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西南大学附中高 2026届高三上 10月定时检测
数学试题
(满分:150分；考试时间:120分钟)
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上。
2.答选择题时,必须使用 2 B铅笔填涂；答非选择题时,必须使用 0.5毫米的黑色签
字笔书写；
必须在题号对应的答题区域内作答,超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整。
3.考试结束后,将答题卡交回 (试题卷学生保存,以备评讲)。
一、单项选择题:本大题共 8小题,每小题 5分,共 40分.在每小题给出的四个选项中,
只 有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合A = {—1,0,1} ,集合 B = {x I x2—x— 6 = 0} ,则A ∪ B = ( )。
A. {—1,0,1,2} B. {—2,—1,0,1,3} C. {—3,—1,0,1,2} D. {—1,0,1,2}
2.若复数 则复数 ←z 的虚部为( )。
A. — B. i C. D. — i
3. 已知向量 = (—2,λ), -b→ = (1,2) , —b-→) ⊥ -b→ ,则实数 λ = ( )。
A. -4 B. 3 C. 5 D
4.已知平面上四个点A,B,C,D,其中任意三个点不共线.若 - -→ . - -→= --C→ . - -→ ,则直线
BD一定经过三角形 ABC 的( )。
A.垂心 B. 内心 C.重心 D.外心
5.记 Sn为等比数列 {an} 的前 n项和.若 a4— a2 = 24, a5— a3 = 72 ,则 )。
A. 2n — 1
6. 已知 α为锐角,且 则 。
A. B.
7.定义在 R上的奇函数 y = f(x) ,满足 f(2) = 0 ,且当 x > 0 时,不等式 f(x) < xf ′(x)
恒成立,则函数 g(x) = xf(x) lg|x 1| 的零点的个数为 ( )。
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8. 已知数列 {an}满足 a1 = 1, a2 = 2, an+1 = an + 2an 1(n ≥ 2) ,数列 {an} 的前 n项
和为 Sn ,则 S2025 = ( )。
A. 22025 1 B. 22025 2 C. 3 21013 5 D.
二、多选题:本大题共 3 小题,每小题 6分,共 18分.在每小题给出的选项中,有多项符
合 题目要求.全部选对的得 6分,部分选对得部分分,有选错的得 0分.
9. 已知函数 f(x) = Asin(ωx + φ)(A > 0, ω > 0,0 < φ < π)在一个周期内的图象如
图所示,其中图象最高点、最低点的横坐标分别为 图象在 y轴上的截距为
√3 . 则下列结论正确的是 ( )。
A. f(x) 的最小正周期为 2π B. f(x) 的最大值为 2
C. f(x)在区间 上单调递增 为偶函数
10.若正数 a, b ,满足 a + b = 1 ,则( )。
11.在平面内,若有 | | = 1, | | = 2, cos , = ) ( ) = 0 ,则 ( )。
A. 在 上的投影向量
B.√3 1 ≤ | | ≤ √3
C. 的最小值
则 x + y 的取值范围
三、填空题:本大题共 3小题,每小题 5分,共 15分。
12.若 Sn 为等差数列 {an} 的前 n项和, S8 = 28, S12 = 66 ,则 a5 与 a7 的等比中项为
_____.
13. 已知函数 f(x) = log (kx22 + kx + 1) ,若 f(x) 的值域为 R ,则实数 k 的取值范围是
_____.
14. 已知函数 f(x) = (x — 2b)ex, g(x) = ax — 2ab ,若 f(x) ≥ g(x)恒成立,则 的最大
值为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题,共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数 点 在曲线 y = f(x)上,且
a1 = 1 .
(1)求证:数列 为等差数列;
设 记 Sn = b1 + b2 + …+ bn ,求 Sn .
16.某“双一流” 大学的专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据,分
为专业一等奖学金 (资金 3000元六 专业二等奖学金 (奖金 1500元)和专业三等奖
学金 (奖金 600元),且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次. 图 1是该校
2025年 500名学生每周课外平均学习时间的频率分布直方图, 图 2是这 500名学
生在 2025年每周课外平均学习时间段专业奖学金的频率柱状图.
图 1
图 2
(1)求这 500名学生中获得专业三等奖学金的人数.
(2)若将每周课外平均学习时间超过 35 h 的学生称为“努力型”学生,否则称为“非
努力型”学生,画出 2 × 2列联表,依据小概率值 α = 0.001 的独立性检验,能否认为
该校学.生获得专业一、二等奖学金与努力有关
( 3 )若以频率作为概率,从该校任选 1名学生,记该学生 2025年获得的专业奖学金的
金额为随机变量 X ,求随机变量 X 的分布列和期望.
附表:
α 0.050 0.010 0.005 0.001
xα 3.841 6.635 7.879 10.828
观测值计算公式: χ2 =
17. 已知点 都在双曲线 上.
(1)求双曲线 E 的方程;
(2)过双曲线右焦点 F 的直线与双曲线相交于 C, D两点,点 Q在直线 上,直线
DQ, FQ, CQ 的斜率分别为 k1, k2, k3,证明: k1, k2, k3 成等差数列.
18.如图所示,在四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中,菱形 ABCD与菱形 DCC1D1 的边长均为
2 ,且平面 ABCD ⊥平面 DCC1D1, ∠D1C1C = ∠DCB = 60 , ED1 = EC1, F为棱 CC1 上的
动点
(1)若平面 A1EF ∩平面 ABB1A1 = l ,求证: EF//l；
(2)在棱 CC1 上是否存在点 F ,使得平面 A1EF与平面 ABCD所成的角的正切值为
若存在,请找出点 F 的位置;若不存在,请说明理由.
19.设函数
(1) 当 a = 1时,求 f(x) 的极值;
当 时,试比较 与 的大小,并说明理由;
证明
西南大学附中 2026 届高三 10 月月考
数学答案
选择题：BADADBDABCABDACD
填空题： 13.[4,+)14.
解答题：

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