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2025-2026学年广东省中山市烟洲中学高三（上）9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2.已知集合 = { |1 ≥ 0}, = { | ≤ 0}，则 ∩ =( )
A. [0,1] B. [ 1,0) C. (1,2) D. (0,1]
2.设 ( )是 上的可导函数，甲：“ ( )在区间 上存在极值”，乙：“ 0 ∈ ，使得 ′( 0) = 0”，则( )
A.甲是乙的充要条件 B.甲是乙的充分不必要条件
C.甲是乙的必要不充分条件 D.甲是乙的既不充分又不必要条件
3 4.若命题“ > 0, + ≥ ”是假命题，则 可能是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
( 3) + 5, ≤ 1
4.已知函数 ( ) = 2
, > 1
是( ∞, + ∞)上的减函数，那么 的取值范围是( )
A. (0,3) B. (0,3] C. (0,2) D. (0,2]
5 7 7.定义在 上的奇函数 ( )满足 ( ) = (4 )，且 ( )在[ 2,2]上单调递增.设 = ( 4 ) = ( 2 )， =
( 13)，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
6.已知函数 ( )在[1, + ∞)上单调递减且对任意 ∈ 满足 ( ) = (2 )，则不等式 (2 3) > ( )的解
集是( )
A. ( ∞, 5 ) ∪ (3, + ∞) B. ( 5 , 3) C. ( ∞, 53 3 3 ) D. (3, + ∞)
2 2
7.设正数 ， ，随机变量 的分布列，若随机变量 的期望为 1 2 ，则 +1 + +2最小值为( )
0
1 1
4 2
A. 1 B. 2 C. 4 D. 2
8.已知函数 ( ) = ln( 2 + 2) ，若 ( 1) > ( 2)，则( )
A.若 1 > 2，则 1 + 2 2 > 0 B.若 1 > 2，则 1 + 2 2 < 0
C.若 1 > 2，则 1 + 2 4 > 0 D.若 1 > 2，则 1 + 2 4 < 0
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二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若关于 的不等式在 ∈ (0,1)上恒成立，则该不等式称为单位区间不等式.下列不等式是单位区间不等式的
有( )
A. 2 2 < 0 B. + 1 > 2 C.
2 2 < 0 D. + 2 > 2 2
10.已知函数 ( ) = ( 2 1) 2+ 3是幂函数，对任意 1， 2 ∈ (0, + ∞)
( ) ( )
，且 1 ≠ 2，满足 1 2 1
>
2
0.若 ， ∈ ，且 ( ) + ( )的值为负数，则下列结论可能成立的是( )
A. + < 0， = 0 B. + < 0， > 0
C. + < 0， < 0 D. + > 0， > 0
11.定义在(0, + ∞)上的函数 ( )满足下列条件：(1) ( ) = ( ) ( )；(2)当 > 1 时， ( ) > 0，则( )
A. (1) = 0 B.当 0 < < 1 时， ( ) < 0
C. ( 2) ≥ 2 ( ) D. ( )在(1, + ∞)上单调递减
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
2
12.已知 = ( )是奇函数，当 ≥ 0 时， ( ) = 3，则 ( 8)的值是 ．
13.已知偶函数 ( )的定义域为 ，且 ( + ) = ( ) + ( ) + 2 ，则 ( )的值域为______．
14.现有一款闯关游戏，共有 4 关，规则如下：在第 关要抛掷骰子 次，每次观察向上面的点数并做记录，
如果这 次抛掷所出现的点数之和大于2 + ，则算过第 关.假定每次过关互不影响，则直接挑战第 2 关并
过关的概率为______，若直接挑战第 4 关，则过关的概率为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
某高校为调查学生性别与是否喜欢排球运动的关系，在全校范围内采用简单随机抽样的方法，分别抽取了
男生和女生各 100 名作为样本，经统计，得到了如图所示的等高堆积条形图．
(1)根据等高堆积条形图，填写下列 2 × 2 列联表，并依据 = 0.001 的独立性检验，是否可以认为该校学生
的性别与是否喜欢排球运动有关联．
是否喜欢排球运动
性别
是 否
男生
女生
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(2)将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取 40 名学生，设其中喜欢排球运动的学生的人数为 ，
求使得 ( = )取得最大值时的 值．
( 2 ≥ ) 0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
2 = ( )
2
附： ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
16.(本小题 15 分)
已知定义在(0, + ∞)上的函数 ( ) = ( + 1)2， ∈ ．
(1)若 = 12，判断 ( )的单调性；
(2)若 ( )存在两个零点，求 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
在四棱锥 中，底面 为直角梯形， // ， ⊥ ， = 2 ， 为 的中点，如图所示．
(1)证明： //平面 ；
(2)若△ 为等边三角形，平面 ⊥平面 ， = = 2，求二面角 的余弦值．
18.(本小题 17 分)
某学校校庆时统计连续 5 天进入学校参加活动的校友数(单位：千人)如下：
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日期 10 月 1 日 10 月 2 日 10 月 3 日 10 月 4 日 10 月 5 日
第 天 1 2 3 4 5
参观人数 2.2 2.6 3.1 5.2 6.9
(1)由上表数据看出，可用线性回归模型拟合 与 的关系，请用相关系数 加以说明(保留小数点后两位)；(若
| | > 0.75，则认为 与 的线性相关性很强)，并求出 关于 的线性回归方程；
(2)校庆期间学校开放 1 号门、2 号门和 3 号门供校友出入，校友从 1 号门、2 号门和 3 号门进入学校的概
1 1 1 2 1
率分别为2，6，3，且出学校与进学校选择相同门的概率为3，选择与入校不同两门的概率各为6 .假设校友从
1 号门、2 号门、3 号门出入学校互不影响，现有甲乙丙丁 4 名校友于 10 月 1 日回母校参加活动，设 为 4
人中从 2 号门出学校的人数，求 的分布列，期望及方差．

