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2025-2026 学年北京市海淀区北京十一实验中学高三上学期 9 月月考
数学试题
一、单选题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）
1.集合 = ln 1 ≤ 0 ， = 2,3,4 ，则 ∩ =( )
A. 2 B. 3 C. 2,3 D.
1 sin2 2. 2 < 1，则 是( )
A.第一或第二象限角 B.第二或第四象限角 C.第一或第三象限角 D.第二或第三象限角
3.已知 = 30.5, = 5 43, = tan 3，则( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
4 5 16

.已知函数 = 2 8 ( > 0，且 ≠ 1)的图象过定点 , ，则 81 =( )
A. 32 B.
2
3 C.
8 27
27 D. 8
5.已知定义在 上的函数 ( )，集合 = 0 ∈ ( 0, + ∞), < 0 ，那么“ = 0,2 ”是“ ( )在
0,2 上单调递减”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6 3.定义在 上的偶函数 满足 + 2 = ，且 ∈ 2,0 时， = 2 5，则 20 + 225 =( )
A. 1 B. 1 C. 7 D. 525 5 15 9
7 , , , , cos = 2 3.在 中，角 ，，所对的边分别为 ，且 成等比数列，设 的面积为 ，若 3 ，
则 的形状为( )．
A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
8 .函数 = cos tan ( 2 < < 2 )的大致图象是( )
A. B. C. D.
9.1471 年米勒向诺德尔教授提出了一个有趣的问题：在地球表面的什么地方，一根竖直的悬杆看上去最
长.后人将其称为＂米勒问题＂，该问题是数学史上最早的极值问题之一.我们把地球表面视为平面 ，悬杆
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视为直线 上两点 ， 间的连线，则上述问题可以转化为以下的数学问题：如图 1 所示，直线 垂直于平面 ，
直线 上有两点 ， 位于平面 的同侧，求平面上一点 ，使得∠ 最大.建立如图 2 所示的平面直角坐标
系.设 ， 两点的坐标分别为(0, ), (0, ), 0 < < ，点 的坐标为( , 0)，当∠ 最大时， =( )
A. 2 B. C. 2 D.
10.“肝胆两相照，然诺安能忘．”(《承左虞燕京惠诗却寄却寄》，明 朱察卿)若 , 两点关于点 1,1 成
中心对称，则称 , 为一对“然诺点”，同时把 , 和 , 视为同一对“然诺点”.已知 ∈ , ( ) =
( 2) , < 1
2, > 1 的图象上有两对“然诺点”，则 等于( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
11.已知半径为 3的扇形面积为 6，则扇形的圆心角为_____ ．
12.已知角 的顶点为坐标原点，始边为 轴正半轴，终边经过点 ( 1,2)，则 sin cos 2 = ．
13.若 sin + = 5 5 6 3 ，则 sin 2 + 6 = ．
14 .若函数 ( ) = sin( + )( > 0, > 0,0 < < 2 )的部分图象如图所示，则函数的解析式
( ) = ．
15 3.在 中，cos = 5， = 1， = 5，则 = ，若 是 的中点，则 = ．
16.若函数 ( ) = sin(2 ), ∈ [0, 4 2 ]的图象与直线 = 有两个交点，则这两个交点横坐标的和为 ．
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17.在 中，内角 , , 的对边分别为 , , ， = 2，且 2 + sin sin = sin ，则
面积的最大值为 ．
18.若函数 = sin cos2 ，下列关于函数 的说法正确的序号有 ．
① 是周期函数 ② 在 , 上有 4 个零点

③ 在 0, 2 上是增函数 ④ 的值域为 1,2
三、解答题（本大题共 5 小题，每小题 12 分，共 60 分）
19. 已知函数 = 3 + 2 + + ，曲线 = 在点 = 1 处的切线为 : 5 + 5 = 0，若 = 23时，
= 有极值．(1)求 , , 的值；(2)求 = 在[ 3,2]上的最大值和最小值．
20.已知函数 ( ) = 2sin cos + 2 3 2 3 ， ∈ ，且将函数 ( )的图象向左平移 (0 < < 2 )个单
位长度得到函数 ( )的图象．
(1)求 ( )的最小正周期和单调递增区间；
(2)若函数 ( )是奇函数，求 的值；
(3)若 cos = 13，当 = 时函数 ( )

