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2025-2026学年湖北省部分重点中学高一（上）9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列关系中正确的个数是( )
① 2 ∈ 2； ② 3 ∈ ； ③0 ∈
； ④ ∈ ．
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
2.已知集合 = {0,1,2,3,4,5}， = {1,2,4}，则 =( )
A. {1,2,4} B. {0,1,2,3,4,5} C. {3,5} D. {0,3,5}
3.已知集合 = { | 1 < < 2}， = { |0 < < 1}，则( )
A. > B. C. D. =
4.已知集合 = {( , )| = 2 1}， = {( , )| = 2}，则 ∩ =( )
A. ( 1,1) B. { 1} C. { 1,1} D. {( 1,1)}
5.命题“ ∈ ，使得 2 + 3 + 2 < 0 的否定是( )
A. ∈ ，均有 2 + 3 + 2 ≥ 0 B. ∈ ，均有 2 + 3 + 2 < 0
C. ∈ ，使得 2 + 3 + 2 ≥ 0 D. ∈ ，使得 2 + 3 + 2 ≤ 0
6.若不等式 2 + + 1 < 0 的解集为空集，则 的取值范围是( )
A. 2 ≤ ≤ 2 B. ≤ 2 或 ≥ 2 C. 2 < < 2 D. < 2 或 > 2
7 1 1.已知 、 都是实数，那么“ < < 0”是“ > ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8.已知关于 的不等式 2 + 1 > 0 ( ∞, 2的解集为 ) ∪ ( , + ∞)
3
，其中 > 0，则 + 的最小值为( )
A. 4 2 B. 4 C. 2 2 D. 2
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知命题 ： ∈ ， 3 4 = 0，命题 ：所有能被 4 整除的数都是偶数，则( )
A. 是存在量词命题，是真命题 B. 是存在量词命题，是假命题
C. 是全称量词命题，是真命题 D. 是全称量词命题，是假命题
10.已知 1 ≤ ≤ 2，3 ≤ ≤ 5，则( )
A. 4 ≤ + 2 ≤ 11 B. 1 ≤ 2 ≤ 3 C. 3 ≤ ≤ 6 D. 1 25 ≤ ≤ 3
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11.下列命题为真命题的是( )
A.若 > 1 1，则函数 = + 1+ 1 的最小值为 3
B.不等式 2 + 3 + 10 < 0 的解集为{ | 2 < < 5}
C.不等式 2 + + 1 > 0 的解集为
D.函数 = 1 2的最大值为 1
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.若集合 = { |( + 1) 2 + 1 = 0}的所有子集个数是 2，则 的值是______．
13.学校举办秋季运动会时，高一(2)班共有 24 名同学参加比赛，有 12 人参加游泳比赛，有 9 人参加田赛，
有 13 人参加径赛，同时参加游泳比赛和田赛的有 3 人，同时参加游泳比赛和径赛的有 3 人，没有人同时参
加三项比赛，则同时参加田赛和径赛的有 人．
14.若命题“ ∈ ，使得 2 ( 1) 1 > 0”是假命题，则实数 的取值集合是______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知全集 = {1,2,3,4,5,6,7,8}，集合 = {2,3,6}，集合 = {1,2,3,5}.求：
(1)求 ∪ ；
(2)求 ∩ ；
(3)求 ∪ ．
16.(本小题 15 分)
已知 = { | 2 ≤ ≤ 3}， = { | 2 < < 3 }，全集 = ．
(1)若 = 2，求 ∪ ， ∩ ( )；
(2)若 ∪ = ，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
已知 ：( + 4)( 1) ≤ 0， ： 2 (2 + 1) + 2 + ≤ 0．
(1)若 = 1， ， 有且只有一个为真，求实数 的取值范围；
(2)若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要
素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5 通信等
新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智