附：参考数据：5 5 2 5 2 =1 = 72, =1 = 55, = 4， =1 = 95.86， 158.6 ≈ 12.59



参考公式：回归直线方程 = + ，其中 = =1 2 2 , = ． =1


相关系数 = =1
2
．
=1 2

=1
2
2
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = + 2
2， ( ) = ．
(1)设 ( ) = ( ) ( )，若 ( )的导函数 ′( )在(1,4)上单调递减，求实数 的取值范围；
(2)若 = 1，证明：当 > 1 时，函数 = ( )图象上任意一点处的切线总在 = ( )的图象的上方；
(3)若不等式 (2 ) + ( + 2) ( ) + + 1 < 0 对任意 ∈ 恒成立，求 可取的最大整数值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 4
13.[0, + ∞)
14. 7 3512 1296
15.(1)由等高堆积条形图知，男生喜欢排球运动的有 100 × 0.3 = 30(人)，不喜欢排球运动的有 100 × 0.7 =
70(人)；
女生喜欢排球运动的有 100 × 0.6 = 60(人)，不喜欢排球运动的有 100 × 0.4 = 40(人)，所以 2 × 2 列联表
为：
是否喜欢排球运动
性别 合计
是 否
男生 30 70 100
女生 60 40 100
合计 90 110 200
零假设为 0：性别与是否喜欢排球运动无关，
2 = 200×(30×40 70×60)
2
根据列联表中的数据，得 100×100×90×110 ≈ 18.182 > 10.828 = 0.001，
依据 = 0.001 的独立性检验，可以推断 0不成立，即该校学生的性别与是否喜欢排球运动有关联．
(2) 90 9 9由(1)知，喜欢排球运动的频率为200 = 20，所以随机变量 ～ (40, 20 )，
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则 ( = ) = 9 9 40 40( 20 ) (1 20 ) (0 ≤ ≤ 40, ∈ )，
9 9 40 1 9 140( 20 ) (1 20 ) ≥ 40 ( 20 ) (1
9 )41
令 20 ，
9 9 40 +1 9 +1 9 39 40( 20 ) (1 20 ) ≥ 40 ( 20 ) (1 20 )
349
解得 20 ≤ ≤
369
20，
因为 ∈ ，所以当 = 18 时， ( = )取得最大值．
16.(1) 1 1若 = 2，则 ( ) =
2 ( + 1)
2，则 ′( ) = ( + 1)， ∈ (0, + ∞)，
令 ( ) = ′( ) = ( + 1)，则 ′( ) = 1，
因为 > 0，所以 ′( ) > 0，即函数 ( )在(0, + ∞)上单调递增，
则 ( ) > (0) = 0，即 ′( ) > 0 在(0, + ∞)上恒成立，
所以 ( )在(0, + ∞)上单调递增．

(2)令 ( ) = 0 ，可得 = ( +1)2，

所以 = 与 = ( +1)2恰有两个交点，

设 ( ) = ( 1)( +1)2，则 ′( ) = ( +1)3 ，
当 > 1 时， ′( ) > 0，当 0 < < 1 时， ′( ) < 0，
∴ ( )在(1, + ∞)上单调递增，(0,1)上单调递减，
∴ ( ) ≥ (1) = 4，
当 → 0 时， ( ) → 1；当 →+∞时， ( ) →+∞，
所以 的取值范围是( 4 , 1)．
17.(1)证明：取 的中点 ，连接 ， ，
因为 是 的中点，所以 // ， = 2 ，
又 // ， = 2 ，
所以 // ， = ，
所以四边形 是平行四边形，所以 // ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
(2)解：取 的中点 ，连接 ，
因为△ 为等边三角形，所以 ⊥ ，
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又平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
以 为原点， ， 所在直线分别为 ， 轴，作 // ，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (0,0,0)， (2,1,0)， (0,2,0)， (1,0, 3)， ( 1 , 1, 3 )，2 2
所以 = (1,0, 3)， = (2,1,0)， = ( 12 , 1,
3 ，
2 )
= + 3 = 0
设平面 的法向量为 = ( , , )，则