取得最大值，求 ( + 12 )的值．
21.在 中， cos + cos = 4 cos ．
(1)求 cos 的值；
(2)若 = 2 10，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得 存在，求
边上的高．
3
条件①： = 4；
条件②： = 6；
10
条件③：cos = 4 ．
22.已知函数 = + sin 1．
(1)当 = 1 时，求在点 0, 0 处的切线方程；
(2)若函数 在 0, + ∞ 上单调递增，求实数 的取值范围；
(3)当 1 ≤ < 2 时，讨论函数 = 2 零点的个数．
23.定义一类集合：对于集合 = 1, 2, , ≥ 2, ∈ ，若 ∈ 都满足 < 1，则称 为“单位有
+
界集”；在集合 中定义一种运算：若 ∈ ， ∈ ，定义 = 1+ .现对单位有界集 进行如下操作：
第一步，从 中任取两个元素 、 ≠ ，将 中除了 、 以外的元素构成的集合记为 1，令H1 = 1 ∪
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；第二步，若集合H1还是单位有界集，则继续任取两个元素 , ≠ ，将H1中除了 , 以外的元素
构成的集合记为 2，令H2 = 2 ∪ ；依次类推……
(1)对于任意的单位有界集 ，判断H1是否仍然为单位有界集．若是，请证明；若不是，请举出反例；
(2)证明：若 , , ∈ ，则 = ；
(3)当 = cos 10 1 ≤ < 10, ∈ 时，对集合 进行 步上述操作，当H 只有一个元素时停止，求所有满
足条件的H ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.4
12. 35/ 0.6
13. 19
14.2sin(2 + 3 )
15.4 2； 5
16.3 4
17. 3
18.②③
19.(1) ′( ) = 3 2 + 2 + ，则 ( 1) = + 1， ′( 1) = 2 + + 3，故切线方程是： =
(3 2 + ) + ( + + 2) 而切线方程是： = 5 + 5，故 3 2 + = 5， ①， 2 = 5，
4 = 2
2 2 4 ②，若 = 3时， = ( )有极值，则 ′( 3 ) = 3+ 3 + = 0， ③，由 ① ② ③联立方程组，解得： = 4
= 5
(2)由(1) ( ) = 3 + 2 2 4 + 5， ′( ) = 3 2 + 4 4 = (3 2)( + 2)令 ′( ) > 0 2，解得： > 3
< 2 2 2 2或 ，令 ′( ) < 0，解得： 2 < < 3，故 ( )在[ 3, 2)递增，在( 2, 3 )递减，在( 3 , 2]递减由 (
3) = 8， ( 2) = 13 2 95 2 95， ( 3 ) = 27， (2) = 13，故函数的最小值是 ( 3 ) = 27，最大值是 (2) = ( 2) = 13．
20.(1)由题意得 = sin2 3cos2 = 2sin 2 2 3 ，则其最小正周期 = 2 = ，
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令 2 2 ≤ 2 3 ≤ 2 + 2 , ∈ ，解得 12 ≤ ≤ +
5
12 , ∈ ，
则其单调递增区间为 , + 5 12 12 , ∈ ．
(2)将 ( )的图象向左平移 个单位长度得到 ( )的图象，则 = 2sin 2 + 2 3 ，
若函数 ( )是奇函数，则 2 3 = 0 + , ∈ ，即 =

6 + 2 , ∈
0 < < 因为 2，所以 = 0

时， = 6．
(3) 5 由题知 sin(2 + 2 3 ) = 1，则 2 + 2 3 = 2 + 2 ，从而 = 12 + ， ∈ ，因此 + 12 =
2 + = 2sin 2 + 2

3 = 2sin 2 +

3 ，
1 2 2
因为 cos = 3，且 0 < < 2，所以 sin = 3 ，
2 2 1 4 2 1 7
因此 sin2 = 2 × 3 × 3 = 9 ，cos2 = 2 × 9 1 = 9，
所以 sin(2 + ) = 1 × 4 2+ 33 2 9 2 × (
7 4 2 7 3
9 ) = 18 ，
所以 ( + 12 ) =
4 2 7 3
9 ．
21.(1) 由正弦定理sin = sin = sin ，且 cos + cos = 4 cos ，
得 sin cos + sin cos = 4sin cos ，即 sin + = 4sin cos ．
由 + + = ，得 sin + = sin .所以 sin = 4sin cos ．
由 0 < < ，得 sin ≠ 0，所以 cos = 14．
(2) 1 2选择条件①：因为 0 < cos = 4 < 2 = cos

