答案为：
13.2或3
解：①若为底边，设b，c为腰长，则，则
，
解得：
此时原方程化为，
，即，
此时三边为3，2，2能构成三角形，
；
②若，则或，即方程有一根为3，
把代入方程，得，
解得，
此时方程为，
解得，，
方程另一根为2，
、3、2能构成三角形，
，综上，k的值为2或3，
故答案为：2或
14.
解：二次函数，
函数经过和，是对称点，
对称轴为直线，
故答案为：；
二次函数，
二次项系数为，
函数图象开口向上，
又和在此函数的图象上，对称轴为直线，
画出图象如图，点Q关于对称轴的对称点横坐标，
，
点P应在线段下方部分的抛物线上包括点Q、，
，
故答案为：
15.解：

16.解：，
，
，，
，；
，
，
，
，，
，
17.解：如图所示：即为所求作：
设AB边上的高为CD，如图，
，
，
，即的AB边上的高为
18.证明：四边形ABCD为平行四边形，
，
∽，
点E为边AD的中点，
，
，
，
，
，
四边形ACDF是平行四边形；
解：四边形ACDF是平行四边形，
，
四边形ABCD为平行四边形，
，
，
，
，
平行四边形ACDF的面积
利用平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质得到，再利用对角线互相平分的四边形是平19.解： ；
，
理由如下：
证明：左边，
左边=右边，
等式成立．

20.解：由题意可得，，
样本总数为：人，
做6个的学生数是人，
故答案为：，补全条形统计图如图所示：
由条形统计图可知，
学生引体向上的个数出现次数最多的是5个，共有60人，因此学生引体向上成绩的众数是5个，
将这200名学生的引体向上成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是5个，因此中位数是5个，
平均数为个，因此平均数为个，
故答案为：，5，5；
样本数据的平均数，众数是5，中位数是5；
该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的有：名，
答：该区体育中考中选报引体向上的男生能获得满分的大约有540名．
21.解：设该村在B市销售茭白x万千克，则在A市销售茭白万千克，
根据题意得：，
整理得：，
，解得：，，
答：该村在B市销售茭白3万千克或8万千克；
由题意可知，在B市销售茭白m万千克，则在A市销售茭白万千克，
在B市销售茭白n万千克，则在A市销售茭白万千克，
根据题意得：，
，
不符合题意，舍去或，
答：m与n所满足的关系式为
22.解：将，代入，
得：，解得：，
该抛物线的解析式为
抛物线的解析式为，
抛物线的顶点F的坐标为，抛物线的对称轴为直线
当时，，
点C的坐标为
设直线BC的解析式为，
将，代入，
得：，解得：，
直线BC的解析式为
当时，，
点E的坐标为，
点A的坐标为，点B的坐标为，
设点P的坐标为
，
，
即或，
解得：，，，，
存在满足的点P，点P的坐标为或或或
23.证明：，，，
，
在和中，
，
≌，
如图，过点D作交BE于点P，
根据得≌，，
，，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
如图，在CD上截取，连接BE，延长BE交AC于点F，
根据得证≌，，；
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
的面积为：

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