，
= 2 + = 0
取 = 1，则 = 3， = 2 3，所以 = ( 3, 2 3, 1)，
= 2 + = 0
设平面 的法向量为 = ( , , )，则 ，
= 12 + +
3
2 = 0
取 = 1，则 = 2， = 3，所以 = (1, 2, 3)，
所以 cos < ， >= 3 4 3+ 3 6| | | | = 2 2×4 = 4 ，
由图知，二面角 为锐角，
故二面角 的余弦值为 6．
4
18. (1) 1+2+3+4+5由题意可知， = 5 = 3，
5
则 = =1
5
=
72 5×3×4 = 12
5 2 5 2 5 2 5 2 55 5×32 95.86 5×42 158.6
≈ 0.95，
=1 =1
因为 ≈ 0.95 > 0.75 时线性相关程度高，
所以 与 线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合，
5 =1 所以 =
5 72 5×3×4
5 = = 1.2， =1 2 5 2 55 5×32

则 = = 4 1.2 × 3 = 0.4，

所以 关于 的线性回归方程为 = 1.2 + 0.4；
(2)记“甲从 2 号门出学校”为事件 ，“甲从 1 号门进学校”为事件 ，
“甲从 2 号门进学校”为事件 ，“甲从 3 号门进学校”为事件 ，
1
由题意可得 ( ) = 2， ( ) =
1 1
6， ( ) = 3， ( | ) = ( | ) =
1
6， ( | ) =
2
3，
所以 ( ) = ( ) ( | ) + ( ) ( | ) + ( ) ( | ) = 1 × 1 + 1 2 1 1 12 6 6 × 3 + 3 × 6 = 4，
1
同理乙、丙、丁从 2 号门出学校的概率也为4，
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为 4 1人中从 2 号门出学校的人数，则 ～ (4, 4 )，
( = 0) = ( 3 )4 = 81 ( = 1) = 1( 1 )1( 3 )3 = 108 = 27 ( = 2) = 2( 1 )2( 3 2 54 274 256， 4 4 4 256 64， 4 4 4 ) = 256 = 128， ( =
3) = 3 1 3 3 1 12 3 1 4 14( 4 ) ( 4 ) = 256 = 64， ( = 4) = ( 4 ) = 256，
故 的分布列为：
0 1 2 3 4
81 27 27 3 1
256 64 128 64 256
所以 ( ) = 4 × 1 1 3 34 = 1， ( ) = 4 × 4 × 4 = 4．
19.(1) ( ) = ( ) ( ) = 22 ，
所以 ′( ) = (1 + ) = 1，
令 ( ) = 1， ′( ) = 1 ，
因为 ′( )在(1,4)上单调递减，
所以 ′( ) = 1 ≤ 0 对于 ∈ (1,4)恒成立，
≥ 1可得 对于 ∈ (1,4)恒成立，
令 ( ) = 1 ，则 ∈ (1,4)时， > ( ) ，
易知 ( )在(1,4)上单调递增，所以 ( ) < (4) = 4
1
4，
1 1
所以 ≥ 4 4，即实数 的取值范围为[
4 4 , + ∞)．
(2)证明：当 = 1 时， ( ) = 1 22 ， ′( ) = + 1 ，
设切点为( 0, 0)( 0 > 1)，则切线方程为 0 = ′( 0)( 0)， = ′( 0)( 0) + 0，
令 ( ) = 1 22 [ ′( 0)( 0) + 0]，依题意，只需证明 ( ) ≤ 0 即可．
′( ) = + 1 ′( 0)，令 ( ) = + 1 ′( 0)， ′( ) =
1
1，
当 > 1 时， ′( ) = 1 1 < 0， ( )在(1, + ∞)上单调递减．即 ′( )在(1, + ∞)上单调递减，
又 ′( 0) = 0 + 1 0 ( 0 + 1 0) = 0，
故当 ∈ ( 0, + ∞)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
当 ∈ (1, 0)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
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∴ ( ) = ( 0) = 0
1 20 2 0 0 = 0，则 ( ) ≤ 0 恒成立，即得证．
(3)不等式 (2 ) + ( + 2) ( ) + + 1 < 0 恒成立，即 2 + ( + 2) + + 1 < 0 恒成立，
设 ( ) = 2 + ( + 2) + + 1， ∈ ，
则 ′( ) = 1 + 2 2 + ( + 2) = ( + 1)(2 + 1)，
当 ≥ 0 时， ′( ) > 0 恒成立，故 H( )在( ∞, + ∞)上单调递增，
因为 (0) = 2 + 3 > 0，所以不符合题意；
当 < 0 时，由 ′( ) > 0，得 < ln( 1 )，由 ′( ) < 0，得 > ln(
1
)，
所以 ( ) 1 1在( ∞, ln( ))上单调递增，在(ln( ), + ∞)上单调递减，
则 ( ) ≤ (ln( 1 )) = ln(
1
) + (
1 )2 + ( + 2)(
1
) + 1 = ln(
1 1
) ．
设 ( ) = ln( 1 1 1 1 1 ) ， < 0，则 ′( ) = + 2 = 2 > 0 恒成立，
所以 ( )在( ∞,0)上单调递增，
又 ( 1) = 0 + 1 = 1 > 0 ( 2) = ln 1 1， 2 + 2 < 0，
故 可取的最大整数值为 2．
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