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第5章 对函数的再探索
5.7 二次函数的应用
第1课时 二次函数的最值问题
1、二次函数y＝2(x－3)2+5的对称轴是 ，
顶点坐标是 .当x＝ 时，y的最 值
是 .
2、二次函数y＝－3(x+4)2－1的对称轴是 ，
顶点坐标是 .当x＝ 时，函数有最___
值，是 .
3、二次函数y＝2x2－8x+9的对称轴是 ，顶
点坐标是 .当x＝ 时，函数有最
_____ 值，是 .
直线x＝3
（3，5）
3
小
5
直线x＝－4
（－4，－1）
－4
大
－1
直线x＝2
（2,1）
2
小
1
情 境 导 入
第1课时 二次函数的
最值问题
例1 用篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，已知篱笆的长度为60m，应该怎样设计才使菜园的面积最大？最大面积是多少？
分析：若设矩形菜园的宽为x（m），则菜园的为 ，面积为y（m2）.根据题意，y与x之间的函数表达式为
y＝x（60－2x）
＝－2（x2－30x）
＝－2（x2－30x+225－225）
＝－2（x－15)2+450.
（60－2x）m
第1课时 二次函数的
最值问题
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这里a＝－2<0,二次函数的图象开口向下，顶点坐标（15,450）是图像的最高点。故：当x＝15时，y值最大为450.
思考一下：宽x的取值范围？
(0也可以，y＝－2x2+60x
∵－2＜0,
∴当
面积y取得最大值
所以当菜园的宽为15m时，菜园面积最大，最大面积是450㎡.
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课堂小结
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一般地，因为抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是最低（高）点，所以：当 时，二次函数y＝ax2+bx+c有最小（大）值 .
归纳总结
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例2 如图，ABCD是一块边长为2m的正方形铁板，在边AB上选取一点M，分别以AM和MB为边截取两块相邻的正方形板材.当AM的长为何值时，截取的板材面积最小？
分析：截取板材面积＝正方形AMPQ面积+正方形MBEF面积.由已知可以构造二次函数，利用二次函数性质解决……
2
A
B
D
M
x
Q
P
F
E
C
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解：设AM的长为x（m）则BM的长为（2－x）m，以AM和BM为边的两个正方形面积之和为y（m2）。根据题意，y与x之间函数表达式为
y＝x2+（2－x）2＝2x2－4x+4＝2（x2－2x）+4＝2（x2－2x+1－1）+4＝2（x－1）2+2.
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∵a＝2＞0
∴当x＝1时，y有最小值，最小值是2
自变量x可以取值的范围是0＜x＜2.
∴当AM＝1m时，截取的板材面积最小，最小面积为2m2.
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挑战自我
如图用篱笆围成一个一面靠墙（墙的最大可用长度为10m），中间隔有一道篱笆的矩形菜园.已知篱笆的长度为24m.设菜园的宽AB为xm,面积为y（m2）.
（1）写出y与x之间的函数表达式及自变量x可以取值范围.
（2）围成菜园的最大面积是多少？这时菜园的宽x等于多少？
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解：（1）y＝x（24－3x） ＝－3x2+24x.
∵24－3x＞0, 24－3x≤10,
∴≤x＜8.
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（2）y＝－3（x2－8x）＝－3（x2－8x+16－16）＝－3（x－4）2+48.
∵－3＜0 对称轴为直线x＝4,
当x＞4时y随x的增大而减小.
∵ ≤x＜8,
∴当x＝时，y取得最大值为.
所以当菜园的宽为 m时，围成菜园的面积最大是m2.
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课堂检测
1、菱形的两条对角线的和为40cm.
（1）如果菱形的面积为ycm2，一条对角线的长为xcm,写出y与x之间的函数的表达式.并指出自变量x可以取值的范围.
（2）当这两条对角线的长分别为多少时,菱形的面积最大 最大面积是多少？
2、已知二次函数y＝2(x－2)2+1,当x＝__时，y取最___值,是___.
3、二次函数y＝－2(x－4)2+1的图像开口____,当x＝__时，y取最___值,是___.
2
小
1
下
4
大
1
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4、某广告公司要设计一个周长为20m的矩形广告牌，当矩形的一边为何值时，广告牌的面积最大？
解：设矩形的一边为x(m),则另一边为(10－x)m,矩形的面积为ym2,根据题意，y与x之间的函数解析式为y＝x(10－x)。
y＝－x2+10x ＝－(x－5)2+25.
∵a＝－1＜0 ∴当x＝5时，y有最大值，最大值为25.
所以，当矩形的一边长为5m时，广告牌面积最大，最大面积为25m2.
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课堂小结
解函数应用题的一般步骤:
设未知数(确定自变量和函数)；
找等量关系,列出函数关系式;
化简,整理成标准形式(一次函数、二次函数等)；
求自变量取值范围；
利用函数知识，求解（通常是最值问题）；
写出答案.
课 堂 小 结
第1课时 二次函数的
最值问题

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