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2025-2026学年江苏省无锡市玉祁高级中学高三（上）9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | = 4 2}， = { | = log2( + 1)(2 )}，则 ∪ =( )
A. { |0 ≤ < 2} B. { |0 ≤ ≤ 2} C. { | 1 < ≤ 2} D. {0,1,2}
2.已知非零实数 ， 满足 > ，则下列不等式中正确的是( )
A. 1 1 3 3 < B. >
C. + 1 < 2 D. 3 < 3
3.sin(1050 ) =( )
A. 12 B.
1 C. 3 32 2 D. 2
4.已知函数 ( ) = 有极值 ，则 =( )
A. 1 B. 2 C. D. 3
5.若 > 0， > 0 3 2，且 3 + 2 1 = 0，则 + 的最小值为( )
A. 20 B. 12 C. 16 D. 25
6.将函数 = sin(2 3 )图象上的点 ( 4 , )向左平移 ( > 0)个单位长度得到点 ′，若 ′位于函数 =
2 的图象上，则( )
A. = 1 3 2， 的最小值为6 B. = 2 ， 的最小值为6
C. = 1 2， 的最小值为3 D. =
3
2 ， 的最小值为3
7.已知 sin( + 6 ) =
5
5 ， ∈ (

2 , )
2
，则 tan( 3 2 ) =( )
A. 43 B.
4
3 C. 2 D. 2
8.当 ∈ [ 2 , 2 ]时，曲线 = 与 = | 1|的交点个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A.在△ 中，若 + = ，则△ 是等腰三角形
B.若命题“ ∈ ， 2 + + 1 < 0”是假命题，则 0 < < 4
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C.已知 ：0 < ≤ 1， ：4 + 2 ≤ 0，若 是 的充分条件，则实数 的取值范围为 ≥ 6
D.在△ 中，满足 = 4， = 3 = ， 6的△ 只有一个
10.已知函数 ( ) = sin(3 + 3 )，下列说法正确的是( )
A. ( ) 2 的最小正周期为 3
B. 点( 6 , 0)为 ( )图象的一个对称中心
C.若 ( ) = ( ∈ ) ∈ [ , 在 18 9 ]
3
上有两个实数根，则 2 ≤ < 1
D.若 ( )的导函数为 ′( )，则函数 = ( ) + ′( )的最大值为 10
11.已知 1是函数 ( ) = 3 + + ( < 0)的极值点，若 ( 2) = ( 1)( 1 ≠ 2)，则下列结论正确的是( )
A. ( )的对称中心为(0, ) B. ( ) > ( )
C. 2 1 + 2 = 0 D. 1 + 2 = 0
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12 2.不等式 +1 ≤ 2 的解是______．
13.已知 ( )是定义在 上的奇函数， ( + 2)为偶函数.当 0 < < 2 时， ( ) = log2( + 1)，则 (101) =
______．
14.若定义在 上的函数 ( )和定义在 上的函数 ( )，对任意的 1 ∈ ，存在 2 ∈ ，使得 ( 1) + ( 2) = (
为常数)，则称 ( )与 ( )具有关系 ( ).已知函数 ( ) = 2 (2 + 2 6 )( ∈ [ 12 , 3 ])， ( ) = cos
2
+ 5( ∈ )，且 ( )与 ( )具有关系 (3)，则 的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， = ( + 3 )．
(1)求角 ；
(2)若△ 3的面积为 4 ，且 = 1，求△ 的周长．
16.(本小题 15 分)
设函数 ( ) = sin( 6 ) + sin(

2 )，其中 0 < < 3.已知 (

6 ) = 0．
(1)求 的值；
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(2)将函数 ( ) 的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移4个单位长
度，得到函数 ( )的图象，求 ( )的单调递增区间．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 3．
(1)当 = 1 时，求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(2)若 ( )有极小值，且极小值小于 0，求 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
设函数 ( ) = ( > 0 且， ≠ 1， ∈ )，若 ( ) 3是定义在 上的奇函数且 (1) = 2．
(1)求 和 的值；
(2)判断其单调性(无需证明)，并求关于 的不等式 (2 1) < ( 2 4)成立时，实数 的取值范围；
(3)函数 ( ) = 2 + 2 4 ( )， ∈ [1,2]，求 ( )的值域．
19.(本小题 17 分)
已知函数 = ( )，其中 ( ) = 1 33
2， ∈ .若点 在函数 = ( )的图像上，且经过点 的切线与函
数 = ( )图像的另一个交点为点 ，则称点 为点 的一个“上位点”.现有函数 = ( )图像上的点列 1，
2，…， ，…，使得对任意正整数 ，点 都是点 +1的一个“上位点”．
(1)若 = 0，请判断原点 是否存在“上位点”，并说明理由；
(2)若点 1的坐标为(3 , 0)，请分别求出点 2、 3的坐标；
(3)若 1的坐标为(3,0)，记点 到直线 = 的距离为 .问是否存在实数 和正整数 ，使得无穷数列 、
+1、…、 + 、…严格减？若存在，求出实数 的所有可能值；若不存在，请说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.{ | ≤ 4，或 > 1}
13. 1
14.( ∞, 4] ∪ [4, + ∞)
15.解：(1) ∵ = ( + 3 )，
由正弦定理得 = ( + 3 )，即 sin( + ) = + 3 ，
即 + = + 3 ，∴ = 3 ，
∵ ∈ (0, )，∴ ≠ 0，
∴ = 3 ，∴ = 33 ，
∵ ∈ (0, ). ∴ = 6．
(2) ∵ = 1 = 1△ 2 2
3
6 = 4 ，∴ = 3，
2 2
又 = 1，∴ = + 12 =
3
2 ，∴
2 + 2 = 4，
所以( + )2 = 4 + 2 = 4 + 2 3 = ( 3 + 1)2，即 + = 3 + 1(负值舍去)，
又 = 1，所以△ 的周长为 + + = 3 + 2．
16.(1) 3 1由题意得 ( ) = 2 2
= 3( 3

