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2025-2026学年河北省部分高中高三（上）月考数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 = { 2, 1,0,1,2}，集合 = { 2,1,2}， = { 1, 2,2}，则( ) ∩ =( )
A. { 1} B. { 1, 2} C. { 1,2} D. { 1, 2,2}
2.已知命题 ： ∈ ， 2 + + 1 = 0，命题 ： ， ∈ ， 2 + 2 ≥ 2 ，则( )
A. 和 都是真命题 B.￢ 和 都是真命题
C. 和￢ 都是真命题 D.￢ 和￢ 都是真命题
3.已知 > > 0，则( )
A. > 1 B. >
1
C.
2 > 1 2 D. 2
> 12
4.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练 个单位的数据量所需时间 = 2 (单位：小时)，其中
为常数.在此条件下，训练 5.12 × 1029个单位的数据量所需时间是训练 8 × 109个单位的数据量所需时间的
( )
A. 2 倍 B. 3 倍 C. 4 倍 D. 8 倍
5 ( ) .把函数 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，再把所得图象向左平移6个单位长度，
得到函数 = 的图象，则 ( ) =( )
A. sin( 2

6 ) B. sin( 2 3 ) C. sin(2

6 ) D. sin(2

3 )
6.若函数 ( ) = ( )3的最小值为 1，则 ( )的最大值为( )
A. 2 B. 4 C. 8 D. 27
7.已知函数 ( ) = + 的图象关于点( , )中心对称，且 ( )在(0, 3 )上单调递减，则 =( )
A. 1 B. 2 C. 32 D. 1
1 1
8.设 ∈ ，则“ 3 = 3 ”是“ 3 = 3 ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( ) = ln| |，则( )
A. ( )的定义域为 B. ( )的值域为
C. ( )在( , + ∞)上单调递增 D. ( )的图象关于直线 = 对称
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10.已知 ( )， ( )均为定义域为 的奇函数，且 ( ) + ( + 1) = ，则( )
A. (1) = 0 B. (2025) = 0
C. (2025) = 0 D. ( )的图象关于点(1,0)中心对称
11 1.已知函数 ( ) = + sin , 0是 ( )的一个零点，下列结论正确的是( )
A. ( )是奇函数
B. ( )的最大值为 2
2
C.若 0 > 1
+ +4
，则 0的最小值为 2
D. < 1 +
2+4
若 0 ，则 0的最大值为 2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.若关于 的不等式 2 2 1 < 0 的解集是( 1,1)，则 = ______．
13.甲沿一条东西走向的公路由东向西骑行(公路可看成一条线)，当甲骑行到 点时测得某地标建筑物 在其
北偏西 45°的方向上，再骑行 100 米到达 点时测得 在其北偏西 15°方向上，则此时甲与 的距离
=______米.
114 ( ) = , > 0,.已知函数 + 2, ≤ 0,若 ( ) ≤ ( + )恒成立，则 的最小值为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 2 + 2 2 = 3 = 15， 4 ．
(1)求△ 的面积；
(2)若 = 45128，求△ 的周长．
16.(本小题 15 分)
已知正数 ， 满足 + = 6．
(1)求 的最大值；
(2) 6求 +

的最小值；
(3)求 2 + 2的最小值．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = + ．
(1)当 = 1 时，求曲线 = ( )在点(0, (0))处的切线方程；
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(2)讨论 ( )的单调性；
(3)若 ( ) > 0，求 的取值范围．
18.(本小题 17 分)

已知函数 ( ) = sin(2 + 6 )．
(1)求函数 = | ( )|的单调递增区间；
(2) 若 1, 2, 3 ∈ [ 12 , 0]， ( 1) + ( 2) ≥ ( 3 + )，求 的取值范围；
(3)若 ( )在[ , + 3 ]( ∈ )上的最大值为 ，最小值为 ，求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)

