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3.2函数与方程、不等式之间的关系
题型一 利用函数图象求函数的零点、解不等式
（教材）例1如图所示是函数的图像，分别写出，，的解集．
（教材）练1-1 如图所示是函数的图像，分别写出的解集.
练1-2 观察函数y＝f(x)的图像，填空：
当x∈ 时，f(x)＝0；
当x∈ 时，f(x)>0；
当x∈ 时，f(x)<0.
题型二 求函数零点
（教材）例2-1 求下列函数的零点：
（1）；
（2）；
（3）.
（教材）例2-2 求下列函数的零点：
（1）；
（2）.
例2-3 函数f(x)＝的零点个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
例2-4 若f(x)＝，则函数y＝f(4x)－x的零点是(　 　)
A． B．－ C．2 D．－2
例2-5 若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是(　 　)
A．－1和 B．1和－ C．和 D．－和
（教材）练2-1 求下列函数的零点：
（1）；
（2）.
练2-2 已知函数f(x)＝求此函数的零点个数．
练2-3（多选）已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－2的零点是(　 　)
A． B． C．－ D．2
题型三 解一元二次不等式
（教材）例3-1 利用函数求下列不等式的解集：
（1）；（2）．
（教材）例3-2 利用函数求下列不等式的解集：
（1）；（2）．
（教材）例3-3 利用函数求下列不等式的解集：
（1）；（2）．
例3-4 若0A． B． C． D．
（教材）练3-1 利用函数求下列不等式的解集：
（1）；
（2）；
（3）.
练3-2 利用函数求下列不等式的解集：
(1)－x2＋8x－3>0；
(2)x2－3x＋1≤0；
(3)－4x2＋4x－1>0.
练3-3 设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)<0的解集为(　　)
A．(－∞，a)∪ B．(a，＋∞) C.∪(a，＋∞) D.
题型四 解含参的一元二次不等式
（教材）例4-1 已知，不等式的解集是，且，求实数的取值范围.
例4-2 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.
例4-3 解关于x的不等式ax2－2x＋a<0.
练4-1 解关于x的不等式：ax2－(a2＋2)x＋2a≤0.
题型五 三个二次的关系
（教材）例5-1 已知，且的解集是，求实数的值.
例5-2 关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－10的解集为(　 　)
A．{x|－22或x<－1} C．{x|x>1或x<－2} D．{x|x<－1或x>1}
例5-3 已知不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；
(2)若不等式ax2＋bx＋3≥0的解集为R，求b的取值范围.
练5-1 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2题型六 解高次不等式
（教材）例6-1 求函数的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式和的解集．
（教材）例6-2 求函数的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式和的解集.
（教材）练6-1 求下列函数的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式和的解集：
（1）；
（2）.
练6-2 求函数f(x)＝(2x＋1)(x－1)(x－3)的零点，并作出函数图象的示意图，写出不等式f(x)>0和f(x)≤0的解集．
练6-3 不等式(x＋1)(x－2)(x－3)<0的解集为________．
题型七 判断零点所在区间
（教材）例7-1 已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（ ）
A． B． C． D．
例7-2 函数f(x)＝x3＋x2＋1的零点所在的区间为(　 　)
A．[－3，－2] B．[－2，－1] C．[－1，0] D．[0，1]
练7-1 函数f(x)＝x3－2x2＋3x－6的零点所在的区间可能是(　 　)
A． B． C． D．
练7-2 二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
f(x) 6 m －4 －6 －6 －4 n 6
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是(　　)
A．(－3，－1)和(2，4) B．(－3，－1)和(－1，1)
C．(－1，1)和(1，2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞)
题型八 函数零点存在定理的应用
（教材）例8-1 求证：函数至少有一个零点．
（教材）例8-2 求证：函数只有一个零点，且.
（教材）练8-1 求证：方程在上至少有两个实根.
（教材）练8-2 求证：函数在区间上至少有一个零点.
题型九　函数f(x)＝g(x)－h(x)的零点问题
例9-1 已知函数f(x)＝|x2－2x|－a，求满足下列条件的a的取值范围．
(1)函数f(x)没有零点；
(2)函数f(x)有两个零点；
(3)函数f(x)有三个零点；
(4)函数f(x)有四个零点．
练9-1 已知a为常数，则函数f(x)＝|x2－9|－a－2的零点个数可能为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
题型十 函数的零点分布
（教材）例10-1 已知函数有两个零点，在区间上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，求实数a的取值范围．
（教材）例10-2 若函数有三个零点，且，求实数的取值范围.
