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2025-2026学年广西邕衡教育名校联盟高三（上）9月调研
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 2 4 + 3 > 0}， = { 4,2,3,5}，则 ∩ =( )
A. {2} B. { 4,5} C. {5} D. { 4}
2 3+ .已知复数 满足 = 2 ( 为虚数单位)，则复数 的虚部为( )
A. B. 1 C. D. 1
3 + 1, ≤ 1.已知函数 ( ) = ln( 1), > 1，则 ( (2))的值为( )
A. 1 B. 0 C. D. 2
4.已知向量 = (1, 3)，则下列选项中与 同向的单位向量是( )
A. ( 1 32 , 2 ) B. (
1
2 ,
3
2 )或(
1
2 ,
3
2 ) C. (
3 3 3
3 , 1) D. ( 3 , 1)或( 3 , 1)
5 .行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下： = ，
2 1
已知 是等比数列{ }的前 项和，若 3 1 = 0, 1 = 1，则 7 =( )4
A. 31 B. 63 C. 127 D. 255
6 1.已知 + tan = 7，则 2 =( )
A. 2 1 4 17 B. 7 C. 7 D. 14
7.已知 ， ， 是半径为 1 的球 的球面上的三个点，其中 = ， = 2，点 为球 上一个动点，则
三棱锥 体积的最大值为( )
A. 1 1 16 B. 3 C. 2 D. 1
8.已知函数 ( )的定义域为 ，且 ( + ) + ( ) ( ) ( ) = 0， ( 1) = 1，则( )
A. (0) = 0 B. ( )为奇函数 C. (8) = 1 D. ( )的周期为 3
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于概率统计的知识，其中说法正确的是( )
A.数据 3， 1，3，7，8，9，11，15 的第 75 百分位数是 9
B. 1若一组样本数据( , )( = 1,2, , )的对应样本点都在直线 = 2 + 1 上，则这组样本数据的相关系数
为 1
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C.已知随机变量 ～ ( , )，若 ( ) = 36， ( ) = 9，则 = 34
D.若随机变量 服从正态分布 ～ (2, 2)，且 ( > 5) = 0.2，则 ( 1 < < 5) = 0.6
2 2
10 .已知以 1、 2为左右焦点的椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的短轴长为 2 3，点 是椭圆 上的一个动点，
且点 到 2的最大距离是点 到 2的最小距离的 3 倍，连接 2，并延长 2与椭圆 相交于点 ，其中说法
正确的是( )
2 2A. 椭圆的方程为 4 + 3 = 1 B.三角形 1 2的面积的最大值为 2 3
C. 8 D. 1 1三角形 1的周长为 | |+ | | = 22 2
11.已知函数 ( ) = 3 3 2 + ，其中实数 > 0， ∈ ，则下列结论正确的是( )
A. ( )必有两个极值点
B. = ( )有且仅有 3 个零点时， 的范围是(0,4 )
C.当 = 2 1时，点( 2 , 0)是曲线 = ( )的对称中心
D.当 5 < < 6 时，过点 (2, )可以作曲线 = ( )的 3 条切线
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.若抛物线 2 = 2 ( > 0)经过点 (1, 2)，则该抛物线的焦点坐标为______．
13.函数 = 在 = 1 处的切线方程为______．
14.把 5 个相同的乒乓球放入编号为 1 7 号的盒子里，其中编号为 1 5 号的盒子，每个盒子至多放 1 个
球，编号为 6 7 号的盒子，每个盒子至多放 3 个球，则不同的放法有______种.