4，
且余弦函数 = cos 在 0, 上单调递减，
< < = 3 故4 2，又因为 4，从而可得 + > ，与三角形的内角和定理矛盾，
故①不成立．
1
选择条件②：由 ∈ 0, ，且 cos = 4，得 sin = 1
2 = 154 ．
2
由余弦定理 2 = 2 + 2 2 cos ，得 2 10 = 62 + 2 2 × 6 × × 14，
解得 = 4 或 = 1(舍)．
1 1
设边 上的高为 ，则三角形面积 = 2 sin = 2 ，
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sin 4×6×
15
3 6
所以 = =
4
2 10 = 2 ．
选择条件③：由 ∈ 0, ，且 cos = 1 24，得 sin = 1 =
15
4 ．
由 ∈ 0, ，且 cos = 10 24 ，得 sin = 1 =
6
4 ．
所以 sin = sin + = 15 10 1 6 3 64 × 4 + 4 × 4 = 8 ．
= sin 由正弦定理，得 sin = 6，所以边 上的高 = sin = 6 ×
6 3 6
4 = 2 ．
22.(1)当 = 1 时， = + sin 1， 0 = 0 0 + sin0 1 = 0
所以 ′ = 1+ cos ， ′ 0 = 0 1+ cos0 = 1，
所以切线方程为： = 0；
(2)因为 ( ) = + sin 1，所以 ′ = + cos ，
由函数 在 0, + ∞ 上单调递增，则 ≤ + cos 在 ∈ 0, + ∞ 上恒成立．
令 = + cos ， ∈ 0, + ∞ ， ′ = sin
当 > 0 时， > 1，所以 ′ = sin > 0 恒成立．
所以 在 0, + ∞ 上单调递增，所以 > 0 = 2，所以 ≤ 2；
(3)由 = 2 = 2 + sin 1 ，则 2 = 0， 0 = 0．
所以 2 与 0 是 = 2 的两个零点．
因为 1 ≤ < 2，由(2)知，函数 在 0, + ∞ 上单调递增， > 0 = 0，无零点．
①当 ∈ ∞, 时，∵ 1 ≤ < 2，∴ ≥ ，∴ ≥ + + sin 1 > 0，无零点．
②当 ∈ , 0 时，∵ sin < 0，设 = ′ ， ′ = sin > 0，
∴ ′ 在 , 0 上递增，又∵ ′ 0 = 2 > 0， ′ = 1 < 0，
存在唯一零点 0 ∈ , 0 ，使得 ′ 0 = 0．
当 ∈ , 0 时， ′ < 0， 在 , 0 上递减；
当 ∈ 0, 0 时， ′ > 0， 在 0, 0 上递增，
又 = + 1 > 0， 0 = 0，所以，函数 在 , 0 上有且仅有 1 个零点．
综上，当 1 ≤ < 2 时，函数 = 2 有且仅有 3 个零点．
23.(1)是，证明如下：
从 中任取两个元素 、 ( ≠ )， 1 < < 1， 1 < < 1，
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+
要证明H1是单位有界集，只需证明 1 < = 1+ < 1，
+ + +1+ (1+ )( +1)
因为1+
+ 1 =
1+
= 1+ ，其中 1 + > 0, + 1 > 0,1 + > 0，
+
所以1+ + 1 > 0，即 > 1；
+ + 1 ( 1)(1 )
因为1+ 1 =

1+
=
1+
，其中 1 < 0,1 > 0,1 + > 0，

+
所以1+ 1 < 0，即 < 1，所以H1仍然为单位有界集．
+
+
+
(2) ( ) =
1+ + + +
因为 1+ =

+ = 1+ + + ， 1+ 1+
+
+ +

=
1+
=
+ + +
1+ +
=
1+ 1+ + +
，


1+
所以 = ．
(3)由(1)(2)知 1. 2, , 1都为“单位有界集”，所定义的运算具有结合律，
+ +
又 =

1+
= 1+ = ，即定义的运算具有交换律，
= cos 9 不妨先取 1 10 , 9 = cos 10，
因为 cos 9 10 = cos 10，所以 1 9 = 0，所以H1 = cos 10 |2 ≤ ≤ 8 ，
= cos 2 再取 2 10 , 9 = cos
8
10， 2 8 = 0，所以H2 = cos

10 |3 ≤ ≤ 7 ，
H = cos 类似的， 3 10 |4 ≤ ≤ 6 ，H4 = cos

2 = 0 ，
所以H = 0 ．
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