（教材）例10-3已知关于x的方程有两个不相等的正实数根，求实数m的取值组成的集合．
（教材）例10-4 已知函数有一个零点在区间内，求实数的取值范围.
（教材）例10-5 如果关于的方程的两根分别在区间和内，求实数的取值范围.
练10-1函数f(x)＝2kx2－2x－3k－2的两零点一个小于1，一个大于1，求实数k的取值范围．
练10-2 若函数f(x)＝kx2－(2k＋1)x－3在(－1，1)和(1，3)内各有一个零点，求实数k的取值范围．
　
练10-3 已知二次函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1.
(1)若函数f(x)的一个零点在区间(－1，0)内，另一个零点在区间(1，2)内，求实数m的取值范围；
(2)若函数f(x)的两个零点均在区间(0，1)内，求实数m的取值范围．
练10-4 已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4.
(1)若函数f(x)的零点均大于1，求实数a的取值范围；
(2)若函数f(x)的一个零点大于1，一个零点小于1，求实数a的取值范围；
(3)若函数f(x)的一个零点在(0，1)内，另一个零点在(6，8)内，求实数a的取值范围．
题型十一 恒成立问题
（教材）例11-1已知，且对任意实数均成立，求实数取值的集合.
（教材）例11-2当是什么实数时，函数没有零点？
（教材）例11-3 设函数，已知恒成立，求自然数的值.
例11-4设函数f(x)＝ax2－ax－1.
(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求a的取值范围；
(2)对于x∈[1，3]，f(x)<－a＋5恒成立，求a的取值范围．
练11-1已知不等式mx2－mx－1<0.
(1)若x∈[1，3]时不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若满足|m|≤2的一切m的值能使不等式恒成立，求实数x的取值范围．
题型十二 二分法求零点的近似值
（教材）例12-1证明函数有零点，并指出用二分法求零点的近似值（精确度小于0.1）时，至少需要进行多少次函数值的计算.
f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984 f(1.375)＝－0.260
f(1.437 5)＝0.162 f(1.406 25)＝－0.054
例12-2 f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为 ．
例12-3 在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为(　 　)
A．0.68 B．0.72 C．0.7 D．0.6
练12-1 用二分法求函数y＝f(x)在区间[2，3]上的零点的近似值，验证f(2)f(3)<0，取区间[2，3]的中点x1＝＝2.5，计算得f(2.5)f(3)>0，此时零点x0所在的区间是________．
练12-2 用二分法求函数f(x)在区间[a，b]上的零点时，需要的条件是(　　)
①f(x)在区间[a，b]上是连续不断的；②f(a)f(b)<0；③f(a)f(b)>0；④f(a)f(b)≥0.
A．①② B．①③
C．①④ D．②3.2函数与方程、不等式之间的关系
题型一 利用函数图象求函数的零点、解不等式
（教材）例1如图所示是函数的图像，分别写出，，的解集．
解 由图可知，的解集为．
的解集为．
的解集为 ．
（教材）练1-1 如图所示是函数的图像，分别写出的解集.
【答案】的解集为；的解集为或或；的解集为或或
【详解】解：由图可知的解集为.
的解集为.
的解集为.
练1-2 观察函数y＝f(x)的图像，填空：
当x∈时，f(x)＝0；
当x∈∪∪(2，＋∞)时，f(x)>0；
当x∈∪(1，2)时，f(x)<0.
解析：根据题图知f(x)＝0的解集是.
f(x)＞0的解集是∪∪(2，＋∞).
f(x)<0的解集是∪(1，2).
题型二 求函数零点
（教材）例2-1 求下列函数的零点：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1） （2） （3）
【详解】解：（1）令，得，所以或，因此函数的零点为.
（2）令，得，所以或.因此函数的零点为.
（3）令，当时，，所以.
当时，，所以或（舍去）.
因此函数的零点为.
（教材）例2-2 求下列函数的零点：
（1）；
（2）.
【答案】（1）. （2）
【详解】（1）令，解得或，因此函数的零点为
（2）令，得或或，因此函数的零点为.
