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2025-2026学年福建省福州一中九年级（上）开学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.-2024的倒数是（　　）
A. -2024 B. 2024 C. D.
2.在数-5，0，，2006，20.80中，有平方根的数有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
3.下列各分式中，最简分式是（　　）
A. B. C. D.
4.数据8，7，6，7，6，5，4，5，8，6的中位数是（　　）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
5.不等式组，的解集可表示为（　　）
A. B.
C. D.
A. 两直线平行，内错角相等
B. 在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行
C. 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
D. 相等的角是对顶角
7.已知，在平面直角坐标系中A，B两点的坐标分别为（3，2），（1，5），将线段AB平移到线段CD，若点A的对应点C的坐标为（-2，-2），则点D的坐标是（　　）
A. （-4，-1） B. （4，-1） C. （4，1） D. （-4，1）
8.在同一直角坐标系中，二次函数y=ax2+c与一次函数y=ax+c的大致图象为（　　）
A. B. C. D.
9.若把分式中的x和y都扩大为原来的3倍，那么分式的值（　　）
A. 扩大为原来的3倍 B. 缩小为原来的3倍 C. 不变 D. 缩小为原来的6倍
10.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x=-，现给出以下结论：①abc＞0；②|a+b|＞|c|；③a-9c＞0；④（b+2c）（5b+2c）＜0.其中正确的个数为（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.x=3是方程4x-3（a-x）=6x-7（a-x）的解，那么a= .
12.把抛物线y=2x2向左平移3个单位，然后向下平移1个单位，则平移后抛物线的解析式为 .
13.若a、b、c是△ABC的三边的长，则化简|a-b-c|+|b-c-a|+|a+b-c|= ______．
14.已知函数y=kx2-2x+k-1与x轴只有一个交点，则k= .
15.在正方形ABCD中，点P是射线CB上一个动点，连接DP，过点C作CM⊥DP 于点M，过点A作AN⊥DP于点N.若BP=BM=1，则MN= .
三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题4分)
化简：= ______.
17.(本小题6分)
用适当的方法解下列方程：
（1）（2x-1）2=x（3x+2）-7；
（2）x2-10x+9=0.
18.(本小题8分)
如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC和CD上，且∠AEB=∠AFD.求证：BE=DF.
19.(本小题8分)
先化简，再求值：4xy-（2x2-5xy+y2）+2（x2-3xy），其中x=-2，y=1．
20.(本小题8分)
人工智能（简称AI）作为第四次工业革命的核心技术之一，正在释放科技革命和产业变革积蓄的巨大能量，将对经济发展、社会治理、国家安全产生重大而深远的影响.某校进行了“人工智能与人类未来”的演讲比赛，10位评委分别对甲、乙两名参赛队员进行打分（满分10分），赛后对数据进行收集、整理、描述和分析，信息如下：
Ⅰ.甲的分数：7 9 8 7 8 9 9 9 8 10；
Ⅱ.乙的分数折线统计图：
分析上述数据，得到下表：
参赛人员 平均数 众数 中位数 方差
甲 8.4 a 8.5 0.84
乙 b 9 c 1.36
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表格中的a=______，b=______，c=______.
（2）学校准备从甲、乙两名同学中选取一名参加区演讲比赛，你认为应该选择哪名同学参赛？请判断并说明理由.
21.(本小题10分)
△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、B、C三点在格点上.
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出C1点的坐标；
（2）作出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2，并写出C2点的坐标；
（3）求△ABC的面积.
22.(本小题10分)
市面上出现了一款热销玩具.某超市第一次用1000元购进这款玩具，由于销售良好，又花1600元第二次购进这款玩具.已知第二次购进的数量是第一次的2倍.且每个玩具第二次购进的成本比第一次便宜了1元.
（1）求该超市两次购进这款玩具各多少个？
（2）第二次购进这款玩具后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于天气的影响，游客量减少，该超市决定将剩下的玩具打五折销售并很快全部售完.若要使两次购进的玩具销售完后的总利润是1880元，则第一次销售时每个玩具的售价是多少元？
23.(本小题10分)
如图，已知直线AQ与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点Q，∠QAO=45°，直线AQ与y轴的交点为（0，2），直线BE：y=-2x+8与直线AQ交于点P.
（1）求直线AQ的解析式；
（2）若点C在y轴负半轴上，点M在射线PA上，点N在射线PB上，且四边形QMCN为菱形，使用无刻度的直尺和圆规做出该菱形，并求出点C的坐标.
24.(本小题12分)
在数学活动课上，老师给每个数学小组发放了一张长方形纸片，组织同学们以“长方形的折叠”为主题进行探究活动.
（1）如图①，连接对角线AC，沿着DE折叠，使得点A落在对角线AC上，点A的对应点记为A'，AC与DE的交点记为O.求证：AA'⊥DE；
（2）如图②，将长方形纸片ABCD对折，使得边AD与BC重合，边AB与DC重合，折痕与AB交点为G.展开后再沿直线EF折叠，使得点A落在对折线的交点处，点A的对应点记为A'，连接AA'，
①若该纸片长AB=8cm,宽AD=6cm,求折痕EF的长度；
②若△AEF≌△GA'A，求证：该纸片为正方形纸片.
25.(本小题14分)
抛物线交x轴于O，A（2，0）两点，顶点为B（1，1），点C为OB的中点.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点D为x轴上一动点，以OC和OD为边作平行四边形DOCE，当点E恰好在抛物线上时，求点D坐标；
（3）点P为直线y=2上一动点，过点P的直线PF，PG与抛物线均只有一个公共点F、G，求点C到直线FG的距离的最大值.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】D
8.【答案】C
9.【答案】A
10.【答案】C
11.【答案】
12.【答案】y=2（x+3）2-1
13.【答案】a+b+c
14.【答案】或或0
15.【答案】
16.【答案】π-3
17.【答案】x1=2，x2=4；
x1=1，x2=9
18.【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D，
在△ABE和△ADF 中，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴BE=DF．
19.【答案】 解：原式=4xy-2x2+5xy-y2+2x2-6xy=3xy-y2，
将x=-2，y=1代入，得：
原式=3×（-2）×1-12
=-6-1
=-7．
20.【答案】9，8.2，8.5；
选择甲参赛，理由如下：
甲、乙平均数相差不大，甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩更稳定
21.【答案】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
C1点的坐标为（3，-4）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
C2点的坐标为（-3，4）．
（3）△ABC的面积为==．
22.【答案】该超市第一次购进200个，第二次购进400个；
第一次销售时每个玩具的售价是8元
23.【答案】直线AQ的解析式为y=x+2；
点C的坐标为（0，-10）或（0，）
24.【答案】∵ΔDA'E由△DAE 折叠得到，
∴DA=DA'，
∴△DAA'是等腰三角形．
又∵OA=OA'，
∴DO⊥AA'，
即AA'⊥DE；
①cm；
②∵展开后再沿直线EF折叠，
∴EF垂直平分AA‘，
∴AE=A’E，
∵△AEF≌△GA‘A，
∴AE=GA’，
∴A‘E=GA’，
∴A‘E=GA’，
∴E与G重合，
同理F与H重合，
∴四边形AGA‘H为正方形，
由折叠知AB=2AG，AD=2AF，
∴AB=AD，
∴矩形ABCD为正方形
25.【答案】y=-x2+2x．
（，0）．

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