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第二十一章 一元二次方程单元练习卷（提高卷）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（本题3分）一元二次方程的一次项系数与常数项分别是（ ）
A． B． C． D．3，5
3．（本题3分）解方程，方程的根为（ ）
A． B．，
C．， D．，
4．（本题3分）已知是方程的一个根，则的值为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
5．（本题3分）若关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（ ）
A． B．且 C． D．且
6．（本题3分）电影《南京照相馆》取材于南京大屠杀期间日军真实罪证影像，自上映以来，全国票房连创佳绩.据不完全统计，某市一天的票房收入约为200万元，第三天的票房收入约为600万元，设票房收入每天平均增长率为x，下面所列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（本题3分）某村为提高当地“村”总决赛的热度，发起了邀请好友转发海报得门票的活动．小方从公众号转发链接给自己后，又转发给个好友，收到链接的每个好友又转发给个互不相同的人，此时小方的这条链接共被转发133次，刚好满足领取门票的资格，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（本题3分）如图，四边形是边长为的菱形，对角线，的长度分别是一元二次方程的两个实数根，是边上的高，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程；与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是（ ）
A．2018 B．2020 C．2025 D．2030
10．（本题3分）我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程即]为例说明，构造如图，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，所以．则在下面四个构图中，能正确说明方程的解法的构图是（ ）
A．　B．　C．　 D．
二、填空题（共18分）
11．（本题3分）构造一个一元二次方程，要求：①常数项是；②有一个根为2．这个一元二次方程可以是 ．（写出一个即可）
12．（本题3分）用配方法解方程，将方程变为的形式，则的值为 ．
13．（本题3分）若实数，则的值为 ．
14．（本题3分）如图，某学校综合实践基地内有一块长方形油菜花田地（单位：m），现在其中修建一条观花道（阴影部分）供学生赏花，要求观花道的面积占长方形油菜花田地面积的．则观花道的直角边（如图所示）为 ．
15．（本题3分）关于x的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若n是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的是 ．（写出所有正确说法的序号）
16．（本题3分）如图所示，在中，，为边中线；且G在的垂直平分线上，在中，，则等于
三、解答题（共72分）
17．（本题20分）解方程
(1)；　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2)；
(3)，　　　　　　　　　　　　　　　(4)．
18．（本题8分）已知关于的方程．
(1)若方程有两个实数根，求实数的取值范围；
(2)若方程有两个实数根，，且，求的值．
19．（本题8分）2024年泡泡玛特推出拉布布系列，“拉布布”公仔爆红．据统计“拉布布”公仔在某电商平台3月份的销售量是5万件，5月份的销售量是万件．
(1)该平台3月份到5月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
(2)若月平均增长率不变，求6月份的销售量为多少万件？
20．（本题8分）如图，中，，，，动点从点出发以/s速度向点移动，同时动点从出发以的速度向点移动，设它们的运动时间为．
(1)根据题意知：______________________；（用含的代数式表示）
(2)为何值时，的面积等于四边形的面积的？
(3)点、运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出的值，如果不可以，请说明理由．
21．（本题8分）某社区为了解决停车难的问题，利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，，阴影部分设计为停车位，其余部分均为宽度为米的道路．已知停车位的面积（即阴影面积）为．
(1)求道路的宽是多少米？
(2)该停车场共有车位70个，据调查分析，当每个车位的月租金为300元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位．当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为21120元，同时尽可能让利于居民？
22．（本题10分）城开高速公路即重庆市城口县至开州区的高速公路，是国家高速银百高速公路（银川至百色）的一段，线路全长公里，甲、乙两工程队共同承建该高速公路某隧道工程，隧道总长2100米，甲、乙分别从隧道两端向中间施工，计划每天各施工6米．因地质结构不同，两支队伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一样．甲每合格完成1米隧道施工成本为8万元；乙每合格完成1米隧道施工成本为9万元．
(1)若工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的，求甲最多施工多少米？
(2)实际施工开始后地质情况比预估更复杂，甲乙两队每日完成量和成本都发生变化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m万元时，则每天可多挖米，乙在施工成本不变的情况下，比计划每天少挖米，若最终每天实际总成本比计划多万元，求的值．
23．（本题10分）阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数．