例2-3 函数f(x)＝的零点个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
答案：　C
解析：解法一：方程x＋2＝0(x<0)的根为x＝－2，方程x2－1＝0(x>0)的根为x＝1，所以函数f(x)有2个零点－2与1.
解法二：画出函数f(x)＝的图象，如图所示，观察图象可知，f(x)的图象与x轴有2个交点，所以函数f(x)有2个零点．
例2-4 若f(x)＝，则函数y＝f(4x)－x的零点是(　A　)
A． B．－
C．2 D．－2
解析：根据函数零点的概念，函数y＝f(4x)－x的零点就是方程f(4x)－x＝0的根，解方程f(4x)－x＝0，即－x＝0，得x＝，故选A.
例2-5 若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是(　B　)
A．－1和 B．1和－ C．和 D．－和
解析：∵函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，
∴即
∴g(x)＝6x2－5x－1，
∴g(x)的零点为1和－，故选B.
（教材）练2-1 求下列函数的零点：
（1）；
（2）.
【答案】（1） （2）
【详解】（1）由得，零点为；
（2），或．∴零点为．
练2-2 已知函数f(x)＝求此函数的零点个数．
解：当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3或x＝1(舍)；
当x>0，令－2＋x＝0，解得x＝2.
所以函数f(x)＝有2个零点．
练2-3（多选）已知函数f(x)＝则函数g(x)＝f(x)－2的零点是(　AB　)
A． B． C．－ D．2
解析：由题意，令函数g(x)＝f(x)－2＝0，即f(x)＝2，
当x≤1时，令3－2x＝2，解得x＝；当x>1时，令x2＝2，
解得x＝或x＝－(舍去)，
所以函数g(x)的零点为，.
题型三 解一元二次不等式
（教材）例3-1 利用函数求下列不等式的解集：
（1）；（2）．
解 设，令，得，
即，从而或．
因此，3和都是函数的零点，从而的图像与x轴相交于和，又因为函数图像是开口向上的拋物线，所以可以作出函数图像的示意图，如图所示．
由图可知：
（1）所求解集为；
（2）所求解集为．
（教材）例3-2 利用函数求下列不等式的解集：
（1）；（2）．
解 设，令，得，即，该方程无解．
因此函数无零点，从而的图像与x轴没有交点，又因为函数图像是开口向下的抛物线，所以可以作出函数图像的示意图，如图所示．
由图可知：
（1）所求解集为；
（2）所求解集为．
（教材）例3-3 利用函数求下列不等式的解集：
（1）；（2）．
解 设，令，得，即，从而．
因此，函数的零点为2，从而的图像与x轴相交于，又因为函数图像是开口向上的抛物线，所以可知：
（1）所求解集为；
（2）所求解集为．
例3-4 若0A． B． C． D．
解析：当t∈(0，1)时，t<，所以不等式的解集为.
（教材）练3-1 利用函数求下列不等式的解集：
（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【详解】（1）原不等式化为，或，解集为；
（2）原不等式化为，解集为；
（3）原不等式化为，恒成立，解集为．
练3-2 利用函数求下列不等式的解集：
(1)－x2＋8x－3>0；
(2)x2－3x＋1≤0；
(3)－4x2＋4x－1>0.
解：(1)因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x2＋8x－3＝0有两个不等实根x1＝4－，x2＝4＋，又二次函数y＝－x2＋8x－3的图象开口向下，所以原不等式的解集为{x|4－(2)因为Δ＝9－4＝5>0，所以方程x2－3x＋1＝0有两个不等实数根x1＝，x2＝，
又因为函数y＝x2－3x＋1的图象开口向上，所以原不等式的解集为.
(3)设f(x)＝－4x2＋4x－1，令f(x)＝0，得4x2－4x＋1＝0，即(2x－1)2＝0，从而x＝.
因此函数f(x)的零点为，从而f(x)的图象与x轴相交于，又因为函数图象是开口向下的抛物线，因此可得所求不等式的解集为 .
练3-3 设a<－1，则关于x的不等式a(x－a)<0的解集为(　　)
A．(－∞，a)∪ B．(a，＋∞) C.∪(a，＋∞) D.
答案：A
解析：∵a<－1，∴a(x－a)<0 (x－a)>0.又a<－1，∴>a，由函数f(x)＝(x－a)的图象可得所求不等式的解集为(－∞，a)∪.
