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2025-2026学年宁夏石嘴山市平罗中学高一（上）9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 2 = }，则 1 与集合 的关系为( )
A. 1 ∈ B. 1 C. 1 D. 1
2.已知全集 = {0,1,2,4}，集合 = {0,4}， = {0,2}，则 ∩ =( )
A. {1,4} B. {0,4} C. {0,1,4} D. {4}
3.若 ∈ ，则 = 2 是( 1)( 2) = 0 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.若 1 < < < 1，则 的范围为( )
A. { | 2 < < 0} B. { | 2 < < 1}
C. { | 1 < < 0} D. { |0 < < 1}
5.函数 = 2 2 3 + 1 的零点个数是( )
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D.不能确定
6.已知集合 = { ∈ | < 4}， = { | ( 4) < 0|，则 ∪ =( )
A. {1,2,3} B. { |0 < < 4} C. { |0 ≤ < 4} D. { | < 4}
7 4.不等式 1 ≥ 2 解集是( )
A. { | 2 ≤ ≤ 1} B. { | ≤ 2} C. { | 2 ≤ < 1} D. { | > 1}
8.已知不等式 2 + + > 0 的解集为{ |2 < < 4}，则( )
A. > 0 B. < 0 C. + + > 0 D. + = 2
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列叙述中正确的是( )
A.若 ∩ = ，则
B.若 ∈ ∩ ，则 ∈ ∪
C. 已知 ， ∈ ，则“ < ”是“ < < 0”的必要不充分条件
D.命题“ ∈ ， 2 > 0”是真命题
10.若 ， ， ∈ ，则下列命题正确的是( )
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A.若 ≠ 0 且 < 1 1，则 > B.若 0 < < 1，则
3 <
C. > > 0 +1 若 ，则 +1 > D.若 < < 且 < 0，则 <
11.下列结论正确的是( )
A. 1当 > 0 时， + ≥ 2
B. 1当 > 1 时， + 1的最小值是 3
C.当 < 54时，4 2 +
1
4 5的最小值是 5
D.设 > 0， > 0，且 + = 2 1 4 9，则 + 的最小值是2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.若命题 ： ∈ ， 2 + 3 2 > 0，则￢ 是______．
13.不等式| 2| ≥ 1 的解集为______．
14.如图所示，动物园要建造一面靠墙的矩形熊猫居室，墙长 20 .如果可供
建造围墙的材料总长是 36 ，则当宽 为 时，才能使所建造的熊猫
居室面积最大，熊猫居室的最大面积是 2．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
设全集为 ， = { | < 4 或 > 1}， = { | 2 < < 3}， = { | < }．
(1)求 ∩ ，( ) ∪ ；
(2)若 ，求 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
选用恰当的证明方法证明下列不等式．
(1)已知 > 0，求证： + 4 +1 ≥ 3；
(2)已知 > > 0，求证： 3 + 3 > 2 + 2 .
