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2025-2026学年江苏省徐州市睢宁高级中学高三（上）9月学情调研
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { || 1| < 2}， = { | = 3 2, ∈ }，则 ∩ =( )
A. {1} B. {1,2} C. { 2,1} D. { 2,1,4}

2.已知复数 满足 2 + = 3 ，则 的虚部为( )
A. 1 B. 1 C. D.
3.已知 ， ∈ ，则“ 3 > 3”是“log2 > log2 ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.设函数 ( ) = cos( + ), | | < 2，对 ∈ 都有 (

3 + ) + ( 6 ) = 0，则 ( ) =( )
A. cos( + 4 ) B. sin( +

4 ) C. cos(

4 ) D. sin(

4 )
5.如图所示，已知△ , = , = 2 , 和 交于点 ，若 = ，则实数 的值为( )
A. 12
B. 45
C. 34
D. 23
6.已知函数 ( ) = ( +

4)( > 0，且 ≠ 1)的值域为 ，则实数 的取值范围是( )
A. (0,1) ∪ (1,2] B. (2, + ∞) C. (4, + ∞) D. (0,1) ∪ (1,4]
7.我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖
3
也．”今有底面为正方形的屋脊形状的多面体(如图所示)，下底面是边长为 2 的正方形，上棱 = 2， //
平面 ， 与平面 的距离为 2，该刍甍的体积为( )
A. 6 B. 113
C. 314 D. 12
8.已知函数 ( ) = 2 2 + 1(0 < < 1)，将 ( ) 的图象先向左平移4个单位长度，然后再向下
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平移 1 个单位长度，得到函数 ( )的图象，若 ( ) 图象关于( 4 , 0)对称，则 为( )
A. 1 1 2 34 B. 2 C. 3 D. 4
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四个命题中为真命题的是( )
A.已知 ， ， ， ， 是空间中任意五点，则 + + + + = 0
B.若向量 ， 满足 = ，则 //
C.若分别表示两个空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量
D.若 = + ( , ∈ )，则 ， ， ， 四点共面
10 .已知函数 ( ) = 2 (2 + 4 ) + 2，则( )
A. ( ) 的图象关于直线 = 8对称
B.为了得到函数 ( ) = 2 (2 + 3 ) + 2 ( )
7
的图象，可将 的图象向右平移24个单位长度
C. ( )在(0, 2 )上的值域为( 2 + 2,4]
D. ( )两个相邻的零点之差的绝对值为
11.如图，正方体 1 1 1 1棱长为 2， 、 分别是棱 1，棱 的中
点，点 是其侧面 1 1上的动点(含边界)，下列结论正确的是( )
A.沿正方体的表面从点 到点 的最短距离为 13
B.过点 ， ， 9的平面截该正方体所得的截面面积为8
C.当 = 2 2 2 时，点 的轨迹长度为 3
D.保持 与 1垂直时，点 的运动轨迹长度为 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.函数 = 2 在(0,1)点处的切线斜率为______
13.若直角三角形斜边长等于 4 2 ，则直角三角形面积的最大值为______．
14.某校要从 3 名男生和 4 名女生中选出 3 人担任某赛事的志愿者工作，每个人被选中的可能性相同.在选
出的志愿者中，男生和女生都有的概率为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = sin(2 + 6 ) + sin
4 cos4 + 1, ∈ ．
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(1)求函数 ( ) 的最小正周期以及函数 ( )在[0, 2 ]上的值域；
(2) ( ) = 4 已知 为锐角，且 3，求 sin(2 + 6 )的值．
16.(本小题 15 分)
( ) = ( 1) 已知函数 +1 ，且函数 ( )的图象与 ( )的图象关于直线 = 1 对称．
(1)求 ( )的解析式；
(2)证明： ( ) ≥ 0．
17.(本小题 15 分)
如图，在三棱锥 中，平面 ⊥平面 ，底面 是等边三角形，侧面 是等腰直角三角形，
∠ = 90°， = 2 3，点 是 的中点．
(1)证明： ⊥ ；
(2)设点 ， ， ， 均在球 的球面上．
①证明：点 在平面 内；
②求直线 与平面 所成角的正弦值．
18.(本小题 17 分)
绵阳市 37 家 级旅游景区，在 2023 年国庆中秋双节期间，接待人数和门票收入大幅增长.绵阳某旅行社随
机调查了市区 100 位市民平时外出旅游情况，得到的数据如表：
喜欢旅游 不喜欢旅游 总计
男性 20 30 50
女性 30 20 50
总计 50 50 100
(1)能否有 95%的把握认为喜欢旅游与性别有关？
(2)将频率视为概率，从全市男性市民中随机抽取 2 人进行访谈，记这 2 人中喜欢旅游的人数为 ，求 的分
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布列与数学期望．
2 = ( )
2
附： ( + )( + )( + )( + )．
( 2 ≥ ) 0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
19.(本小题 17 分)
2
已知函数 ( ) = +
2 + ，实数 > 0．
(1)当 = 2 时，求函数 ( )在 = 1 处的切线方程；
(2)讨论函数 ( )在区间(0,10)上的单调性和极值情况；
(3)若存在 ∈ (0, + ∞)，使得关于 的不等式 ( ) < 2 + 2 成立，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 2
13.8 2
14.67
15.(1) ∵ ( ) = sin(2 + 4 46 ) + sin cos + 1