定义：两根都为整数的一元二次方程称为“友好方程”，代数式的值为该“友好方程”的“超强代码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“友好方程”，其“超强代码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“最佳搭子方程”．
(1)“友好方程”的“超强代码”是________；
(2)关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“友好方程”，请求出该方程的“超强代码”；
(3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数，且）的“最佳搭子方程”，且的一个根是的一个根的2倍，求m和n的值
试卷第1页，共3页
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《第二十一章 一元二次方程单元练习卷（提高卷）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C C B A B D B C
1．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此逐一判断即可．
【详解】解：A、方程中，未知数的最高次不是2，不是一元二次方程，不符合题意；
B、方程是一元二次方程，符合题意；
C、方程中，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
D、方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：B．
2．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，将原方程转化为一般形式，进而可找出一次项系数与常数项．
【详解】解：将原方程转化为一般形式得，
一次项系数为5，常数项为
故选：A．
3．C
【分析】利用直接开平方法解一元二次方程即可；本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法是解题的关键．
【详解】解：
当时，，
当时，，
则，；
故选：C．
4．C
【分析】本题考查了一元二次方程的根，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，则把代入，得，整理得，再把整理得，然后代数进行计算，即可作答．
【详解】解：是方程的一个根，
，
即，
∴，
则
．
故选：C．
5．B
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，由方程有实数根的情况可以的得到关于k的不等式，从而求解．
【详解】解；∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴且，即且，
解得且．
故选：B．
6．A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解此题的关键．设票房的收入每天平均增长率为x，根据“某市一天的票房收入约为200万元，第三天的票房收入约为600万元”列出一元二次方程即可．
【详解】解：由题意可得：，
故选：A．
7．B
【分析】本题考查一元二次方程的应用——传播问题，个好友转发给个互不相同的人时，转发了次，加上小方转给自己的1次和转给好友的次，共133次，由此可列方程．
【详解】解：由题意得，，
故选B．
8．D
【分析】本题考查了菱形的面积和一元二次方程根与系数的关系的应用，根据对角线的长度分别是一二次方程的两实数根，得到，根据菱形的面积公式得到，再根据得到．
【详解】解：∵对角线的长度分别是一二次方程的两实数根，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
9．B
【分析】根据新定义，把方程化成定义型方程，利用恒等式性质，确定a，b的值，后代入，配方，利用非负性求最值即可．
本题考查了一元二次方程新定义问题，配方法求最值是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得，
故，
又与是“同族二次方程”．
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴当时，取得最小值，且为2020，
故选：B．
10．C
【分析】本题考查一元二次方程的应用，完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解决问题的关键．
根据题意，画出方程，即的拼图过程，由面积之间的关系可得出答案．
【详解】解：方程，即的拼图如图所示
中间小正方形的边长为，其面积为9，
大正方形的面积：，
其边长为7，
因此，C选项所表示的图形符合题意，
故选：C．
11．（答案不唯一）
【分析】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，正确掌握相关定义是解题关键．
由题意设这个一元二次方程为：，由一元二次方程的解可得，可得进而得出答案．
【详解】解：由题意设这个一元二次方程为：，
代入得，，
即，
可取，
∴这个一元二次方程可以是，
故答案为：（答案不唯一）．
12．7
【分析】本题主要考查配方法，熟练掌握一元二次方程的配方法是解题的关键；由题意可先对一元二次方程进行配方，然后可得、的值，进而问题可求解．
【详解】解：由方程可配方得：，
，
故答案为：7．
13．6
【分析】本题考查了换元法和因式分解法解一元二次方程，用换元法解一些复杂的方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化．设，原式化为：，解一元二次方程求得的值，从而求得．
【详解】解：设，原式化为：，
整理得，，
解得，，
，
，
故答案为：6．
14．1
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意弄清图形间的面积关系是解题的关键．
直接利用直角三角形面积的求法列出方程即可求解．
【详解】解：由题意可得，
即，
解得：或（舍），
故答案为：1．
15．①②④
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的根等知识，完全平方公式，提公因式，证明，即可判断①，证明，即可判断②；根据一元二次方程根的定义得到，则或，即可判断③；由题意可得，即可判断④．
【详解】解：①对于方程，