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 3 = (2 )．
(1)求内角 的大小；
(2)若 = 1，求△ 面积 的最大值．
16.(本小题 15 分)

2 2 3
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的右顶点为 (2,0)，离心率 = 2 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线 ： = + 与椭圆 交于不同的两点 ， ，点 (4,0)，若直线 的斜率与直线 的斜率互为
相反数，求实数 的值．
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17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，点 在平面 上的投影为线段 的中点 ，且 = 2 = 2 = 2 ，
∠ = ∠ = 90°， ， 分别是线段 ， 的中点．
(1)求证： //平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
18.(本小题 17 分)
2025 年多哈世界乒乓球锦标赛，中国队组合王楚钦、孙颖莎以 3：1 战胜日本队组合吉村真晴、大藤沙月，
连续第三次夺得世乒赛混双冠军.假设 2026 年的一次乒乓球比赛中， 组合与 组合相遇.每局比赛必须决出
1
胜负，已知每局比赛 组合获胜的概率为5，每局比赛胜负结果相互独立，规定先达到净胜 3 局者获得比赛
胜利并结束比赛(规定：净胜 局指的是一方比另一方多胜 局)．
(1)分别求恰好 3 局比赛结束时 组合获得比赛胜利的概率 ( )，恰好 5 局比赛结束时 组合获得比赛胜利
的概率 ( )；
(2)若规定比赛总局数达到 7 局时无论是否分出胜负都直接结束比赛，求结束比赛时双方对战的总局数 的
分布列；
(3)若比赛局数不限，求 组合获得比赛胜利的概率．
19.(本小题 17 分)
已知数列{ }的前 项和为 ，满足 = 2 2 1 + ( ∈ + +1 )．
(1)当 1 = 1 时，分别求 2， 3的值，并猜想此时数列{ }的通项公式(直接写结论)；
(2)当 ∈ [ 21 2 , 1]时，求 4 1 3的最大值；
(3)当 1 ∈ [ 1,1]时，记数列{ }的前 项积为 = 1 2 3 ，求 1 21 50的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.(1,0)
13. = ．
14.98
15.(1)在△ 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，
已知 3 = (2 )，
由正弦定理有 3 = (2 )，
因为 ∈ (0, )，所以 ≠ 0，
故 3 = 2 ，即 3 + = 2，即 sin( + 6 ) = 1，
7
因为 ∈ (0, )，所以 + 6 ∈ ( 6 , 6 )，
所以 + = 6 2，即 = 3；
(2)因为 2 = 2 + 2 2 ，即 1 = 2 + 2 ，
又因为 2 + 2 ≥ 2 ，
所以 1 = 2 + 2 ≥ ，即 ≤ 1(当且仅当 = = 1 时取等)，
故 = 12 =
3 3
4 ≤ 4 (当且仅当 = = 1 时取等)，
所以当 = = 1 时，△ 面积 3有最大值，最大值为 4 ．
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16.(1)因为椭圆 的右顶点为 (2,0)，离心率 = 3，2
所以 = 2， = = 3， 2
解得 = 3，
又 2 = 2 + 2，
解得 2 = 4， 2 = 1，
2
则椭圆 的方程为 + 24 = 1；
= +
(2)联立 2 2 ，消去 并整理得 2+ = 1 5 + 8 + 4
2 4 = 0，
4
此时 = 64 2 80( 2 1) > 0，
解得 5 < < 5．
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
+ = 8 由韦达定理得 ， = 4
2 4
1 2 5 1 2 ，5
因为 + = 0，
1 + 2 = 1+ + 2+ 所以 1 4 2 4 1 4 2 4
= 0，
2 +( 4)( + ) 8
即 1 2 1 2( 4)( 4) = 0，1 2
可得 2 1 2 + ( 4)( 1 + 2) 8 = 0，
2
因为 1 + =
8
， = 4 42 5 1 2 ，5
2
所以8( 1) 8 ( 4) 40 ．
5 = 0
解得 = 1．
17.(1)证明：因为 ， 分别是线段 ， 的中点，
所以 // ，
又因为 为 的中点，且 = 2 ，且∠ = ∠ = 90°，
所以 // 且 = ，所以四边形 为平行四边形，
所以 // ，又 ∠ ，所以 // ，
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因为 平面 ，且 平面 ，
所以 //平面 ；
(2)以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴、 轴和 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设 = 2 = 2 = 2 = 4，
