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2024~2025学年度第二学期期末学业质量监测八年级数学
（考试时间：120分钟 满分：150分）
请注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两个部分．
2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效．
3．作图必须用铅笔，并请加黑加粗．
第一部分 选择题
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 以下图形是我国部分博物馆标志的图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列说法正确的是( )
A. “打开电视，正在播放乒乓球比赛”是必然的事件；
B. “抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上”是随机事件；
C. “面积相等的两个三角形全等”是不可能事件；
D. “网上任意买一张《长津湖》的电影票，票上排号恰好是奇数”是不可能事件．
4. 如图，在平面直角坐标系中，绕旋转中心顺时针旋转后得到，则旋转中心的坐标是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知点在反比例函数为常数，的图象上，，则以下说法正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
6. 如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D. 无法确定
第二部分 非选择题（共132分）
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡和应位置上）
7. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是___________．
8. 若与最简二次根式可以合并，则的值为_________．
9. 已知平行四边形，从①；②；③；④四个条件中，选一个作为补充条件，使得平行四边形是矩形．选择的条件可以是___________．（写出所有的可能，填写序号即可）
10. 若关于x的方程会产生增根，则k的值为________
11. 一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、10、6、8，则第5组的频率是 _____．
12. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度___________．
13. 小明借助电脑软件做掷骰子实验，利用频率估计概率．有下列4个实验：①掷骰子，向上一面的点数是6；②掷骰子，向上一面的点数是偶数；③掷骰子，向上一面的点数大于4．根据图中的实验记录情况，小明做的实验可能是___________（填写序号即可）．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，菱形的顶点在双曲线上（为常数），点在轴正半轴上，将该菱形向上平移，使点的对应点落在该双曲线上，过点作轴交于点，则___________．
15. 如图，在四边形中，，点分别为的中点，则___________．
16. 如图，在菱形中，，，点是边上的动点，连接，点是的中点，连接，，则的最小值为___________．
三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1）；
（2）．
18. 解方程：
（1）；
（2）．
19. 为了节约资源，保护环境，从6月1日起全国限用超薄塑料袋．古龙中学课外实践小组的同学利用业余时间对本城居民家庭使用超薄塑料袋的情况进行了抽样调查．统计情况如图所示，其中为“不再使用”，为“明显减少了使用量”，为“没有明显变化”．
（1）本次抽样的样本容量是 　　．
（2）图中　　（户），　　（户）．
（3）若被调查的家庭占全城区家庭数的10%，请估计该城区不再使用超薄塑料袋的家庭数．
20. 课堂上，老师提出了下面的问题：若，试比较与的大小．
小华：整式的大小比较可采取“作差法”．例如比较与的大小．因为，所以．
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？
（1）请用“作差法”完成老师提出的问题；
（2）比较大小：___________．
21. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点按下列要求画图：
（1）在图1中画菱形，，使其周长为，并求菱形的面积；
（2）在图2中画直角三角形，使得两直角边均为无理数，斜边为有理数．
22. 已知：如图，在中，E、F分别为边的中点，是对角线，交的延长线于G．
（1）求证：；
（2）若四边形是菱形，则四边形是什么特殊四边形？并证明你的结论．
轴交于点．
（1）求与值；
（2）当时，的取值范围是___________；
（3）若为轴上的一动点，当的面积为5时，求的值．
24. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点按下列要求画图：
（1）在图1中画菱形，，使其周长为，并求菱形的面积；
（2）在图2中画直角三角形，使得两直角边均为无理数，斜边为有理数．
25. 如图，在中，点分别为的中点，是对角线，交的延长线于．
（1）求证：；
（2）若四边形是菱形，则四边形是什么特殊四边形？并证明你的结论．
26. 如图，直线与双曲线交于点，与轴交于点．与轴交于点．
（1）求与的值；
（2）当时，的取值范围是___________；
（3）若为轴上的一动点，当的面积为5时，求的值．
27. 曲线的应用是广泛的，在历史的长洞中，借助它能够研究许多著名几何问题，如倍立方体问题．初二（1）班数学学习小组尝试对双曲线相关的几何问题进行探究．
（1）如图1，是双曲线上的两点，横坐标分别是和3，以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴，求证：对角线所在直线经过原点；
（2）若是双曲线上的任意两点（与不重合），以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴，请探究：对角线所在直线是否经过原点？请说明理由；
（3）如图3，是双曲线上的两点（点在右侧），连接，，若且，求此时的面积．
2024~2025学年度第二学期期末学业质量监测八年级数学
参考答案
第一部分 选择题
一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 以下图形是我国部分博物馆标志的图案，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解：A．是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
D．不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
2. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
解：A. 与的被开方数不同，无法合并，错误，不符合题意；
B. ，错误，不符合题意；
C. ，正确，符合题意；
D. ，错误，不符合题意，
故选：C．
3. 下列说法正确的是( )
A. “打开电视，正在播放乒乓球比赛”是必然的事件；
B. “抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上”是随机事件；
C. “面积相等的两个三角形全等”是不可能事件；
D. “网上任意买一张《长津湖》的电影票，票上排号恰好是奇数”是不可能事件．
【答案】B
解：A.“打开电视，正在播放乒乓球比赛”是随机事件，故该选项不正确；
B.“抛掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上”是随机事件，故该选项正确；
C.“面积相等的两个三角形全等”是随机事件，故该选项不正确；
D.“网上任意买一张《长津湖》的电影票，票上排号恰好是奇数”是随机事件，故该选项不正确；
故选：B．
4. 如图，在平面直角坐标系中，绕旋转中心顺时针旋转后得到，则旋转中心的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解：根据旋转中心一定在对应点连线的垂直平分线上，
根据坐标特点，得到中心一定在y轴上，
根据旋转的全等性，发现到对应点的距离相等，
故旋转中心为．
故选：C．
5. 已知点在反比例函数为常数，的图象上，，则以下说法正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】D
解：反比例函数的图象分布在第二、四象限，在每个象限内，随增大而增大；
A、当两点都在第四象限时，满足，此时，不满足，原说法错误，不符合题意；
B、当两点不在同一象限时，若，则不一定成立，例如时，则有，则，原说法错误，不符合题意；
C、若，那么在同一象限，而，故，原说法错误，不符合题意；
D、若，那么不在同一象限，而，则，原说法正确，符合题意；
故选：D．
6. 如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D. 无法确定
【答案】A
解：连接，
由正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，
根据题意，得阴影部分的面积是，
故选：A．
第二部分 非选择题（共132分）
二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡和应位置上）
7. 若在实数范围内有意义，则的取值范围是___________．
【答案】
解：在实数范围内有意义，
，
，
故答案为：．
8. 若与最简二次根式可以合并，则的值为_________．
【答案】
解：化简：，
∵与最简二次根式可以合并，
∴，
解得：
9. 已知平行四边形，从①；②；③；④四个条件中，选一个作为补充条件，使得平行四边形是矩形．选择的条件可以是___________．（写出所有的可能，填写序号即可）
【答案】②③
解：补充①；
