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2025-2026学年上海市浦东新区进才中学高三（上）9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 4小题，第 1-2 小题每小题 4 分，第 3-4 小题每小题 5分，共 18分。在每小题给出的
选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递增的是( )
2
A. = 2 B. = ln| | C. = 3 D. =
2.在△ 中，“ = 2”是“sin
2 + sin2 = 1”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3 { 128.若数列 }满足 = ( 2) ，其前 项和为 ，则( )
A. 既无最大值，又无最小值 B.当且仅当 = 1 时， 取得最小值
C.当且仅当 = 8 时， 取得最小值 D. ∈ ， ≥ 7
4.已知函数 ( ) = 2 2 ，则( )
A. ( 4 + ) = ( 4 ) B. ( )不是周期函数
C. ( ) 在区间(0, 2 )上存在极值 D. ( )在区间(0, )内有且只有一个零点
二、填空题：本题共 12小题，第 5-10 小题每小题 4分，第 11-16 小题每小题 5分，共 54分。
5.已知集合 = { | 1 < < 2}， = { ( 1)( 3) > 0}，则 ∩ = ______．
6.若 (1 + ) = 1 2 ，则 = ______．
7.设{ }是等比数列， 1 = 1， 2 4 = 16，则 5 = ______．
8.函数 ( ) = 3 + ln( 1)的定义域是______．
9.已知向量 ， 满足| | = 1，| | = 2，| | = 2，则| + | = ______．
10.若函数 ( ) 1满足关系式 ( ) + 2 ( ) = 3 ，则 (2)的值为______．
11.已知( 1)3 + ( + 1)4 = 4 + 3 + 21 2 + 3 + 4，则 1 =______．
12.已知点 与点(3,4)的距离不大于 1，则点 到直线 3 + 4 + 5 = 0 的距离最小值为______．
13.如图，有一个木制工艺品，其形状是一个圆柱被挖去一个与其共底面的圆锥.已知圆柱的
底面半径为 3，高为 5，圆锥的高为 4，则这个木质工艺品的体积为______．
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14.若直线 ： = + 3 与圆 ： 2 + 2 = 4 相交于 ， 两点，且∠ = 3 (其中 为原点)，则 的值为______．
15.在 △ 中， = = 4， 为 的中点， 为线段 上的一个动点，则( + ) 的最小值为
______．
16.已知数列{ }， 1 = (0 < < 1)， +1 = .给出下列四个结论：
① 2 ∈ ( , 1)；
② 10 > 9；
③{ 2 }为递增数列；
④ ∈ ，使得| +1 | < 1 ．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共 5小题，共 78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 14 分)
△ = 3, = , 2 = 2 6在 中， 3 3 ．
(1)求 ；
(2)求 以及 △ 的值．
18.(本小题 14 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是平行四边形，∠ = 135°，侧面 ⊥底面 ，∠ = 90°，
= = = 2， ， 分别为 ， 的中点，点 在线段 上．
(Ⅰ)求证： ⊥平面 ；
( ) Ⅱ 如果直线 与平面 所成的角和直线 与平面 所成的角相等，求 的值．
19.(本小题 14 分)
有一道选择题考查了一个知识点，甲、乙两校各随机抽取 100 人，甲校有 80 人答对，乙校有 75 人答对，
用频率估计概率．
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(1)从甲校随机抽取 1 人，求这个人做对该题目的概率．
(2)从甲、乙两校各随机抽取 1 人，设 为做对的人数，求恰有 1 人做对的概率以及 的数学期望．
(3)若甲校同学掌握这个知识点，则有 100%的概率做对该题目，乙校同学掌握这个知识点，则有 85%的概
率做对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，设甲校学生掌握该知识点的概
率为 1，乙校学生掌握该知识点的概率为 2，试比较 1与 2的大小(结论不要求证明)．
20.(本小题 18 分)
设常数 > 2.在平面直角坐标系 中，已知点 (2,0)，直线 ： = ，曲线 ： 2 = 8 (0 ≤ ≤ , ≥ 0).
与 轴交于点 、与 交于点 . 、 分别是曲线 与线段 上的动点．
(1)用 表示点 到点 的距离；
(2)设 = 3，| | = 2，线段 的中点在直线 上，求△ 的面积；
(3)设 = 8，是否存在以 、 为邻边的矩形 ，使得点 在 上？若存在，求点 的坐标；若不存在，
说明理由．
21.(本小题 18 分)
1
已知函数 ( ) = ( + )
， ∈ ．
(Ⅰ)当 = 0 时，求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(Ⅱ)当 = 1 时，求函数 ( )的单调递减区间；
(Ⅲ)若函数 ( )在区间(0,1)上只有一个极值点，求 的取值范围．
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参考答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】( 1,1)
6. 1 3【答案】 2 2
7.【答案】16
8.【答案】(1,3]
9.【答案】 6
10.【答案】 1
11.【答案】5
12.【答案】5
13.【答案】33
14.【答案】± 2
15.【答案】 4
16.【答案】①②④
17.(1)因为 2 = 2 63 ，
2 6
所以 = 3 ，
因为 > 0，
= 2 6 = 2 6所以 3 3 sin

