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北京市清华大学附属中学 2025-2026 学年高一上学期
数学统练一
一、单选题
1．已知集合 A 1,0,1,3 ， B x 1 x 4 ，则 A B （ ）
A． 1,0,1,3, 4 B． 0,1,3 C． 1,3 D． 1,4
2．若 a、b、 c R， a b，则下列不等式中成立的是（ ）
1 1
A． B． a2 b2
a b
a b
C． 2 2 D．a c b cc 1 c 1
3．命题“ m R，都有m2 2m 3 0 ”的否定是（ ）
A． m R，都有m2 2m 3≤0 B． m R，使得m2 2m 3≤0
C． m R，使得m2 2m 3 0 D． m R，使得m2 2m 3 0
4．已知全集U x 2 x 5 ，集合 A满足 U A x 0 x 4 ，则（ ）
A． 1 A B．0 A
C． 2 A D． 4 A
5．设 a R ，则“ a 1”是“ a2 a ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6 2 2．已知集合M x∣x x 2 0 ,N x∣x a ，若 N M ，则实数 a的取值范围为（ ）
A． 1,2 B． 1, C． 2, D． 4,
7 A x | x 3m,m N* B x | x 3m 1,m N* C x | x 3m 2,m N*．已知集合 ， ， ，
若 a A,b B,c C，则下列结论中不可能成立的是（ ）
A．2025 a b c B． 2025 abc
C． 2025 a bc D．2025 a b c
8．据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量 y（单位：百件）与销售价格 x（单位：
元/件）满足关系式 y
20
2，其中 20 x 50 .已知该商品的成本为10元/件，则该超市
x 20
每月销售该商品所获得利润的最小值为（ ）
试卷第 1页，共 3页
A．800元 B．8000元 C．900元 D．9000元
9．设集合 A 1,2,3 ，B 0,1,2,4 ，定义集合 S (a,b) | a A,b B,a b ab ，则集合S
中元素的个数是（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
10 M x | x 2 2mx 3m 2．已知集合 0 ,N x|x 2 mx 2m 2 0 ，定义b a叫做集合
x | a x b 的长度，若集合M N的长度为 2，则M N 的长度为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．10
二、填空题
11．已知集合 A={2，3，6}，则集合 A的真子集的个数是 ．
1
12．能说明命题“ x R且 x 0， x 2”是假命题的 x的值可以是 .（写出一个即
x
可）
13．已知集合 P 1,1 a,b ,S 1,1 2a,b 2 a,b R ，若 P S，则b .
14．把边长为 3的正方形 A1A2A3A4的边界及其内部的点组成的集合记为S，则
T P S∣Ai P 1, i 1,2,3,4 表示的区域面积是 .
15．设 A，B为两个非空有限集合，定义 J
A B
A,B 1 其中 SA B 表示集合 S的元素个数.
某学校甲、乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这 6门高中学
业水平等级性考试科目中自主选择 3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别
为 S1，S2，S3，S4 .已知S1 {物理，化学，生物}，S2 {地理，物理，化学}，S3 {思想政
治，历史，地理}，给出下列四个结论：
①若 J S2 ,S4 1，则 S4 {思想政治，历史，生物}；
②若 J S1,S2 J S1,S4 ，则 S4 {地理，物理，化学}；
③若 S4 {思想政治，物理，生物}，则 J S1,S4 J S2 ,S4 J S3 ,S4 ；
④若 J S1,S4 J S2 ,S4 J S3 ,S4 ，则 S4 {思想政治，地理，化学}.
其中所有正确结论的序号是 .
试卷第 2页，共 3页
三、解答题
16．解关于 x的不等式
x 3
(1) 2；
5 x
(2) x2 2ax 1 0 .
17．已知集合 A x R∣2x2 3x 2 0 ，集合 B x R∣x2 2 a 1 x a2 5 0 .
(1) 2 2若集合B x1, x2 ，且满足 x1 x2 24，求实数 a的值；
(2)若 A B B，求实数 a的取值范围.
18 2．已知关于 x的一元二次不等式 2x a 2 x a 0的解集为 A， B {x∣ b x b}
(1)求集合 A；
(2)若 A中有且仅有两个整数，求 a的取值范围；
(3)在问题①和问题②中任选一个作答.（直接写答案）
问题①： b 0，都有 A B ，求 a的取值范围；
问题②： a R，都有 A B ，求b的取值范围.
（注：如果选择多个问题解答，按第一个解答给分）
19．已知集合 A为非空数集，定义： S x∣x a b,a,b A ,T {x x a b|,a,b A}（实
数 a,b可以相同）.
(1)若集合 A 2,5 ，直接写出集合 S T ；
(2)若集合 A x1, x2 , x3, x4 , x1 x2 x3 x4，且T A，求证： x1 x4 x2 x3；
(3)若集合 A x 0 x 2025, x N ,S T ，记 A 为集合 A中的元素个数，求 A 的最大
值.
试卷第 3页，共 3页
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B D A D BC B C C
11．7
12．-1（任意负数均可）
1
13． / 0.5
2
14．9 π
15．①③
x 3 2 x 3 2 3x 13 3x 1316．（1）解：由不等式 ，可得 0，即 0，
5 x 5 x 5 x x 5
13
x 5 x 3 13解得 ，即不等式 2的解集为[ ,5) .
3 5 x 3
（2）解：由不等式 x2 2ax 1 0，
可得 ( 2a)2 4 1 1 4a2 4 4(a 1)(a 1) ，
当 0时，可得 4(a 1)(a 1) 0，解得 1 a 1时，不等式 x2 2ax 1 0的解集为空集；
当 0时，可得 4(a 1)(a 1) 0，解得 a 1或a 1时，
x2 2ax 1 0 x 2a 4(a
2 1)
方程 的解为 a a 2 1，
2
所以不等式 x2 2ax 1 0，解得 a a2 1 x a a2 1，
2 2
所以不等式 x2 2ax 1 0的解集为 a a 1,a a 1 ，
综上可得，当 1 a 1时，不等式的解集为 ；
当 a 1或 a 1时，不等式的解集为 a a2 1,a a2 1 .
17 2．（1）由题意得：方程 x 2 a 1 x a2 5 0有两个不相等的实数根，
2 2
所以 4 a 1 4 a 5 8 a 3 0，所以a 3，
2
所以 x1 x2 2 a 1 , x1x2 a 5 .
2 2 2 2
由 x1 x2 24，得 x1 x2 2x1x2 2 a 1 2 a 2 5 2a 2 8a 14 24 ，
即 a 5 a 1 0，解得a 5（舍去）或 a 1 .
答案第 1页，共 4页
当 a 1 2时， B x R | x 4x 4 0 2 2 2, 2 2 2 ， x2 x21 2 24，符合题意.
因此，实数 a的值为 1.
（2 2）集合 A x R∣2x 3x 2 0 1 , 2 .
2
x2对于方程 2 a 1 x a2 5 0，
当 4 a 1 2 4 a2 5 8 a 3 0，即 a 3时，方程无实数根，
此时集合 B ， A B B .
当 0，即 a 3 2时，方程有两个相等的实数根， B x R | x 4x 4 0 2 ，
此时 A B B，满足题意.
当 0，即 a 3时，方程有两个不相等的实数根，若 A B B，则 A B，
1
2 2 a 1 7 2 a
所以 4
1
，即 ，显然无解，不合题意.
2 a2 5 a2 4
2
综上所述，实数 a的取值范围是 a | a 3 .
18．（1 2）由不等式 2x a 2 x a 0，可得 (x 1)(2x a) 0
令 (x 1)(2x a) 0
a
，解得 x 1或 x ，
2
a
当 1时，即 a 2时，不等式即为 2(x 1)2 0，解得 x 1，此时 A 1 ；
2
a 1 1 x a a 2 A
a
当 时，即 时，解得 ，此时 x |1 x 2
；
2 2
a a
当 1
a
时，即 a 2时，解得 x 1 A ，此时 x | x 1