题型四 解含参的一元二次不等式
（教材）例4-1 已知，不等式的解集是，且，求实数的取值范围.
【答案】
【详解】解：由题意可知.因为，所以.
例4-2 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0.
解：当a＝0时，原不等式可化为－x＋1<0，解得x>1.
当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0.
当a<0时，不等式可化为(x－1)>0，因为<1，所以x<或x>1.
当a>0时，原不等式可化为(x－1)<0.
若<1，即a>1，则若＝1，即a＝1，则x∈ ；
若>1，即0综上所述，当a<0时，原不等式的解集为；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x>1}；
当0当a＝1时，原不等式的解集为 ；
当a>1时，原不等式的解集为.
例4-3 解关于x的不等式ax2－2x＋a<0.
解：(1)当a＝0时，不等式变为－2x<0，∴x>0；
(2)当a>0时，Δ＝4－4a2，
①当Δ>0，即0∴不等式的解集为{x|②当Δ＝0，即a＝1时，不等式的解集为 .
③当Δ<0，即a>1时，不等式的解集为 .
(3)当a<0时，
①当Δ>0，即－1}．
②当Δ＝0，即a＝－1时，不等式可化为(x＋1)2>0，
∴不等式的解集为{x|x∈R且x≠－1}．
③当Δ<0，即a<－1时，不等式的解集为R.
综上所述，当a≥1时，不等式的解集为 ；
当0当a＝0时，不等式的解集为{x|x>0}；
当－1}；
当a＝－1时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠－1}；
当a<－1时，不等式的解集为R.
练4-1 解关于x的不等式：ax2－(a2＋2)x＋2a≤0.
解：(1)当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≥0}．
(2)当a>0时，原不等式化为(x－a)≤0.
①当时，原不等式的解集为；
②当>a，即0③当a＝时，原不等式的解集为{x|x＝}．
(3)当a<0时，原不等式化为(x－a)≥0.
①当②当>a，即a<－时，原不等式的解集为；
③当a＝－时，原不等式的解集为R.
综上所述，当a<－时，不等式的解集为；
当a＝－时，不等式的解集为R；
当－当a＝0时，不等式的解集为{x|x≥0}；
当0当a＝时，不等式的解集为{x|x＝}；
当a>时，不等式的解集为.
题型五 三个二次的关系
（教材）例5-1 已知，且的解集是，求实数的值.
【答案】
【详解】解：因为的解集是，
所以的两根是，因此，，从而.
例5-2 关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－10的解集为(　C　)
A．{x|－22或x<－1} C．{x|x>1或x<－2} D．{x|x<－1或x>1}
解析：因为ax2＋bx＋2>0的解集为{x|－1所以解得
所以bx2－ax－2>0，即x2＋x－2>0，解得x>1或x<－2.
例5-3 已知不等式(1－a)x2－4x＋6>0的解集是{x|－3(1)解不等式2x2＋(2－a)x－a>0；
(2)若不等式ax2＋bx＋3≥0的解集为R，求b的取值范围.
解：(1)由题意知1－a<0，且－3和1是方程(1－a)x2－4x＋6＝0的两根，所以
解得a＝3.
所以不等式2x2＋(2－a)x－a>0，即2x2－x－3>0，解得x<－1或x>.
所以所求不等式的解集为.
(2)ax2＋bx＋3≥0，即3x2＋bx＋3≥0，若此不等式的解集为R，
则一元二次方程3x2＋bx＋3＝0有一个解或无解，
即Δ＝b2－4×3×3≤0，所以－6≤b≤6.
练5-1 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2解：方法一：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|20，即x2－x＋>0，解得x<或x>，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为∪.
方法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2题型六 解高次不等式
（教材）例6-1 求函数的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式和的解集．
解：函数零点为，，1．
函数的定义域被这三个点分成了四部分，每一部分函数值的符号如下表所示．
x
由此可以作出函数图像的示意图，如图所示．
由图可知的解集为；
的解集为．
（教材）例6-2 求函数的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式和的解集.
【答案】函数的零点为，图像见解析，不等式的解集为，的解集为.
【详解】令，得或或.
因此函数的零点为.画出函数图像的示意图，如图所示：

所以不等式的解集为或，的解集为.
（教材）练6-1 求下列函数的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式和的解集：
（1）；
（2）.