已知函数 ( ) = 2．
(1)求 ( )的极值．
(2)已知函数 ( ) = ( ) + ( 1 ) ．
①若 ( )没有零点，求 的取值范围；
②若 ( )有两个不同的零点 1， 2，证明： 1 + 2 > 2．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1
13.100 2
14.2
15.(1)由余弦定理得 2 + 2 2 = 2 = 3 < 0，所以 < 0，
因为 = 15 15 14 ，所以 = 1 ( )
2
4 = 4， = 6，
= 1 = 3 15所以 △ 2 4 ；
(2) 由正弦定理 = = ， =
45
128，
2 6 256
所以sin2 = = = 45 = 15，
128
= 16 16则 15， = 15 = 4，
2 + 2 = 2 3 = 13．
因为( + )2 = 2 + 2 + 2 = 25，所以 + = 5，
故△ 的周长为 + + = 9．
16.(1)因为 6 = + ≥ 2 ，
解得 ≤ 9，当且仅当 = = 3 时，等号成立，
即 的最大值为 9．
(2)因为 + = 6，
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6 + = + + 所以 = 1 + + ≥ 1 + 2 = 3，
当且仅当 = = 3 时，等号成立，
6+ 即 的最小值为 3．
(3)因为 + = 6，且 ≤ 9
所以 2 + 2 = ( + )2 2 = 36 2 ≥ 36 2 × 9 = 18，
当且仅当 = = 3 时，等号成立，
即 2 + 2的最小值为 18．
17.(1)当 = 1，则 ( ) = + ，得 (0) = 1， ′( ) = + 1，得 ′(0) = 2，
所以切线方程为 1 = 2( 0)，即 = 2 + 1．
故曲线 = ( )在点(0, (0))处的切线方程为 = 2 + 1．
(2)由 ( ) = + ，函数的定义域为 ，得 ′( ) = + 1．
当 ≥ 0 时，由指数函数性质得 > 0，得 ′( ) > 0，所以函数 ( )在 上单调递增．
当 < 0 时，因函数 = 在 上单调递减，所以函数 = 在 上单调递增，
所以 ′( ) = + 1 在 上单调递增．
ln( 1 )
令 ′( ) = 0 ln( )，解得 = = ，
当 ∈ ( ∞, ln( ) )时， ′( ) < 0，当 ∈ (
ln( )
, + ∞)时， ′( ) > 0．
所以 ( )在( ∞, ln( ) ) ln( ) 上单调递减，在[ , + ∞)上单调递增．
综上，当 ≥ 0 时， ( )在 上单调递增；
当 < 0 时， ( ) ( ∞, ln( )在 )
ln( )
上单调递减，在[ , + ∞)上单调递增．
(3)当 = 0 时， ( ) = 1 + ，显然不满足 ( ) > 0；
当 > 0 时， > 1，0 < < 1，所以 ( 1) = 1 < 0，不满足 ( ) > 0；
< 0 (2) ( ) = ( ln( ) ) = 1 ln( ) = 1+ln( )当 时，由 可得 ，
1+ln( ) 1
因为 ( ) > 0 恒成立，所以 ( ) = > 0，所以 1 + ln( ) > 0，解得 < ，
所以 的取值范围为( ∞, 1 )．
18.(1) = ( ) = | ( )| = |sin(2 + 6 )|，
( + 由 2 ) = |sin[2( +

2 ) +

6 ]| = |sin[ + (2 + 6 )]|
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= | sin(2 + 6 )| = |sin(2 +

6 )|，可知 ( )的周期为2，
根据函数 = | |的单调性，

令 ≤ 2 + 6 ≤ 2 + ( ∈ )，解得 12 + 2 ≤ ≤ 6 + 2， ∈ ，
所以 = | ( )|的单调递增区间为[ + , + 12 2 6 2 ] ∈ ；
(2) ∈ [ 当 12 , 0] 2 +
∈ [0, ] 0 ≤ sin(2 + 1时， 6 6 ， 6 ) ≤ 2，
所以 ( 1)
1
， ( 2)的最大值为2，最小值为 0，即 ( 1) + ( 2) ≥ 0，
由 3 + ∈ [