3 ) = 3sin(

3 )，
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( 根据 6 ) = 3sin(

6

3 ) = 0，解得6 3 = ( ∈ )，
即 = 2 + 6 ( ∈ )，结合 0 < < 3，解得 = 2；
(2)由(1)可得 ( ) = 3sin(2 3 )，
函数 ( )的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍(纵坐标不变)，

可得 = 3sin( 3 )的图象，

然后将所得图象向左平移4个单位长度，可得 = 3sin( + 4 3 ) = 3sin(

12 )的图象，
所以 ( ) = 3sin( 12 )，
令 2 + 2 ≤

12 ≤
5 7
2 + 2 ( ∈ )，解得 12 + 2 ≤ ≤ 12 + 2 ( ∈ )，
5 7
所以 ( )的单调递增区间为[ 12 + 2 , 12 + 2 ]( ∈ )．
17.解：(1) ∵函数 ( ) = 3，
∴当 = 1 时， ( ) = 1， ′( ) = 1，
∴ (1) = 2，∴切点坐标为(1, 2)，
切线的斜率为 = ′(1) = 1，
∴曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程为：
( 2) = ( 1)( 1)，整理得： = ( 1) 1．
(2) ∵函数 ( ) = 3，∴ ′( ) = ，
当 ≤ 0 时， ′( ) > 0，函数 ( )在 上单调递增，此时函数 ( )无极值，
∴ > 0，
令 ′( ) = = 0，得 = ，
当 < 时， ′( ) < 0，当 > 时， ′( ) > 0，
∴函数 ( )的增区间为( , + ∞)，减区间为( ∞, )，
∴ ( ) 3极小值 = ( ) = < 0，
∴ 1 2 < 0，
令 ( ) = 2 + 1， 1′( ) = 2 < 0，
( )在(0, + ∞)上单调递减，
∵ (1) = 0，∴ ( ) < 0 等价于 > 1，
∴ 的取值范围是(1, + ∞)．
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18.解：(1) ∵ ( ) = ( > 0 且， ≠ 1， ∈ )是定义在 上的奇函数，
∴ (0) = 1 = 0，解得 = 1，经检验，适合题意；
(1) = 1 = 3又 2，
∴ = 2 1或 = 2 (舍去)；
故 = 1， = 2；
(2)由(1)得 ( ) = 2 2 在 上单调递增；
理由：∵ = 2 与 = 2 均为 上的增函数，
∴ ( ) = 2 2 在 上单调递增；
∴ (2 1) < ( 2 4) 2 1 < 2 4，即 2 2 3 > 0，
解得 > 3 或 < 1，又 > 0 且 ≠ 1，
∴ ∈ (3, + ∞)；
(3) ∵ ( ) = 2 2 ， ∈ [1,2]，
∴ ( ) = 22 + 2 2 4(2 2 ) = (2 2 )2 4(2 2 ) + 2，
3 15 3 15
令 = 2 2 ( 22 ≤ ≤ 4 )，则 = 4 + 2 = ( 2)
2 2( 2 ≤ ≤ 4 )，
又由 = 2 2 在[1,2]上为增函数，
∴当 = 2 时， = 2 4 + 2 取得最小值 2，
当 = 15 2 174时， = 4 + 2 取得最大值16，
故 ( ) 17的值域为[ 2, 16 ].
19.解：(1) = 0 时， ( ) = 1 33 ，所以 ′( ) =
2， ′(0) = 0，
所以函数过点 (0,0)的切线方程为 = 0，
其与函数 ( ) = 1 33 图像无其他交点，所以原点 不存在“上位点”．
(2)设点 的横坐标为 ， 为正整数，
则函数 = ( )图像在点 +1处的切线方程为 ( +1) = ′( +1)( +1)，
代入其“上位点” ( , ( ))，得 ( ) ( +1) = ′( +1)( +1)，
1
化简得 2 23 ( + +1 + +1) ( +
2
+1) = +1 2 +1，
即得 2 +1 + = 3 ( )；
又点 1的坐标为(3 , 0)，
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所以点 3 92的坐标为(0,0)，点 33的坐标为( 2 , 8 )．
(若没有写出递推公式，直接求出 2的坐标给(4 分)， 3的坐标给 2 分)
(3)将(3,0)代入 = ( )，得 9 9 = 0，解得 = 1．
由( )得，2 +1 + = 3
1
，即 +1 1 = 2 ( 1)，
所以 = 1 + ( 1) 1 22 ，即 = | ( ) |．
令 = | 1|，则 = 22 严格单调递减．
因为(3 3)′ = 3 3 2，所以函数 = 3 3在区间(0,1)上严格单调递增．
当 = 2 1 33时， = 3 (3 )，所以当 ≥ 3 时，{ }严格单调递减，符合要求；
2
当 ≠ 3时， = | ( ) +
2
3 (
2
3 + )|．
因为 ≥ 3 时，| ( ) +
2
3 | =
1
3 (3
3
) < 2 = 2 ，
> 2 2 2 2 1所以当 32| + 3 | + 2 时， = | 3 + | | ( ) + 3 | = | 3 + | 3 (3 )，
> | + 2从而当 2 3 | + 2 时，{ }严格单调递增，不存在正整数 ，使得无穷数列 ， +1，…， + ，…
严格单调递减．
2
综上， = 3．
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