3 =
2 6 3
3 × 2 = 2，
3 2
由 = ，则 3 = ，
2
解得 = 22 ；
2 2 2
(2) + 由余弦定理得， = 2 ，
2 2 2
所以 cos = ( 2) + ( 3)3 2 2 ，
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解得 = 2+ 62 (负值舍去)，
= 1 = 1 × 2 × 2+ 6 3 3+ 3所以 △ 2 2 2 × 2 = 4 ．
18.(Ⅰ)证明：∵在平行四边形 中，∠ = 135°，∴ ∠ =
45°，
∵ = ，∴ ⊥ ．
∵ ， 分别为 ， 的中点，∴ // ，
∴ ⊥ ．
∵侧面 ⊥底面 ，且∠ = 90°，
∴ ⊥底面 ．
又 底面 ，
∴ ⊥ ．
又∵ ∩ = ， 平面 ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ．
(Ⅱ)解：∵ ⊥底面 ， ⊥ ，∴ ， ， 两两垂直，
以 为原点，分别以 ， ， 为 轴、 轴和 轴建立空间直角坐标系如图：
则 (0,0,0)， (2,0,0)， (0,2,0)， (0,0,2)， ( 2,2,0)， (1,1,0)，
∴ = (2,0, 2)， = ( 2,2, 2)， = ( 2,2,0)， = (1,1, 2)．

设 = (0 ≤ ≤ 1)，则 = ( 2 , 2 , 2 )，
∴ = = (1 + 2 , 1 2 , 2 2)，
显然平面 的一个法向量为 = (0,0,1)．
设平面 的法向量为 = ( , , )，
则 = 0 2 + 2 = 0，即
= 0 2 2 = 0
令 = 1，得 = (1,1,1)．
∴ cos < >=
2
，
2 2
| ||
=
| 3|
，cos < >= = ．
| | || | | |
∵直线 与平面 所成的角和此直线与平面 所成的角相等，
∴ | 2 | = |
2 2 2
3| | |
|
| ，即 |2 2| = | 3 |，
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解得 = 3 3，或 3+ 3 舍)．2 = 2 (
∴ 3 3． = 2
19.(1) 80 4用频率估计概率，从甲校随机抽取 1 人，做对题目的概率为100 = 5．
(2)设 为“从甲校抽取 1 人做对”，则 ( ) = 0.8，

则 ( ) = 0.2，设 为“从乙校抽取 1 人做对”，

则 ( ) = 0.75，则 ( ) = 0.25，设 为“恰有 1 人做对”，

故 ( ) = ( ) + ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) = 0.35，

而 可取 0，1，2， ( = 0) = ( ) = 0.05，
( = 1) = 0.35， ( = 2) = 0.8 × 0.75 = 0.6，
故 的分布列如下表：
0 1 2
0.05 0.35 0.6
故 E( ) = 1 × 0.35 + 2 × 0.6 = 1.55；
(3)证明：设 为“甲校掌握该知识的学生”，
因为甲校掌握这个知识点则有 100%的概率做对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选
择一个，
故 ( ) + 14 (1 ( )) = 0.8，
即 1 +
1
4 × (1 1) = 0.8，
故 = 111 15，
同理有 0.85 12 + 4 × (1 2) = 0.75，
故 52 = 6，
故 1 < 2．
20.解：(1)由题意可设 ( , 2 2 )，

由抛物线的性质可知：| | = + 2 = + 2，∴ | | = + 2；
(2) (2,0)，| | = 2， = 3，则| | = 1，∴ | | = 3，
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∴不妨设 (3, 3)，设 的中点 ， ( 3 , 32 2 )，
3 0
= 23 = 3，则直线 方程： = 3( 2)，
2 2
= 3( 2)
联立 ，整理得：3 2 20 + 12 = 0，
2 = 8
= 2解得： 3， = 6(舍去)，∴△ 的面积 =
1 × 3 × 7 = 7 3；2 3 6
2 8
(3) 16
2
存在，设 ( , )，则 = =8
2
2
2 16， =
8 8
，
2
直线 方程为 = 16 8 ( 2)，
16 2 2 2∴ = 8 (8 2) =
48 3 48 3
4 ， (8, 4 )，
2 2∵ = 8 2, ， = 6,
48 3
4 ，
设 ( , )，则 = 2, ，
2 2 2
根据
2
+ = 48+ 48+ ，解得 = + 6， = 4 ，则 ( 8 + 6, 4 )，8
∴ ( 48+
2 2
2
4 ) = 8(

8 + 6)
16
，解得： 2 = 5，
∴存在以 、 为邻边的矩形 ，使得点 在 上，且 ( 2 , 4 55 5 ).
21.(Ⅰ)由题知 ( ) = 1 ， (1) = ，
1 1′( ) = ( 2 )，所以 ′(1) = 0，
所以切线方程为： = 0( 1)，即 = ；
(Ⅱ)由已知得： ( ) = ( 1 + 1)
， ∈ ，
2
′( ) = ( 1 + 1
1
2 ) =
+ 1
2 ，
令 ′( ) < 0 得 2 + 1 < 0 1 5 1+ 5，解得 2 < < 2 ，
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( ) ( 1 5 1+ 5所以 的递减区间为 2 , 2 )；
2
( ) ( ) = + 1Ⅲ 由已知得 ′ 2 = 0 在(0,1)上有且只有一个变号根，
即 ( ) = 2 + 1 在(0,1)上只有一个变号零点，显然 (0) = 1 < 0， (1) = ，
当 ≤ 0 时， ( )在(0,1)上有 0 个零点，或者两个互异零点，或两个相等的零点，不符合题意，
当 > 0 1时，因对称轴 = 2 < 0，所以 ( )在(0,1)上有一个左负右正的零点，符合题意，
综上， 的取值范围为(0, + ∞)．
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