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能企业生产制造人形机器人，每月的成本 (单位：万元)由两部分构成：①固定成本：1000 万元；②材料成
2
本：(10 + 10 )万元， 为每月生产人形机器人的个数．
(1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？
(2) 若每个人形机器人的售价为(23 + 5 )万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如
何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于 400 万元？附：利润=售价×销量 成本．
19.(本小题 17 分)
2
(1) = + +1求函数 ( < 0)的最大值；
(2) ( +5)( +2)求函数 = +1 ( > 1)的最小值；
(3) 1 9已知 > 0， > 0 且 + = 1，求使不等式 + ≥ 恒成立的实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 1 ± 2 3或 3
13.4
14.{ 1}
15.全集 = {1,2,3,4,5,6,7,8}，集合 = {2,3,6}，集合 = {1,2,3,5}，
(1) ∪ = {1,2,3,5,6}；
(2) ∩ = {2,3}；
(3) = {1,4,5,7,8}，故 ∪ = {1,2,3,4,5,7,8}．
16.(1)当 = 2 时， = { |0 < < 6}，
由 = { | 2 ≤ ≤ 3}，
所以 ∪ = { | 2 ≤ < 6}，
又因为 = { | ≤ 0 或 ≥ 6}，
所以 ∩ ( ) = { | 2 ≤ ≤ 0}．
(2)由 ∪ = 可得 ，
2 < 3
所以当 ≠ 时，有 2 ≥ 2，解得 0 ≤ ≤；
3 ≤ 3
当 = 时，有 2 ≥ 3 ，解得 ≤ 1；
综上，所以 的取值范围为( ∞, 1] ∪ [0,1]．
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17.(1)由( + 4)( 1) ≤ 0，得 4 ≤ ≤ 1；
当 = 1 时，由 2 3 + 2 ≤ 0，得 1 ≤ ≤ 2．
若 ， 有且只有一个为真命题，
当 假 < 4 > 1真时， 1 ≤ ≤ 2或 1 ≤ ≤ 2，解得 1 < ≤ 2，
4 ≤ ≤ 1 4 ≤ ≤ 1
当 真 假时， < 1 或 > 2 ，得 4 ≤ < 1；
的取值范围为{ | 4 ≤ < 1 或 1 < ≤ 2}．
(2)由 2 (2 + 1) + 2 + ≤ 0，得 ≤ ≤ + 1．
因为 是 的充分不必要条件，则 ， 推不出 ，
≥ 4
则 + 1 ≤ 1，且等号不同时成立，解得 4 ≤ ≤ 0，
的取值范围为{ | 4 ≤ ≤ 0}．
18.解：(1)设平均每个人形机器人的成本为 万元，
2
1000+10 +
根据题意有 = 10 = 1000 +
1000
10 + 10 ≥ 2 10 + 10 = 30，
1000
当且仅当 = 10，即 = 100 时取等号，
所以该企业每月的产量为 100 个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为 30 万元；
2 2
(2) 设月利润为 万元，由题意可得 = (23 + 5 ) (100 + 10 +

10 ) =

10 + 13 1000 ≥ 400，
解得 ≥ 70．
所以该企业每月生产不小于 70 个人形机器人，才能确保每月的利润不低于 400 万元．
19.解：(1)由 < 0，得 > 0，
2+ +1 1 1 1
因此 = = + + 1 = ( ) + 1 ≤ 2 ( ) ( ) + 1 = 1，
= 1当且仅当 ，即 = 1 时取等号，所以原函数的最大值为 1．
(2)由 > 1，得 + 1 > 0，
= ( +5)( +2) = [( +1)+4][( +1)+1] ( +1)
2+5( +1)+4
因此 +1 +1 = +1 = + 1 +
4
+1+ 5 ≥ 2 4 + 5 = 9，
4
当且仅当 + 1 = +1，即 = 1 时取等号，所以原函数的最小值为 9．
(3) 1 9由 + = 1，
+ = ( + )( 1 9 9 9 则 + ) = 10 + + ≥ 10 + 2 = 16．
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+ = 16 = 4
当且仅当 9 = ，即 = 12时取到最小值 16．
若 + ≥ 恒成立，则 的范围为{ | ≤ 16}．
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