∵平行四边形，
∴平行四边形是菱形，不成立；
补充②；
∵平行四边形，
∴平行四边形是矩形，成立；
补充③；
∵平行四边形，
∴平行四边形是矩形，成立；
补充④；
∵平行四边形，
∴平行四边形是菱形，不成立；
故答案为：②③．
10. 若关于x的方程会产生增根，则k的值为________
【答案】
解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
∵原方程会产生曾哥，
∴方程，即，
∴，
∴，
故答案为：．
11. 一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，第1～4组的频数分别为12、10、6、8，则第5组的频率是 _____．
【答案】0.28
解：根据题意得：，
则第5组的频率为，
故答案为：0.28．
12. 机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度___________．
【答案】
解：设反比例函数解析式为，
∵机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度，
∴，
∴反比例函数解析式为，
当时，．
故答案为：．
13. 小明借助电脑软件做掷骰子实验，利用频率估计概率．有下列4个实验：①掷骰子，向上一面的点数是6；②掷骰子，向上一面的点数是偶数；③掷骰子，向上一面的点数大于4．根据图中的实验记录情况，小明做的实验可能是___________（填写序号即可）．
【答案】③
解：根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率约为，
①掷骰子，向上一面的点数是6的概率为，故此选项不符合题意；
②掷骰子，向上一面的点数是偶数的概率为，故此选项不符合题意；
③掷骰子，向上一面的点数大于4的概率为，故此选项符合题意．
故答案为：③
14. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，菱形的顶点在双曲线上（为常数），点在轴正半轴上，将该菱形向上平移，使点的对应点落在该双曲线上，过点作轴交于点，则___________．
【答案】2
解：菱形的顶点在反比例函数的图象上，
，
反比例函数为，
由可知，
，
将该菱形向上平移，使点的对应点落在反比例函数的图象上，
点的横坐标为4，
把代入得，，
，
设直线为：，则，
解得，
故直线为：，
，点的纵坐标为2，
，
，
故答案为：2．
15. 如图，在四边形中，，点分别为的中点，则___________．
【答案】
解：如图，取边的中点，连接、．
，分别为，的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，，，
又，，
，，，
在直角中，由用勾股定理，得
．
故答案为：．
16. 如图，在菱形中，，，点是边上的动点，连接，点是的中点，连接，，则的最小值为___________．
【答案】
解：过P作于点N，交于点M，
由题意，，
∴，
∵点P是CE的中点，
∴，
∴，
∴，
则由题意可知，随着点E的运动，点P到等距，即在过菱形对角线交点，平行于边的直线l上
过点D作于点F，
则此时点D和F关于直线l对称，
连交直线l于点H，连，
则，
当点P与点H重合时，的值最小，
由题意，，，
∴，
∴，
∴
故答案为：
三、解答题（本大题共有10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）无解
【小问1详解】
解：，
去分母得：，
去括号得：，
整理得：，
解得：
当时，，
故是方程的解；
【小问2详解】
解：，
去分母得：，
去括号得：，
整理得：，
解得：
当时，，
故是方程的增根；原方程无解．
19. 为了节约资源，保护环境，从6月1日起全国限用超薄塑料袋．古龙中学课外实践小组的同学利用业余时间对本城居民家庭使用超薄塑料袋的情况进行了抽样调查．统计情况如图所示，其中为“不再使用”，为“明显减少了使用量”，为“没有明显变化”．
（1）本次抽样的样本容量是 　　．
（2）图中　　（户），　　（户）．
（3）若被调查的家庭占全城区家庭数的10%，请估计该城区不再使用超薄塑料袋的家庭数．
【答案】（1）4000
（2）2800，400
（3）28000户
【小问1详解】
解：（1）800÷（100%-70%-10%）=4000，
故答案为：4000；
【小问2详解】
a=4000×70%=2800，c=4000×10%=400
故答案为：2800，400；
【小问3详解】
4000÷10%×70%=28000(户)
答：估计该城区不再使用超薄塑料袋的家庭数是28000户．
20. 课堂上，老师提出了下面的问题：若，试比较与的大小．
小华：整式的大小比较可采取“作差法”．例如比较与的大小．因为，所以．
老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？
（1）请用“作差法”完成老师提出的问题；
（2）比较大小：___________．
【答案】（1）
（2）
【小问1详解】
解：，
，
，
；
【小问2详解】
解：，
．
故答案为：．
21. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点按下列要求画图：
（1）在图1中画菱形，，使其周长为，并求菱形的面积；
（2）在图2中画直角三角形，使得两直角边均为无理数，斜边为有理数．
【答案】（1）作图见解析，菱形的面积为3或4
（2）作图见解析
【小问1详解】
如图1，菱形和菱形均满足题意．
菱形的面积为，菱形的面积为，
菱形的面积为3或4．
【小问2详解】
如图2，直角三角形即为所求（答案不唯一）．
22. 已知：如图，在中，E、F分别为边的中点，是对角线，交的延长线于G．
（1）求证：；
（2）若四边形是菱形，则四边形是什么特殊四边形？并证明你的结论．
【答案】（1）见解析 （2）矩形，理由见解析
【小问1详解】
∵在中，
∴，
∵E、F分别为边的中点
∴，
∴
∴四边形是平行四边形
∴；
【小问2详解】
矩形，理由如下：
∵在中，
∴
∵，
∴四边形是平行四边形
如图所示，连接
∵E为边的中点
∴点E在上
∵四边形是菱形
∴
∵，
∴
∴平行四边形是矩形．
23. 如图，直线与双曲线交于点，与轴交于点，与轴交于点．
（1）求与值；
（2）当时，的取值范围是___________；
（3）若为轴上的一动点，当的面积为5时，求的值．
【答案】（1），8
（2）
（3）或
【小问1详解】
解：把代入得：，
解得：，
把代入得：．
．
把代入得：．
的值为，的值为8．
【小问2详解】
由图象可知：当时，的图象在的上方，
当时，的取值范围是：．
故答案为：．
【小问3详解】
当时，．
，
为轴上的一动点，
．
，
，
，
，
或．
24. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫作格点，以格点为顶点按下列要求画图：
（1）在图1中画菱形，，使其周长为，并求菱形的面积；
（2）在图2中画直角三角形，使得两直角边均为无理数，斜边为有理数．
【答案】（1）见解析，或
（2）见解析
【小问1详解】
解：如图1，菱形和菱形，即为所求
菱形的面积为；菱形的面积为，
【小问2详解】
解：如图，，直角三角形即为所求（答案不唯一）．
25. 如图，在中，点分别为的中点，是对角线，交的延长线于．
（1）求证：；
（2）若四边形是菱形，则四边形是什么特殊四边形？并证明你的结论．
【答案】（1）见解析 （2）矩形，理由见解析
【小问1详解】
∵在中，
∴，
∵E、F分别为边中点
∴，
∴
∴四边形是平行四边形
∴；
【小问2详解】
矩形，理由如下：
∵在中，
∴
∵，
∴四边形是平行四边形
如图所示，连接
∵E为边的中点
∴点E在上
∵四边形是菱形
∴
∵，
∴
∴平行四边形是矩形．
26. 如图，直线与双曲线交于点，与轴交于点．与轴交于点．
（1）求与的值；
（2）当时，的取值范围是___________；
（3）若为轴上的一动点，当的面积为5时，求的值．
【答案】（1），8
（2）
（3）或
【小问1详解】
解：（1）把代入得：，
解得：，
把代入得：．
．
把代入得：．
的值为，的值为8．
【小问2详解】
由图象可知：当时，的图象在的上方，
当时，的取值范围是：．
故答案为：．
【小问3详解】
当时，．
，
为轴上的一动点，
．
，
，
，
，
或．
27. 曲线的应用是广泛的，在历史的长洞中，借助它能够研究许多著名几何问题，如倍立方体问题．初二（1）班数学学习小组尝试对双曲线相关的几何问题进行探究．
（1）如图1，是双曲线上的两点，横坐标分别是和3，以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴，求证：对角线所在直线经过原点；
（2）若是双曲线上的任意两点（与不重合），以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴，请探究：对角线所在直线是否经过原点？请说明理由；
（3）如图3，是双曲线上的两点（点在右侧），连接，，若且，求此时的面积．
【答案】（1）见解析 （2）对角线所在直线经过原点，理由见解析
（3）
【小问1详解】
证明：∵A、C的横坐标分别是和3，且点A、C在反比例函数图像上，
∴点，，
∵以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴，
∴，,
设直线的解析式为：，把代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
把代入得，
∴在直线上，
∴对角线所在直线经过原点．
【小问2详解】
证明：∵点A、C反比例函数图像上，
设点，，
∵以为对角线构造矩形，使矩形的边平行于坐标轴，
∴，,
设直线的解析式为：，把代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为：，
把代入得，
∴直线上，
∴对角线所在直线经过原点．
【小问3详解】
解：如图所示，
过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，交于点，交轴于点，
∴
∵
∴
∴
又∵，
∴
∴
设，则
∴
∵点A、C在反比例函数图像上，
∴
∴
∴
∴
∴（负值舍去）
∴

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