17.(本小题 15 分)
已知不等式 2 2 3 < 0 的解集是 ，不等式 2 + 4 5 < 0 的解集是 ．
(1)求 ∩ ；
(2)若关于 的不等式 2 + + < 0 的解集是 ∪ ，求 2 + + < 0 的解集．
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18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 + (1 ) ．
(1)若 ∈ ， ( ) > 1，求 的取值范围；
(2)若 < 0，解关于 的不等式 ( ) > 0．
19.(本小题 17 分)
2024 年 8 月 12 日，为期 16 天的巴黎奥运会落下帷幕，回顾这一届奥运会，中国元素在这里随处可见.这
个盛夏，“中国智造”不仅为巴黎奥运会注入了新动力，也向世界展示了中国向“新”而行的活力，让人
们在享受比赛的同时，感受到中国发展的脉搏.巴黎奥组委的数据显示，本届奥运会 80%的吉祥物产自中
国.据调查，国内某公司出售一款巴黎奥运会吉祥物，需要固定投入 300 万元费用.假设购进该款产品全部售
出.若以 80 元的单价出售，可售出 15 万件，且每降价 1 元，销量增加五千件.若购进该产品数量不超过 30
万件，则经销商按照每件 30 元成本收费；若购进 30 万件以上，则直接与玩具公司合作，以全新方式进行
销售，此时利润 ( )( ) ( ) ( ) = 2500万元 与销量 万件 的关系为 +10 + 1000．
(1)当购进产品数量为 10 万件时，利润是多少？
(2)写出利润 ( )万元关于购进产品数量 (万件)的函数解析式？(利润=销售收入 成本)
(3)购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 20 ∈ , 0 + 3 0 2 ≤ 0
13.{ | ≥ 3 或 ≤ 1}
14.9；162
15.全集为 ， = { | < 4 或 > 1}， = { | 2 < < 3}， = { | < }，
(1) ∩ = { |1 < < 3}， = { | 4 ≤ ≤ 1}，
( ) ∪ = { | 4 ≤ < 3}；
(2)由 ，可得 ≥ 3，
故 的取值范围为{ | ≥ 3}．
16.证明：(1)由 > 0，得 + 1 > 1，
+ 4 = + 1 + 4 1 ≥ 2 ( + 1) 4所以 +1 +1 +1 1 = 3，
当且仅当 + 1 = 4 +1，即 = 1 时等号成立，
4
所以 + +1 ≥ 3；
(2) 3 + 3 2 2 = 3 2 + 3 2 = ( 2 2) + ( 2 2)
= ( )( 2 2) = ( )2( + )，
因为 > > 0，所以( )2( + ) > 0，
所以 3 + 3 2 2 > 0，即 3 + 3 > 2 + 2 .
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17.(1)由题意得： = ( 1,3)， = ( 5,1)，∴ ∩ = ( 1,1)；
(2)由(1)得 = ( 1,3)， = ( 5,1)，∴ ∪ = ( 5,3)，即方程 2 + + = 0 的两个根是 5，3，则
5 + = 25 = 2
3 + = 9 ，解得 = 15，
∴ 2 2 + 15 < 0，则解集为( 3, 52 ).
18.解：(1)由 ( ) = 2 + (1 ) > 1，可得 2 + (1 ) + 1 > 0 对 ∈ 恒成立，
则 = (1 )2 4( + 1) = 2 + 2 3 < 0，解得 3 < < 1，
故 的取值范围( 3,1)；
(2)由题意可得： ( ) = 2 + (1 ) = ( + 1)( )，
令 ( ) = 0，可得 = 1 或 = ，
对于不等式 ( ) > 0，
当 < 1 时，不等式的解集为( ∞, ) ∪ ( 1, + ∞)；
当 = 1 时，不等式的解集为{ | ≠ 1}；
当 1 < < 0 时，不等式的解集为( ∞, 1) ∪ ( , + ∞)．
19.解：(1)利润为(80 30) × 10 300 = 200(万元)．
(2)当 0 < ≤ 15 时， ( ) = (80 30) 300 = 50 300，
当 15 < ≤ 30 时，不妨设降价 元，购进产品全部售出，
则 15 + 0.5 = ，得到 = 2 30，
所以 ( ) = [80 (2 30)] 30 300 = 2 2 + 80 300，
当 > 30 时， ( ) = 2500 +10 + 1000，
50 300,0 < ≤ 15
2
所以 ( ) = 2 + 80 300,15 < ≤ 30．
2500 +10 + 1000, > 30
(3)由(2)知，当 ≤ 15 时， ( ) = 50 300，
当 = 15(万件)，利润最大，此时利润是 450(万元)，
当 15 < ≤ 30 时， ( ) = 2 2 + 80 300 = 2( 20)2 + 500，
当 = 20(万件)，利润最大，此时利润是 500(万元)，
> 30 ( ) = 2500当 时， +10 + 1000 = [( + 10) +
2500
+10 ] + 1010 ≤ 2 ( + 10)
2500
( +10) + 1010 =
910，
+ 10 = 2500当且仅当 2 +10，即( + 10) = 2500，
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当 = 40(万件)，利润最大，此时利润是 910(万元)，
因为 910 > 500 > 450，所以当 = 40(万件)时，利润最大，此时利润是 910(万元)．
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