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2024-2025学年湖南省株洲外国语学校七年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.中国古代数学著作《九章算术》最早提到了负数，则的倒数是（　　）
A. |-2025| B. -2025 C. D.
2.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
3.计算（-2a）2-3a2的结果是（　　）
A. -a2 B. a2 C. -5a2 D. 5a2
4.下列变形属于因式分解的是（　　）
A. x2-2x+3=（x-1）2+2 B. （-2x+3y）（2x+3y）=-4x2+9y2
C. a2-2a+1=a（a-2）+1 D. 3x2y-xy=xy（3x-1）
5.李明同学对七年级的120名同学关于节约用水的方法选择的问题进行了问卷调查（每人选择一项），其中各项人数统计如水滴图，如果将这个水滴图绘制成扇形统计图，那么表示“巧妙用水”的扇形的圆心角的度数是（　　）
A. 48°
B. 45°
C. 42°
D. 30°
6.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A. B.
C. D.
7.如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD=135°，，则∠1的度数为（　　）
A. 40°
B. 50°
C. 45°
D. 60°
8.《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作，在它的“方程”里，一次方程组是由算筹布置而成的.《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排的，如图1、图2图中各行从左到右列出的算筹分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项.把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是，类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（　　）
A. B. C. D.
9.如图，A、B是直线m上两个定点，C是直线n上一个动点，且m∥n,以下说法：①三角形ABC的周长不变；②三角形ABC的面积不变；③∠C的度数不变；④点C到直线m的距离不变.其中正确的是（　　）
A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④
10.如图①，已知长方形纸带ABCD，AB∥CD，AD∥BC，∠C=90°，点E、F分别在边AD、BC上，∠1=20°，如图②，将纸带先沿直线EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，如图③，将纸带再沿FS折叠一次，使点H落在线段EF上点M的位置，那么∠2的度数为（　　）
A. 45° B. 50° C. 55° D. 60°
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.白天的平均温度是零上25℃，记作+25℃，那么夜间的平均温度为零下1℃，记为 ℃.
12.代数式的值为0时，x的值为______.
13.分解因式：m2-4= ．
14.如图，已知AB=8cm，BD=3cm，C为AB的中点，则线段CD的长为 cm．
15.若单项式与-的差仍是单项式，则m-2n= ______.
16.如图，烧杯内液体表面AB与烧杯下底部CD平行，已知∠FED=57°，光线EF从液体中射向空气时发生折射，光线偏折了18°，则∠HFB的度数为______.
17.如图，将面积为6的正方形OABC和面积为9的正方形ODEF分别绕原点O顺时针旋转，使OA，OD落在数轴上，点A，D在数轴上对应的数字分别为a、b,则b-a= ______.
18.在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”，记：
，
（2x+n）=（2x+3）+（2x+4）+（2x+5）+（2x+6）+（2x+7）+（2x+8）=12x+33.
同学们，通过以上材料的阅读，请回答下列问题：若对于任意x都存在，则代数式的值为______.
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：.
20.(本小题8分)
先化简，再求值：（2x-3）2+（x+4）（x-4）-5x2，其中.
21.(本小题8分)
某中学为丰富校园体育活动，成立了跑步、跳绳、篮球、乒乓球、羽毛球共五个社团.为了解全校学生对五个社团的喜爱情况，现随机抽取部分学生进行问卷调查，并形成如下调查报告（不完整）：
调查主题某中学学生对五个社团的喜爱情况
调查方式 抽样调查
调查对象 该中学的学生
调查方案 方案一：抽取七年级的部分学生进行调查；
方案二：抽取每个班的体育委员进行调查；
方案三：按各年级人数比例，分别抽取合适人数的学生进行调查.
调查问卷 您最喜爱的社团是（只选一项，在其后的括号内打“√”）
A.跑步社团（ ）；B.跳绳社团（ ）；C.篮球社团（ ）；D.乒乓球社团（ ）；E.羽毛球社团（ ）.
调查结果 将所有问卷全部收回，并将调查结果绘制成如下两幅统计图（不完整）：
请根据调查报告，解答下列问题：
（1）上述调查方案中，最合理的是方案______（填“一”，“二”或“三”）；
（2）本次抽样调查的总人数共有多少人？
（3）根据调查结果直接补全条形统计图；
（4）若该校共有1000名学生，所有学生都只选择了一项社团，请通过计算估计该校参加篮球社团的学生有多少名？
22.(本小题8分)
如图，已知 AC∥DE，∠D+∠BAC=180°.
（1）求证：AB∥CD；
（2）连接CE，恰好满足CE平分∠ACD，若AB⊥BC，∠CED=36°，求∠ACB的度数.
23.(本小题8分)
“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴.”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级一班拟组织学生参加跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干，已知购买1根A种跳绳和3根B种跳绳共需105元；购买3根A种跳绳和5根B种跳绳共需215元.
（1）求A，B两种跳绳的单价；
（2）如果班级计划购买A，B两型跳绳共48根，总费用不超过1322元，最多可购买A种跳绳多少根？
24.(本小题8分)
甲、乙两个长方形，其边长如图所示（m＞0），其面积分别为S1，S2.
（1）比较S1与S2的大小；
（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和，设该正方形的面积为S3，试探究：S3与2（S1+S2）的差是否为定值？若为定值，请求出该值；如果不是，请说明理由.