可得 (2,2,0)， (0,0,2)， (0, 2,0)， (2,0,0)， (0, 1,1)， (1,0,1)，
所以 = ( 2, 3,1), = (1,1,0), = (2,2, 2)，
设平面 的法向量为 = ( 1, 1, 1)，
= 1 + 1 = 0则

，
= 2 1 3 1 + 1 = 0
取 1 = 1，可得 1 = 1， 1 = 1，所以 = (1, 1, 1)，
设平面 的法向量为 = ( 2, 2, 2)，
= 2
则 2
+ 2 2 2 2 = 0，
= 2 2 3 2 + 2 = 0
取 2 = 1，可得 2 = 2， 2 = 1，所以 = ( 2,1, 1)，
设平面 与平面 的夹角为 ，
= |cos , | = | | = 2 2则 | || | 4+1+1× 3 = 3 ，
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 2．
3
18.(1) 1 4由题意，每局比赛 组合获胜的概率为5， 组合获胜的概率为5，
3 1 1恰好 局结束，则 组合连赢三局，所以 ( ) = ( )35 = 125，
恰好 5 局结束，则 组合前 3 局中赢 2 局，输 1 局，且后 2 局均获胜，
( ) = 1 × ( 1 )2 × 4 × ( 1 )2 = 12所以 3 5 5 5 3125；
(2)由题意 可能的取值为 3，5，7，
( = 3) = ( 1 35 ) + (
4 3 65
5 ) = 125；
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( = 5) = 1 × ( 1 )2 × 4 × ( 1 )2 + 1 × ( 4 )2 × 1 × ( 4 )2 = 7803 5 5 5 3 5 5 5 3125 =
156
625；
( = 7) = 1 ( = 3) ( = 5) = 720 = 1443125 625；
分布列为
3 5 7
65 156 144
125 625 625
(3)设事件 表示“比赛局数不限， 组合获得比赛胜利”，
设比赛过程中， 组合与 组合累计所赢局数的差为 ，
( = )表示 = 时最终 组合获得比赛胜利的概率，其中 ∈ { 3, 2, 1,0,1,2,3}，
由题知， ( = 3) = 1， ( = 3) = 0， ( = 0) = ( )，
1 4
根据全概率公式，则有 ( = ) = 5 ( = + 1) + 5 ( = 1)，
于是 ( = + 1) ( = ) = 4[ ( = ) ( = 1)]，
则{ ( = + 1) ( = )}构成了以 ( = 2) ( = 3) = ( = 2)为首项， = 4 的等比数列，
则 ( = 3) ( = 2) = ( = 2)45，
( = 2) ( = 1) = ( = 2)44，
( = 1) ( = 0) = ( = 2)43，
( = 0) ( = 1) = ( = 2)42，
( = 1) ( = 2) = ( = 2)41，
( = 2) ( = 3) = ( = 2)；
累加得， ( = 3) ( = 3) = ( = 2)(1 + 41 + 42 + 43 + 44 + 45)
= 1365 ( = 2) = 1，
解得 ( = 2) = 11365，
所以 ( = 0) ( = 3) = ( = 2)(1 + 4 + 16) = 21 11365 = 65，
1
故若比赛局数不限， 组合获得比赛胜利的概率为65．
19.(1)由 2 2 +1 = 2 1 + 可得 +1 = +1 = 2 1，
因 1 = 1，则 2 = 2 21 1 = 1, 23 = 2 2 1 = 1，
由此猜想， = 1．
(2)由 2 +1 = 2 1，可得 = 2 22 1 1， 3 = 2 22 1 = 8 4 21 8 1 + 1
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则 4 1 3 = (8 41 8 21 4 1 + 1)
2
， 1 ∈ [ 2 , 1]，
令 ( ) = 8 4 8 2 4 + 1 2， ∈ [ 2 , 1]，
则 ′( ) = 32 3 16 4 = 32( + 12 )(
5+1 )( 1 54 4 )
2
当 2 < <
1+ 5 2 1+ 5
4 时， ′( ) < 0，则 ( )在( 2 , 4 )上单调递减，
1+ 5
当 4 < < 1 时， ′( ) > 0
1+ 5
，则 ( )在( 4 , 1)上单调递增，
( ) = ( 1+ 5故 4 ) =
5(1+ 5)
4 ．
(4 ) = ( ) = 5(1+ 5)于是， 1 3 4 ．
(3)由(2)，令 1 = ， ∈ [0, ]，则 2 = 2 ， 3 = 4 ，
依此类推，可得 = cos(2 1 )，而 1 21 = ，
则 ( ) = 1 21 50 = 2 . . . cos(249 )
= 12 2 2 . . . cos(2
49 ) = 14 4 4 . . . cos(2
49 ) = ( 1 502 ) sin(2
50 ) ≤ 1250，
250 = 当且仅当 2，即 = 251时取到等号，
此时， 1 21
1
50的最大值为250．
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