= sin(2 + 6 ) + (sin
2 + cos2 )(sin2 cos2 ) + 1

= 2 6 + 2 6 2 + 1
3 1
= 2 2 + 2 2 2 + 1
3 1
= 2 2 2 2 + 1
= sin(2 6 ) + 1，
∴数 ( ) 2 的最小正周期 = 2 = ，
∵ ∈ [0, 2 ]，
5
∴ 2 6 ∈ [ 6 , 6 ]
∴ sin(2 6 ) ∈ [
1
2 , 1]，
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∴ sin(2 6 ) + 1 ∈ [
1
2 , 2]，
∴ ( ) 1的值域为[ 2 , 2]；
(2)由 ( ) = sin(2 6 ) + 1 =
4
3，
得 sin(2 6 ) =
1
3
又∵ 为锐角，
∴ 2 6 ∈ (

6 ,
5
6 ), sin(2

6 ) =
1
3 <
1
2，
∴ 2 6 ∈ (0,

6 )，
∴ cos(2 ) = 2 26 3 ，

∴ sin(2 + 6 )

= sin[(2 6 ) + 3 ]

= sin(2 6 )cos 3 + cos(2 6 )sin 3
1 1 2 2 3
= 3 × 2 + 3 × 2
= 1+2 66 ．
16.(1)因为函数 ( )的图象与 ( )的图象关于直线 = 1 对称，
( ) = ( 2) = ( 2 1)ln( 2) = ( +3)ln( 2)则 2+1 +1 ，
( ) = ( +3)ln( 2)故 +1 ( < 2)；
(2) (1) ( ) = ( +3)ln( 2)由 知， +1 ( < 2)，恒有 + 1 < 1 < 0，
若 3 < < 2，则 0 < 2 < 1，ln( 2) < 0，而 + 3 > 0，因此 ( ) > 0；
若 ≤ 3，则 2 ≥ 1，ln( 2) ≥ 0， + 3 ≤ 0，因此 ( ) ≥ 0，
综上，可得 ( ) ≥ 0．
17.(1)证明：因为平面 ⊥平面 ，且平面 ∩平面 = ，
且△ 是等腰直角三角形，∠ = 90°，点 是 的中点，所以 ⊥ ，
所以 ⊥平面 ，所以 ⊥ ；
(2)①证明：因为△ 是等边三角形，又点 是 的中点，
所以 ⊥ ，所以以点 为原点， , , 为 ， ， 轴的正方向，建系如图：
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则 (3,0,0)， (0, 3, 0)， (0, 3, 0)， (0,0, 3)
设 ( , , )，
由条件可知| | = | | = | | = | |，
所以 2 + ( + 3)2 + 2 = 2 + ( 3)2 + 2 = ( 3)2 + 2 + 2 = 2 + 2 + ( 3)2，
解得： = 1， = = 0，即 (1,0,0)，
所以点 在平面 内；
② = (0, 3, 3)， = (3,0, 3)， = ( 1,0, 3)，
设平面 的一个法向量 = ( , , )，
= 3 3 = 0
，取
= (1, 3, 3)
，
= 3 3 = 0
所以直线 与平面 所成角的正弦值为：

