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2025-2026学年宁夏银川二中高二（上）月考数学试卷（一）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列命题中，假命题是( )
A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小
B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C.只有零向量的模等于 0
D.共线的单位向量都相等
2.直线 = + 的倾斜角为( )
A. B. C. D. 3 6 4 3 4
3.在三棱柱 1 1 1中， 是 的中点， = 2 ，则 1 =( )
A. 1 23 3
+ 1 B.
1 + 2 + 3 3 1
C. 1 + 2 + D. 11 +
2 3 3 3 3 1
4 1.若直线 经过点(2,0)且与直线 = 2 垂直，则 的方程为( )
A. 2 + 4 = 0 B. 2 4 = 0 C. 2 2 = 0 D. + 2 2 = 0
5.设 ， ， 为不共线的三点，在下列条件中，使 与 ， ， 一定共面的是(其中 为坐标原点)( )
A. = B. = 1 5 +
7
5
3 5
C. + + + = 0 D. + + =
6.圆( 1)2 + 2 = 1 的圆心到直线 2 + 1 = 0 的距离为( )
A. 0 B. 1 C. 33 D.
5
5
7.过点 (0, 1)作直线 ，若直线 与连接 ( 2,1)， (2 3, 1)两点的线段总有公共点，则直线 的倾斜角范
围为( )
A. [ , ] B. [ , 3 ] C. [0, 4 6 6 4 6 ] ∪ [
3
4 , ) D. [
, 6 2 ] ∪ [
3
4 , )
8.一条沿直线传播的光线经过点 ( 4,8)和 ( 3,6)，然后被直线 = 3 反射，则反射光线所在的直线
方程为( )
A. + 2 3 = 0 B. 2 + 15 = 0 C. 2 5 = 0 D. + 2 + 3 = 0
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线 ： 3 + 1 = 0，则下列说法正确的是( )
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A.直线 在 轴上的截距为 1
B. 3 + 2 = 0 10直线 与直线 1： 之间的距离为 10
C.直线 的一个方向向量为 = (1,3)
D.直线 与直线 2：3 + + 1 = 0 垂直
10.在空间直角坐标系中，向量 = (2, 1, )， = ( 4,2,4)，下列结论不正确的是( )
A.若 // ，则 = 2
B.若| | = 6，则 = 5
C.若 , 5为钝角，则 < 2
D. 1若 在 上的投影向量为 6 ，则 = 4
11.已知正方体 1 1 1 1的棱长为 4，动点 在正方体表面 1 1 1 1上(不包括边界)，则下列说法
正确的是( )
A.存在点 ，使得 //面 1
B.存在点 ，使得 ⊥面 1
C. 2 3若 与 1的夹角为6，则点 的轨迹长度为 3
D.若 为面 1 1的中心，则 + 的最小值为 2 14
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知向量 = (1, 2,1)， = (2,1,1)，则( + ) ( ) = ______．
13.如图所示，在棱长为 2 的正方体 1 1 1 1中， 是棱 1的中点，
= ，若异面直线 和 3 21 1 所成角的余弦值为 ，则 的值为______．10
14.已知在平面内，点 ( 0, 0)到直线 + + = 0( , , ∈ , 2 + 2 ≠ 0)
| 0+ 0+ |
的距离 = 2 2 此公式可推广到空间内，为求解点到平面的距离多添了一种 +
方法.现在空间直角坐标系中，定义：平面 的一般方程为 + + + =
0( , , , ∈ , 2 + 2 + 2 ≠ 0)，则点 ( 0, 0, 0)到平面 的距离 =
| 0+ 0+ 0+ | .
2 如图，底面边长与高都为 2 的正四棱锥 中，点 到侧面 + 2+ 2
的距离等于______. (备注：不在同一条直线上的任意三点可以确定一个平面)
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
如图，已知在平行六面体 1 1 1 1中，底面 是边长为 1 的正方形. 1 = 2，∠ 1 =
∠ 1 = 60°，设 = ， = ， 1 = ．
(1)用 ， ， 表示 1，并求| 1|；
(2)求 1 ．
16.(本小题 15 分)
在△ 中， (1,1)， (4,2)， (5,5)．
(Ⅰ)求点 到直线 的距离；
(Ⅱ)求线段 垂直平分线所在的直线方程；
(Ⅲ)求过点 且在 轴和 轴截距相等的直线的方程．
17.(本小题 15 分)
如图，在三棱柱 1 1 1中， 1 ⊥平面 1 1 1， = = 1 = 2，∠ = 90°， ， 分别是 1 1，
1的中点．
(1)求证： 1 //平面 1 ；
(2)求平面 与平面 1 所成角的正弦值．
18.(本小题 17 分)
已知直线 ： + 1 + 2 = 0( ∈ )．
(1)若直线不经过第四象限，求 的取值范围；
(2)求点 (1,2)到直线 距离的最大值并求此时直线 的方程；
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(3)若直线 交 轴负半轴于点 ，交 轴正半轴于点 ，△ 的面积为 ( 为坐标原点)，求 的最小值并求此
时直线 的方程．
19.(本小题 17 分)
如图，点 是以 为直径的圆 上异于 ， 的点，平面 ⊥平面 . = = = 2， = 4， ，
分别是 ， 的中点，记平面 与平面 的交线为直线 ．
(1)求证：直线 ⊥平面 ；
(2)求证：直线 //直线 ；