【详解】解：（1）令，解得.函数图像示意图如图（1）所示.

所以的解集为.的解集为.
（2）令，解得.函数图像示意图如图（2）所示.
所以的解集为的解集为.
练6-2 求函数f(x)＝(2x＋1)(x－1)(x－3)的零点，并作出函数图象的示意图，写出不等式f(x)>0和f(x)≤0的解集．
解：函数零点依次为－，1，3.
函数的定义域被这三个点分成了四部分，每一部分函数值的符号如下表所示．
x (1，3) (3，＋∞)
f(x) － ＋ － ＋
　　由此可以作出函数图象的示意图如图所示．
由图可知f(x)>0的解集为∪(3，＋∞)，
f(x)≤0的解集为∪[1，3]．
练6-3 不等式(x＋1)(x－2)(x－3)<0的解集为________．
答案：(－∞，－1)∪(2，3)
解析：设f(x)＝(x＋1)(x－2)(x－3)，则该函数的零点为－1，2，3.该函数的定义域被这三个点划分为四个区间，每个区间函数值的符号如下表所示：
x (－∞，－1) (－1，2) (2，3) (3，＋∞)
f(x) － ＋ － ＋
由此作出函数图象的示意图，如图所示．由图可知，不等式(x＋1)(x－2)(x－3)<0的解集为(－∞，－1)∪(2，3)．
题型七 判断零点所在区间
（教材）例7-1 已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：因为，所以，故选：C.
例7-2 函数f(x)＝x3＋x2＋1的零点所在的区间为(　B　)
A．[－3，－2] B．[－2，－1] C．[－1，0] D．[0，1]
解析：因为f(－2)＝(－2)3＋(－2)2＋1＝－3<0，f(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1>0，
所以f(－2)·f(－1)<0.又函数f(x)的图像在区间[－2，－1]上是连续不间断的，
所以函数f(x)在区间[－2，－1]上存在零点，易知A，C，D均不符合题意．
练7-1 函数f(x)＝x3－2x2＋3x－6的零点所在的区间可能是(　AD　)
A． B． C． D．
解析：由于f(0)<0，f(4)>0，f(1)<0，f>0，f<0，所以零点在区间，内．
练7-2 二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的部分对应值如下表：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
f(x) 6 m －4 －6 －6 －4 n 6
不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是(　　)
A．(－3，－1)和(2，4) B．(－3，－1)和(－1，1)
C．(－1，1)和(1，2) D．(－∞，－3)和(4，＋∞)
答案：A
解析：因为f(－3)＝6>0，f(－1)＝－4<0，所以在(－3，－1)内必有根．又f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0，所以在(2，4)内必有根．
题型八 函数零点存在定理的应用
（教材）例8-1 求证：函数至少有一个零点．
证明 因为，，
所以，因此，，即结论成立．
（教材）例8-2 求证：函数只有一个零点，且.
【详解】证明：函数在上为增函数，
又，
有且只有一个零点，且.
（教材）练8-1 求证：方程在上至少有两个实根.
【详解】证明：设，可知其图像是连续曲线.
因为，
所以在内都至少有一个零点.
因此方程在上至少有两个实根.
（教材）练8-2 求证：函数在区间上至少有一个零点.
【详解】函数的定义域为，图像是连接不断的.
因为，所以，
因此函数在区间上至少有一个零点.
题型九　函数f(x)＝g(x)－h(x)的零点问题
例9-1 已知函数f(x)＝|x2－2x|－a，求满足下列条件的a的取值范围．
(1)函数f(x)没有零点；
(2)函数f(x)有两个零点；
(3)函数f(x)有三个零点；
(4)函数f(x)有四个零点．
解：函数y＝|x2－2x|的图象如图所示．
(1)函数f(x)没有零点，即函数y＝a与y＝|x2－2x|的图象没有交点，观察图象可知，此时a<0.
(2)函数f(x)有两个零点，即函数y＝a与y＝|x2－2x|的图象有两个交点，观察图象可知此时a＝0或a>1.
(3)函数f(x)有三个零点，即函数y＝a与y＝|x2－2x|的图象有三个交点，由图象易知a＝1.