|cos < , > | = | | | 1+3| 7所以
|
= = ．
|| | 2 7 7
(1)利用面面垂直的性质定理，转化为证明 ⊥平面 ，即可证明线线垂直；
(2)①首先根据(1)的结果建立空间直角坐标系，利用坐标法求点 的坐标，即可证明；
②求平面 的法向量，利用坐标法求线面角的正弦值．
本题考查立体几何的综合应用，属中档题．
18. (1) 2 = 100×(20×20 30×30)
2
解： 因为 50×50×50×50 = 4 > 3.841，
所以有 95%的把握认为喜欢旅游与性别有关；
(2) 20 2由表中数据可知：从全市男性市名中随机抽取一人，该人喜欢旅游的概率为50 = 5，
2
由题意可知 ～ (2, 5 )， 的可能取值为 0，1，2，
( = 0) = 0 × ( 3 )2 × ( 2 )0 = 92 5 5 25，
( = 1) = 1 × 3 2 122 5 × 5 = 25；
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( = 2) = 2 × ( 3 0 2 2 42 5 ) × ( 5 ) = 25，
故 的分布列为
0 1 2
9 12 4 25 25 25
故 E( ) = 2 × 2 = 45 5．
19.解：(1) 2函数 ( )的定义域为(0, + ∞)，当 = 2 时， ( ) = + 4 + 2 ，
导数为 ′( ) = 2 + 4 + 2 2 ，
可得 ( )在 = 1 处的切线的斜率为 4，又 (1) = 6，
所以 ( )在 = 1 处的切线的方程为 6 = 4( 1)，即 4 + 2 = 0；
(2) ( ) 2 ( +2)( 1)的导数为 ′( ) = 2 2 + + = 2 ， > 0，
令 ′( ) = 0 1 2，可得 = ( 舍去)，
①当 0 < 1 < 10
1 1
，即 > 10时，当 0 < < 时， ′( ) < 0， ( )递减；
1
当 < < 10 时， ′( ) > 0， ( )递增．
1 1
所以 ( )在(0, )上递减，在( , 10)上递增，
( )在 = 1 1 处取得极小值 ( ) = 3 ，无极大值；
1
②当 ≥ 10 即 0 < ≤
1
10时， ′( ) < 0， ( )在(0,10)上递减，无极值．
> 1 ( ) (0, 1 ) ( 1综上可得，当 10时， 在 单调递减，在 , 10)上单调递增，
( ) = 1 1在 时取得极小值 ( ) = 3 ，无极大值．
当 0 < ≤ 110时， ( )在区间(0,10)上递减，无极值；
(3)存在 ∈ (0, + ∞)，使得不等式 ( ) < 2 + 2 成立
2
等价为存在 ∈ (0, + ∞)，使得不等式 + 2 < 0 成立．
令 ( ) = 2 + 2， > 0， ′( ) =
2 2
2 + = 2 ，
因为 > 0 2，可得当 0 < < 时， ′( ) < 0， ( )
2
递减；当 > 时， ′( ) > 0， ( )递增，
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2 2
所以当 = 时， ( )取得极小值，且为最小值 ( ) = + 2 2，
由题意可得 + 2 2 < 0，
令 ( ) = + 2 2， ′( ) = 2 ，
令 ′( ) = 0，可得 = 2，
当 ∈ (0,2)时， ′( ) > 0， ( )递增；
当 ∈ (2, + ∞)时， ′( ) < 0， ( )递减．
所以当 = 2 时， ( )取得极大值，且为最大值 (2) = 0．
所以满足 + 2 2 < 0 的实数 的取值范围是(0,2) ∪ (2, + ∞)．
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