12 + , ]

，可得 2( 3 + ) + 6 ∈ [2 , 6 + 2 ]，
因为 1,

2, 3 ∈ [ 12 , 0]， ( 1) + ( 2) ≥ ( 3 + )，
所以[ ( 1) + ( 2)] ≥ [ ( 3 + )] ，可得 ( 3 + ) ≤ 0，
2 ≥ + 2 ,
结合正弦函数的性质，可知
6 + 2 ≤ 2 ,
解得 2 + ≤ ≤ 12 + ， ∈ ，
所以 的取值范围为[ 2 + ,

12 + ]( ∈ )；
(3)由题意知函数 = 在[2 + 6 , 2( + 3 ) + 6 ]上的最大值为 ，最小值为 ，
2 + 2 令 6 = ，则 = 在[ , + 6 ]上的最大值为 ，最小值为 ．
当 ∈ [ , 2 2 6 )时， + 3 ∈ [ 6 , 2 ), = sin( +
2
3 ) = 3cos( +

3 ) ∈ [
3
2 , 3],
∈ [ , ) + 2 ∈ [ , 5 ), = 1 ∈ ( 1 3当 6 6 时， 3 2 6 2 , 2 ]，
∈ [ 当 6 , 2 )时， +
2
3 ∈ [
5 7
6 , 6 ), = 1 sin( +
2
3 ) ∈ [
1 3
2 , 2 )，
以此类推，当 ∈ [ 5 32 , 6 )时， ∈ [ 2 , 3]，
当 ∈ [ 5 7 1 36 , 6 )时， ∈ [ 2 , 2 ),
当 ∈ [ 7 3 1 36 , 2 )时， ∈ [ 2 , 2 )．
[ 1综上所述， 的取值范围为 2 , 3]．
19.(1) ( ) = 1 2 2定义域为(0, + ∞)，导函数 ′( ) = 3 ，
当 ∈ ( , + ∞)时， ′( ) < 0，当 ∈ (0, )时， ′( ) > 0，
则函数 ( )在( , + ∞)上单调递减，在(0, )上单调递增，
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因此 ( ) 1无极小值，在 = 取得极大值 ( ) = 2 ．
(2)① ( ) = 2
2 1 2 ，导函数 ′( ) = 3 2 ，
( ) = 1 2
4 4
令 3 2 ，导函数 ′( ) =
2( 3) +3 +5
4 ，
当 ∈ (0,1]时， 4 3 < 0， ≤ 0，2( 4 3) ≥ 0，2( 4 3) + 3 4 + 5 > 0，
1
当 ∈ (1, 34)时， 2 < 4 3 < 0,0 < < 14 3，
那么 2( 4 3) > 2 ( 2) ( 14 3) = 3，
2( 4 3) + 3 4 + 5 > 3 + 5 > 0，
1
当 ∈ (34, + ∞)时， 4 3 > 0， > 0，
那么 2( 4 3) ≥ 0，2( 4 3) + 3 4 + 5 > 0，
所以当 ∈ (0, + ∞)时，2( 4 3) + 3 4 + 5 > 0，
即导函数 ′( ) < 0，函数 ( )在(0, + ∞)上单调递减，
根据 (1) = 0，得当 ∈ (1, + ∞)时， ( ) < 0，当 ∈ (0,1)时， ( ) > 0，
( )在(1, + ∞)上单调递减，在(0,1)上单调递增， ( ) = (1) = ，
根据函数 ( )没有零点，得 < 0，解得 > 0，所以 ∈ (0, + ∞)．
②证明：由①及 ( )有两个不同的零点 1， 2，得 < 0，
不妨设 0 < 11 < 1 < 2，则 > 1， ( 1) = ( 2) = 0，而 ( ) = (
1
)，1
则 ( 1 ) = ( 1) = (
1
2)，由函数 ( )在(1, + ∞)上单调递减，得 = 2，1 1
1
所以 1 + 2 = 1 + > 2．1
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