2 2
，
2
a
综上可得：当 a 2时，集合 A 1 ； a 2 时，集合 A x |1 x ；当 a 2时，集合
2
A a x | x 1

.
2
a
（2）由（1）知，当 a 2时，集合 A x |1 x ，
2
a
要使得集合 A中有且仅有两个整数，则满足2 3，解得 4 a 6；
2
当 a 2时，集合 A x |
a
x 1 ，
2
a
要使得集合 A中有且仅有两个整数，则满足 1 0，解得 2 a≤ 0，
2
答案第 2页，共 4页
综上可得，实数 a的取值范围 ( 2,0] [4,6).
（3）若选择问题①：由集合 B x | b x b ，
对于 b 0，都有 A B ，则0 A，
2
即0满足不等式 2x a 2 x a 0，可得 2 02 a 2 0 a 0，
解得 a 0，即实数 a的取值范围为 , 0 .
若选择问题②：由集合 B x | b x b ，若 A B ，则 B ，满足b 0，
由（1）可知，1 A，
因为 A B ，则1 B，
所以 b 1 b b 1.
所以实数b的取值范围为 1, .
19．（1）因为 S x∣x a b,a,b A ,T {x x a b|,a,b A}， A 2,5 ，
所以 S 4,7,10 ,T 0,3 ；
（2）由于集合 A x1, x2 , x3, x4 ， x1 x2 x3 x4 ，
则 T集合的元素在 0， x2 x1， x3 x1， x4 x1， x3 x2， x4 x2， x4 x3中，
且0 x2 x1 x3 x1 x4 x1 ， x4 x3 x4 x2 x4 x1 ，
而 A T，故 A中最大元素 x4必在T 中，而 x4 x1为 7个元素中的最大者，
故 x4 x4 x1 即 x1 0，故 A 0, x2 , x3, x4 ，
故T 中的 4个元素为 0， x2， x3， x4，
且 x3 x2， x4 x2， x4 x3与 x2， x3， x4重复，
而0 x3 x2 x3，故 x3 x2 x2即 x3 2x2 ，
而0 x4 x3 x4，故0 x4 x3 x4，故 x4 x3 x2 或 x4 x3 x3，
若 x4 2x3 4x2，则 A 0, x2 , 2x2 , 4x2 ， 4x2 x2 3x2 T，与题设矛盾；
故 x4 x3 x2 即 x4 x1 x3 x2 .
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（3）设 A a1,a2 , ak 满足题意，其中a1 a2 ak ，
则 2a1 a1 a2 a1 a3 a1 ak a2 ak a3 ak ak 1 ak 2ak，
∴ S 2k 1， a1 a1 a2 a1 a3 a1 ak a1，∴ T k，
∵ S T ，由容斥原理 S T S T 3k 1，
S T 中最小的元素为 0，最大的元素为 2ak ， S T 2ak 1，
∴3k 1 2ak 1 2 2025 1 k 1,k N
2
，即3k 1 4051，∴ k 1350 ．
3
实际上当 A 676,677,678, 2025 时满足题意，
证明如下：设 A m,m 1,m 2, , 2025 ，m N，
则 S 2m, 2m 1,2m 2, , 4050 ，T 0,1,2, , 2025 m ，
依题意有 2025 m 2m，即m 675，
故 m的最小值为 676，于是当m = 676时，A中元素最多，
即 A 676,677,678, 2025 时满足题意，
综上所述，集合 A中元素的个数的最大值是 1350．
答案第 4页，共 4页

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