，
若，则，
则，
即，
∴方程一定有两个不相等的实数根；故①正确；
②由①可知，，
若，则，即，则，
∴，
∴方程没有实数根；故②正确；
③若n是方程的一个根，则，即，
则或，即或，故③错误；
④若是方程的一个根，
则，
∵，
∴两边同除以得，
，
即，
∴是方程的一个根．
故④正确；
综上可知，①②④正确，
故答案为：①②④．
16．
【分析】连接，作，交的延长线于点，设，推出，勾股定理求出，中垂线的性质，得到，在中，利用勾股定理，列出方程求出的值，进而求出的长，再利用勾股定理求出的长即可．
【详解】解：连接，作，交的延长线于点，
∵在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵为边中线，
∴，
设，则：，
在中，，
∵G在的垂直平分线上，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得：，
解得：或（舍去）；
∴，
∴；
故答案为：．
17．(1)，
(2)，
(3)，
(4)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键．
（1）利用因式分解法求解；
（2）利用因式分解法求解；
（3）利用直接开平方法求解；
（4）利用公式法求解．
【详解】（1）解：
或
解得，；
（2）解：
或
解得，；
（3）解：
或
解得，；
（4）解：
，
解得，．
18．(1)；
(2)．
【分析】本题的关键是掌握一元二次方程根的判别式和根与系数关系，一元二次方程，若方程有两个不同的实根，若方程无实根，若方程有两个相同的实根；方程两根之和为，两根之积为．
（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；
（2）利用根与系数关系，，结合，即可求解．
【详解】（1）解：（1）由题意可知，，
若方程有两个实数根，则，即，
解得．
（2）∵一元二次方程有两个实数根，，
由根与系数关系可知：，，
∵，
∴即，
∴，
∴，
解得：．
19．(1)月平均增长率是
(2)6月份的销售量为万件
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数四则混合运算的应用，正确理解题意列得一元二次方程是解题的关键．
（1）设月平均增长率是 x，根据题意列一元二次方程求解；
（2）利用求出的增长率即可求出结果．
【详解】（1）解：设月平均增长率是 x，
依题意得：，
解得（不合题意，舍去）．
答：月平均增长率是 ；
（2）解：（万件），
答：6月份的销售量为万件．
20．(1)
(2)
(3)不可以，理由见解析
【分析】本题考查了几何图形中的动点问题，勾股定理、一元二次方程的求解．
（1）根据路程=速度×时间，即可求解；
（2）由题意得：的面积等于三角形的面积的．分别表示出的面积和三角形的面积即可求解；
（3）利用勾股定理建立方程，进而判断方程是否有解，即可求解．
【详解】（1）解：根据路程=速度×时间得：
，
则
故答案为：
（2）解：∵的面积等于四边形的面积的
∴的面积等于三角形的面积的
∴
即
解得：
即当t为 时，的面积等于四边形的面积的；
（3）解：不可以，理由如下：
若，由勾股定理得：
整理得：
∵
∴原方程无解，的长不可以是4．
21．(1)道路的宽是4米
(2)每个车位的月租金上涨20元时，停车场的月租金收入为21120元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）道路的宽为米，根据铺花砖的面积（即阴影面积）为，结合其布局图，列出一元二次方程，解方程取符合题意的值即可；
（2）设每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为21120元，根据“该停车场共有车位70个，据调查分析，当每个车位的月租金为300元时，可全部租出；若每个车位的月租金每上涨5元，就会少租出1个车位”，列出一元二次方程，解方程取尽可能让利于居民的值即可．
【详解】（1）解：道路的宽为米，
由题意得：，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），，
答：道路的宽是4米；
（2）解：设每个车位的月租金上涨元时，停车场的月租金收入为21120元，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
∵尽可能让利于居民，
，
答：每个车位的月租金上涨20元时，停车场的月租金收入为21120元．
22．(1)甲最多施工900米
(2)的值为2
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用等知识点，审清题意、弄清量之间的关系、正确列出不等式和方程是解题的关键．
（1）设甲工程队施工x米，则乙工程队施工米，根据不等关系“工程结算时乙总施工成本不低于甲总施工成本的”列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答；
（2）根据“最终每天实际总成本比计划多万元”即可得出关于的一元二次方程求解即可．
【详解】（1）解：设甲施工米，
由题意可得：，
解得：．
答：甲最多施工900米．
（2）解：由题意可得：，
整理得，
解得．
答：的值为2．
23．(1)
(2)
(3)，
【分析】本题考查了一元二次方程的新定义运算．
（1）直接根据“超强代码”的定义作答即可；
（2）先根据“友好方程”的定义求出m的范围，进而求出，再根据“超强代码”的定义计算即可；
（3）先分别求出两方程的“超强代码”，再根据“最佳搭子方程”得到，可知，再根据“的一个根是的一个根的2倍”列出所有情况，判断是否符合题意即可．
【详解】（1）解：“友好方程”的“超强代码”是：，
故答案为：；
（2）解：∵是“友好方程”，
∴且为完全平方数，
∵，
∴，
∴=36或49或64，
∴或或，
∵为整数，
∴，
将代入原方程，则，
∴，
∴方程的“超强代码”为；
（3）解：方程的“超强代码”为：
，
由得：
方程的“超强代码”为：
，
由得：
∵是的“最佳搭子方程”，
∴，
即，
整理得，，
∵，均为正整数且，
∴，
∴，
即，
又∵的一个根是的一个根的2倍，
∴①当时，得：，，
②当时，，，（舍），
③当时，得：（舍），
综上所述：，．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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