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盐城景山中学初三数学试卷（2025.09.21）
一、单选题（共8小题，每小题3分）
1．下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法正确的个数有（ ）
①在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等；②三角形的外心到三角形的三边距离相等．③圆是轴对称图形，任何一条过圆心的直线都是它的对称轴；④过三点可以画一个圆；
A．1 B．2 C．3 D．4
3．小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ）
A．① B．② C．③ D．均不可能
4．已知的直径为点P到圆心O的距离为，则点P和的位置关系为（ ）
A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．不能确定
5．已知，如图，在⊙O中，OA⊥OB，∠A=35°，则弧CD的度数为（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
6．某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（ ）
A． B． C． D．
7．秋意盎然，亭湖绿化工程正在如火如荼地进行着，某工程队计划将一块长64m，宽40m的矩形场地建设成绿化广场如图，广场内部修建三条宽相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求小路的宽，设小路的宽为x m，则可列方程（ ）
A． B．
C． D．
8．已知是实数，且满足（x2+2x）2+5（x2+2x）-6=0，则x2+2x的值为（ ）
A．1 B．1或 C．-1或6 D．6
二、填空题（共8小题，每小题3分）
9．的最大弦长为，若圆心到直线的距离为，则直线与 ．
10．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请 队参赛．
11．如图，在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（0，6）、（8，6）、（0，﹣2），则△ABC外接圆的圆心坐标为 ．
12．若m，n是方程x2＋3x﹣2＝0的根，则2m2＋8m＋2n﹣5的值是 ．
13．若圆的一条弦长为8cm，圆心到该弦的距离为4cm，则该弦所对的圆周角是 .
14．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，点M在线段AB（包括端点A，B）上移动，则OM的取值范围是 ．
15．在中，，AC=6，BC=8，以C为圆心，r为半径作．若与边只有一个交点，则r的取值范围是
16．如图，在中，，，，是上一动点，连接，过点作于，过点作交于点，则的最大值是 ．
三、解答题（共11题，共102分）
17．（本题满分10分）解下列方程：(1) (2)
18．（本题满分10分）已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
(1)求实数m的取值范围；
(2)若一元二次方程的两个根和满足，求实数m的值．
19．（本题满分6分）如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦交小圆于C，D两点．求证：．
20．（本题满分6分）手机完成了核心技术领域从到的跃迁，让无数国人为之自豪并被赞誉为“争气机”．手机背面有一条圆弧，象征着以山河之美致敬奔腾不息的力量．圆弧对应的弦长，弓形高长，求半径的长．
（本题满分8分）如图，四边形内接于，点E在的延长线上，垂直平分，连接．
(1)求证：．
(2)连接 ，若，，，求的长．
22．（本题满分8分）如图，是的直径，是弦，D是的中点，与交于点E．F是延长线上的一点，且．
(1)求证：为的切线；
(2)连接．若CF=4,BF=2，求BD的长．
23．（本题满分9分）如图，的圆心在格点上，点、、均在圆上，是和网格线的交点．
(1)在图1中，在格点上找一点，使得为的切线（画出一个点即可）
(2)在图2中，在优弧上画点，使得
(3)在图3中，在优弧上画点，使得
24．（本题满分10分）电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个．
(1)求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率．
(2)为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？
25．（本题满分10分）如图，在▲ABC中，是上一点，经过点、、，交于点，过点作，交于点，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若是中点，证明是的直径
（本题满分11分）
[问题提出]
（1）如图1，已知线段，点C是一个动点，且点C到点B的距离为1，则线段长度的最大值是______．
[问题探究]
如图2，以正方形的边为直径作半圆O，E为半圆O上一动点，若正方形的边长为，求长度的最大值．
[构建联系]
（3）如图3，某植物园有一块三角形花地，经测量，米，米，，下方有一块空地（空地足够大），为了增加绿化面积，管理员计划在下方找一点P，将该花地扩建为四边形，扩建后沿修一条小路，以便游客观赏．考虑植物园的整体布局，扩建部分需满足．为容纳更多游客，要求小路的长度尽可能长，问修建的观赏小路的长度是否存在最大值？若存在，求出的最大长度；若不存在，请说明理由．
27．（本题满分14分）根据以下素材，完成探索任务．
生活中的最大视角问题
素材1 如图1，直线，相交于点，A，B为直线上两点且在同侧，C为直线上一动点，当▲ABC的外接圆与动点C所在直线相切时，最大． 如图2，在上任取异于点C的一点D，连接，交圆于点E，连接，可证得．
素材2 如图3，山顶有一座古塔，已知塔的高度为，距离山脚的观测点E处（即）看古塔的视角最大．
素材3 如图，若动点C在半径为r的上，经过点A、点B的（半径为R）与点C所在圆外切时，最大．（参考：两圆外切时一个圆在另一个圆的外面，且有唯一公共点，此时两圆心与切点三点共线）
素材4 如图，摩天轮的半径为（它的最低点距地面的高度忽略不计），与摩天轮在同一竖直平面内有一长度为的风景带，其中为，点P从最低点A处按逆时针转动到最高点B处．
问题解决
任务一 结合图2，说明．
任务二 结合图3，求山的高度．
任务三 结合图4，写出两个圆外切时，圆心之间的距离_______．（用含R和r的代数式表示）
任务四 结合图5，若从点P处看风景带视角最大，求的度数．

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