25.(本小题8分)
小聪学习多项式研究了多项式值为0的问题，发现当mx+n=0或px+q=0时，多项式A=（mx+n）（px+q）=mpx2+（mq+np）x+nq的值为0，把此时x的值称为多项式A的零点.
（1）已知多项式（3x+2）（x-3），则此多项式的零点为______.
（2）已知多项式B=（x-2）（x+m）=x2+（a-1）x-3a有一个零点为2，求多项式B的另一个零点；
（3）小聪继续研究（x-4）（x-2），x（x-6）及等，发现在x轴上表示这些多项式零点的两个点关于直线x=3对称，他把这些多项式称为“3—系多项式”.若多项式M=（2x-b）（cx-7c）=ax2-（8a-4c）x+5b-4是“3—系多项式”，求a与c的值.
26.(本小题10分)
如图，AD∥BC，∠BCD的平分线CG交AD于点G.
（1）试说明：∠DGC=∠DCG；
（2）如图，线段CG上有一点P，满足∠CDP=3∠PDG，过点A作AH∥CG交BC于点H.
①若∠BAH=2∠PDG，试判断AB与AD的位置关系，并说明理由；
②在①的条件下，在射线CG上取一点M，使得∠PDM=∠BAH，直线DM交直线BC于点Q，求的值.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】D
11.【答案】-1
12.【答案】3
13.【答案】（m+2）（m-2）
14.【答案】1
15.【答案】-4
16.【答案】39°
17.【答案】3-
18.【答案】-27
19.【答案】解：
=2-3-2×1
=2-3-2
=-3．
20.【答案】-12x-7，-1．
21.【答案】三；
50；
图见解析；
估计该校参加篮球社团的学生有400名．
22.【答案】（1）证明：∵AC∥DE，
∴∠D+∠ACD=180°，
又∵∠D+∠BAC=180°，
∴∠ACD=∠BAC，
∴AB∥CD．
（2）解：连接CE，
∵AC∥DE，∠CED=36°，
∴∠ACE=∠CED=36°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACD=2∠ACE=72°，
由（1）知：AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD=72°，
又∵AB⊥BC，
∴∠B=90°，
∴∠ACB=180°-∠B-∠BAC=180°-90°-72°=18°．
23.【答案】解：（1）设A种跳绳的单价为x元，B种跳绳的单价为y元，
根据题意得：，
解得，
答：A种跳绳的单价为30元，B种跳绳的单价为25元；
（2）设购买A种跳绳a根，则购买B种跳绳（48-a）根，
根据题意得：30a+25（48-a）≤1322，
解得a≤24.4，
∵a为正整数，
∴a得最大值为24，
答：最多可购买A种跳绳24根．
24.【答案】解：（1）甲长方形的面积为S1=（m+5）（m+1），乙长方形的面积为S2=（m+4）（m+2），
则（m+5）（m+1）-（m+4）（m+2）
=m2+6m+5-m2-6m-8
=-3＜0，
那么S1＜S2；
（2）由题意可得正方形的周长为2（m+5+m+1）+2（m+2+m+4），
则2（m+5+m+1）+2（m+2+m+4）
=4m+12+4m+12
=8m+24，
则其边长为（8m+24）÷4=2m+6，
那么S3=（2m+6）2，
则S3-2（S1+S2）
=（2m+6）2-2[（m+5）（m+1）+（m+4）（m+2）]
=4m2+24m+36-2（m2+6m+5+m2+6m+8）
=4m2+24m+36-2（2m2+12m+13）
=4m2+24m+36-4m2-24m-26
=10，
即S3与2（S1+S2）的差是定值，这个定值是10．
25.【答案】或3；
-3；
c=1，a=2
26.【答案】解：（1）∵AD∥BC，
∴∠DGC=∠BCG，
∵CG平分∠BCD，
∴∠BCG=∠DCG，
∴∠DGC=∠DCG；
（2）①AB⊥AD，理由如下：
设∠PDG=α，
∵∠CDP=3∠PDG，∠BAH=2∠PDG，
∴∠CDP=3α，∠ADC=4α，∠BAH=2α，
∵AD∥BC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-4α，
∵CG平分∠BCD，
∴∠DCG=BCD=90°-2α，
由（1）得∠DGC=∠DCG=90°-2α，
∵AH∥CG，
∴∠DAH=∠DGC=90°-2α，
∵∠BAH=2α，
∴∠BAD=∠DAH+∠BAH=90°-2α+2α=90°，
∴AB⊥AD；
②由①得∠DGC=90°-2α，
∴∠AGC=180°-∠DGC=90°+2α，
过点M作MT∥AD，则∠GMT=∠DGC=90°-2α
当点M在线段CG上时，如图，
由①得，∠PDG=α，∠PDM=∠BAH=2α，
∴∠GDM=∠PDG+∠PDM=3α，
∵MT∥AD，
∴∠TMQ=∠GDM=3α，
∴∠GMQ=∠GMT+∠TMQ=90°+α，
∴；
当点M在线段CG的延长线上时，如图，
同理可得，∠GDM=α，
∵MT∥AD，
∴∠TMQ=∠GDM=α，
∴∠GMQ=∠GMT-∠TMQ=90°-3α，
∴；
综上所述，的值为或．
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