(3)直线 上是否存在点 ，使直线 分别与平面 、直线 所成的两角互余？若存在，求出 的值；若
不存在，请说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.0
13.13
14.4 55
15.(1) ∵ = ， = ， 1 = ，
∴ 1 = + + 1 = + + ，
∵底面 是边长为 1 的正方形， 1 = 2，∠ 1 = ∠ 1 = 60°，
∴ |
2
1| = ( + + )2 =
2 + + 2 + 2 + 2 + 2
= 1 + 1 + 4 + 0 + 2 × 2 × 1 × 12 × 2 = 10；
(2) 1 = 1 ( ) = 1 1 = 2 × 1 ×
1
2 2 × 1 ×
1
2 = 0．
16.解：(Ⅰ)因为 (1,1)， (4,2)， (5,5)，
2 5
由题可知直线 的斜率为 = 4 5 = 3，
所以直线 的方程为 5 = 3( 5)，即 3 10 = 0；
|3 1 10| 4 10
由点到直线距离公式可得点 到 的距离 = = ，
32+( 1)2 5
4 10即点 到直线 的距离为 5 ；
(Ⅱ)易知 = (4,4)，且过 的中点(3,3)，
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可得该直线的点法式方程为 4( 3) + 4( 3) = 0，
即 + 6 = 0；
(Ⅲ)当在 轴和 轴截距都为 0 时，此时直线过 (4,2)， (0,0)，
此时直线方程为 2 = 0；
当在 轴和 轴截距不为 0 时，因为直线在 ， 轴的截距相等，
可得直线方程为 + = ，将点 (4,2)代入可得 4 + 2 = ，可得 = 6，
此时直线方程为： + 6 = 0；
综上可知，过点 且在 轴和 轴截距相等的直线方程为 2 = 0 或 + 6 = 0．
17.(1)证明：取 1 的中点 ，连接 ， ，
因为 是 1 1的中点，
所以 // 1，且 =
1
2 1，
在三棱柱 1 1 1中，
因为 是 11的中点，所以 1 // 1，且 1 = 2 1，
所以 1 // 且 1 = ，
所以四边形 1 为平行四边形，所以 1 // ，
又 1 平面 1 ， 平面 1 ，
所以 1 //平面 1 ．
(2)如图建立空间直角坐标系 ，
则 (0,2,0)， (0,0,1)， 1(2,0,2)， 1 = (2,0,1)， = (0,2, 1)，
设平面 1 的一个法向量为 = ( , , )，
1 ⊥ 1 = 0 2 + = 0则 ，则 ，即 ，
⊥ = 0 2 = 0
令 = 1，则 = 2， = 1，
所以 = (1, 1, 2)，
易知平面 的一个法向量为(0,0,1)，
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设平面 与平面 1 所成角为 ( ∈ [0, ))，
= | (1, 1, 2) (0,0,1)则 | =
2
12+( 1)2+( 2)2×1 6，
则 = 1 cos2 = 33
即平面 与平面 1 所成角的正弦值为
3．
3
18.解：(1)直线 的方程可化为 ( + 2) + 1 = 0 + 2 = 0，令 + 1 = 0
得直线 过定点 ( 2,1)，在第二象限，
要使直线 不过第四象限，则 ≥ 0，
所以 的取值范围是[0, + ∞)；
(2)由题可知直线恒过定点 ( 2,1)且斜率为 ，结合图象知，
当 与直线 ： + 1 + 2 = 0 垂直时，点 到直线 的距离最
1
大，且 = 3，
此时| | = ( 2 1)2 + (1 2)2 = 10， = 3，
所以直线 的方程为 3 + 1 6 = 0，即为 3 + + 5 = 0；
(3)由题意知 ≠ 0 1+2 ，再由 的方程，得 ( , 0), (0,1 + 2 )，
1+2 < 0依题意得 ，解得 > 0，
1 + 2 > 0
由 = 12 | | | |
1 1+ 2
= 2 | | |1 + 2 |
1 (1+ 2 )2
= 2
= 12 (4 +
1
+ 4) ≥
1
2 × (2 × 2 + 4) = 4，
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4 = 1 1当且仅当 ，且 > 0 时取等号，此时 = 2，
所以 1 = 4，此时直线 的方程为2 + 1 + 1 = 0，即 2 + 4 = 0．
19.解：(1)证明：因为点 是以 为直径的圆 上异于 ， 的点，所以 ⊥ ，
又平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ；
(2)证明：∵ ， 分别是 ， 的中点，
所以 // ，又 平面 ，且 面 ，
所以 //平面 ，又 面 ，平面 ∩平面 = ，
所以 // ；
(3)以 为 轴， 为 轴，过 垂直于平面 的直线为 轴，建系如图，
则 (2,0,0)， (0,4,0)， (1,0, 3)， ( 1 , 0, 3 )， ( 12 2 2 , 2,
3
2 )，
∴ = ( 32 , 0,
3
2 )，
= (0,2,0)，
设 (2, , 0)，平面 的法向量为 = ( , , )，
= 32 +
3
2 = 0则 ，取 = (1,0, 3)，又 = (1, , 3)，
= 2 = 0
∴ |cos , | = | 2 | = | | |cos ， , | = |
1 3 | = 1
2 4+ 2 4+ 2 2 4+ 2 4+ 2，
设直线 与平面 所成的角为 、直线 与直线 所成的角为 ，
= 1则 =
| |
4+ 2， 4+ 2，
因为直线 分别与平面 、直线 所成的两角互余，所以 + = 90°，
所以 = ，
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1 | |
所以 =4+ 2 4+ 2，所以 =± 1，
所以当| | = 1 时，直线 分别与平面 、直线 所成的角互余．
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