(4)函数f(x)有四个零点，即函数y＝a与y＝|x2－2x|的图象有四个交点，由图象易知0练9-1 已知a为常数，则函数f(x)＝|x2－9|－a－2的零点个数可能为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
答案：BCD
解析：令g(x)＝|x2－9|，h(x)＝a＋2，在同一平面直角坐标系内画出两个函数的图象，如图所示．由图可知，当a＋2>9，即a>7时，两函数图象有2个交点，即函数f(x)有2个零点；当a＋2＝9，即a＝7时，两函数图象有3个交点，即函数f(x)有3个零点；当0题型十 函数的零点分布
（教材）例10-1 已知函数有两个零点，在区间上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，求实数a的取值范围．
解：因为函数的图像是开口向上的抛物线，因此满足条件的函数图像的示意图如图（1）（2）所示．
（1） （2）
不管哪种情况，都可以归结为且，因此
且，解得或．
（教材）例10-2 若函数有三个零点，且，求实数的取值范围.
【答案】
【详解】解：因为是函数的零点，
所以，所以，所以.
又因为是函数的零点且，
所以，即，解得.
因此，实数的取值范围为.
（教材）例10-3已知关于x的方程有两个不相等的正实数根，求实数m的取值组成的集合．
【答案】
【详解】因为关于的方程有两个不相等的正实数根，
即，且，
，且，
解得，
所以实数m的取值组成的集合为.
（教材）例10-4 已知函数有一个零点在区间内，求实数的取值范围.
【答案】
【详解】解：①当，即时，，
解得，舍去，
②当，即时，
a.当方程有两个相等实数根时，
有无解.
b.当有两个零点时，需满足，解得.
c.当时，，由，解得，舍去.
d.当时，，由，
解得，舍去.因此实数的取值范围是.
（教材）例10-5 如果关于的方程的两根分别在区间和内，求实数的取值范围.
【答案】
【详解】设，因为方程的两根分别在区间和内，
所以，即，解得或，
因此的取值范围是.
练10-1函数f(x)＝2kx2－2x－3k－2的两零点一个小于1，一个大于1，求实数k的取值范围．
解：由题意知k≠0，当k>0时，需f(1)<0，解得k>－4，故k>0；
当k<0时，需f(1)>0，解得k<－4.
综上，k的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞).
练10-2 若函数f(x)＝kx2－(2k＋1)x－3在(－1，1)和(1，3)内各有一个零点，求实数k的取值范围．
解：∵函数f(x)＝kx2－(2k＋1)x－3的图像是连续曲线，
∴由题意可知f(－1)f(1)<0且f(1)f(3)<0，
即
即
解得k<－4或k>2.
故所求的实数k的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞).　　
练10-3 已知二次函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1.
(1)若函数f(x)的一个零点在区间(－1，0)内，另一个零点在区间(1，2)内，求实数m的取值范围；
(2)若函数f(x)的两个零点均在区间(0，1)内，求实数m的取值范围．
解： (1)依题意，得函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1的图象与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，作出图象如图所示．
由图象，得即 所以－即实数m的取值范围是.
(2)根据函数图象与x轴的两个交点均在区间(0，1)内，作出图象如图所示．
由图象，得 即所以－即实数m的取值范围是.
练10-4 已知二次函数f(x)＝x2－2ax＋4.
(1)若函数f(x)的零点均大于1，求实数a的取值范围；
(2)若函数f(x)的一个零点大于1，一个零点小于1，求实数a的取值范围；
(3)若函数f(x)的一个零点在(0，1)内，另一个零点在(6，8)内，求实数a的取值范围．
解：(1)由二次函数的性质，结合二次函数的图象，得解得2≤a＜.
所以实数a的取值范围是.
(2)由二次函数的性质，结合二次函数的图象，
可得f(1)＝5－2a<0，解得a>.
所以实数a的取值范围是.
(3)由二次函数的性质，结合二次函数的图象，可得解得所以实数a的取值范围是.
题型十一 恒成立问题
（教材）例11-1已知，且对任意实数均成立，求实数取值的集合.
【答案】
【详解】解：时，不合题意，
时，应有，即，
解得，所以实数取值的集合为.
（教材）例11-2当是什么实数时，函数没有零点？
【答案】或
【详解】解：①当时，令，得，有零点（舍去）.
②当时，因为函数无零点，则对应方程无解.
令，得，所以，解得或.
因此当或时，函数没有零点.
（教材）例11-3 设函数，已知恒成立，求自然数的值.
【答案】或或
【详解】解：因为，
所以对任意实数恒成立，即的解集为，即的解集为.
①当时，不等式可化为，不符合题意；
②当时，由题意知
即，解得.
又是自然数，故或或.
例11-4设函数f(x)＝ax2－ax－1.
(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求a的取值范围；
(2)对于x∈[1，3]，f(x)<－a＋5恒成立，求a的取值范围．
解： (1)当a＝0时，显然，－1<0恒成立；
当a≠0时，则有解得－4∴a的取值范围为－4(2)方法一：要使f(x)<－a＋5恒成立，就要使a(x－)2＋a－6<0，x∈[1，3]恒成立．
令g(x)＝a＋a－6，x∈[1，3].
当a>0时，g(x)在[1，3]上是增函数，∴g(x)max＝g(3)＝7a－6.
∴7a－6<0，解得a<.∴0当a＝0时，－6<0恒成立．
当a<0时，g(x)在[1，3]上是减函数，∴g(x)max＝g(1)＝a－6<0，解得a<6，∴a<0.
综上所述，a的取值范围为.
方法二：f(x)<－a＋5恒成立，即a(x2－x＋1)－6<0恒成立．
∵x2－x＋1＝＋>0，∴a<.设g(x)＝，
当x∈[1，3]时，1≤x2－x＋1≤7，∴≤g(x)≤6，∴a∴a的取值范围为.
练11-1已知不等式mx2－mx－1<0.
(1)若x∈[1，3]时不等式恒成立，求实数m的取值范围；
(2)若满足|m|≤2的一切m的值能使不等式恒成立，求实数x的取值范围．
解：(1)令f(x)＝mx2－mx－1，
①当m＝0时，f(x)＝－1<0显然恒成立；
②当m>0时，若对于x∈[1，3]不等式恒成立，只需即可，
∴
解得m<，∴0③当m<0时，函数f(x)的图像开口向下，对称轴为直线x＝，若x∈[1，3]时不等式恒成立，结合函数图像知只需f(1)<0即可，解得m∈R，∴m<0符合题意．
综上所述，实数m的取值范围是.
(2)令g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，若对满足|m|≤2的一切m的值不等式恒成立，
则只需即解得∴实数x的取值范围是.
题型十二 二分法求零点的近似值
（教材）例12-1证明函数有零点，并指出用二分法求零点的近似值（精确度小于0.1）时，至少需要进行多少次函数值的计算.
【答案】3次，理由见解析
【详解】因为，
所以，所以函数在区间上有零点.
至少需要进行3次函数值的计算，理由如下：
取区间的中点，
且，所以.
取区间的中点，
且，所以.
取区间的中点，
且，所以.
因为，
所以区间的中点即为零点的近似值，即，所以至少需进行3次函数值的计算.
f(1)＝－2 f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984 f(1.375)＝－0.260
f(1.437 5)＝0.162 f(1.406 25)＝－0.054
例12-2 f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确到0.1)为 1.4．
解析：∵f(1.437 5)＝0.162，f(1.406 25)＝－0.054，∴f(1.437 5)f(1.406 25)<0，
即方程有一个近似解在(1.406 25，1.437 5)内．又(1.406 25，1.437 5)内的所有值精确到0.1都为1.4，所以1.4就是所求方程精确到0.1的近似根．
例12-3 在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为(　C　)
A．0.68 B．0.72
C．0.7 D．0.6
解析：已知f(0.64)<0，f(0.72)>0，则函数f(x)的零点的初始区间为(0.64，0.72)，又0.68＝(0.64＋0.72)÷2，且f(0.68)<0，所以零点在区间(0.68，0.72)上，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7，因此0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值．
练12-1 用二分法求函数y＝f(x)在区间[2，3]上的零点的近似值，验证f(2)f(3)<0，取区间[2，3]的中点x1＝＝2.5，计算得f(2.5)f(3)>0，此时零点x0所在的区间是________．
答案：(2，2.5)
练12-2 用二分法求函数f(x)在区间[a，b]上的零点时，需要的条件是(　　)
①f(x)在区间[a，b]上是连续不断的；②f(a)f(b)<0；③f(a)f(b)>0；④f(a)f(b)≥0.
A．①② B．①③
C．①④ D．②
答案：A
解析：由二分法的定义知①②正确．

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