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1.2 一定是直角三角形吗
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 海州区校级期末）以下列各组数为边长，能够组成直角三角形的是（　　）
A．，， B．7，25，24 C．7，12，15 D．9，15，20
2．（2025 碑林区校级开学）下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A．10，15，18 B．7，24，25
C．0.3，0.4，0.5 D．
3．（2025春 庐阳区校级期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a，b，c．下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．c2＝a2﹣b2 B．a：b：c＝3：4：5
C．∠C＝∠B﹣∠A D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
4．（2024秋 秦都区期末）在△ABC中，AB＝15，BC＝12，AC＝9，则△ABC的面积为（　　）
A．180 B．90 C．54 D．108
5．（2024秋 唐河县期末）若△ABC的三边长分别是a，b，c，则下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的个数有（　　）
①∠A+∠B＝∠C；
②a．b：c＝5：12：13；
③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；
④b2＝（a+c）（a﹣c）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 洋县期末）如图，点D、E分别为△ABC的边BC、AC上的点，连接AD、DE，过点E作EF∥BC，连接CF，若∠ADB＝∠CAD+30°，AE＝5，DE＝12，AD＝13，则∠DEF的度数为 　 　 ．
7．（2024秋 榆林期末）有一组勾股数，知道其中的两个数分别是24和7，则第三个数是 　 　 ．
8．（2024秋 太谷区期末）毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25） ，即当勾为3时，股为4，弦为5．分析上面数组的排列规律，当勾为13时，股和弦的值分别为　 　 ．
9．（2024秋 新野县期末）勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…分析上面规律，第6个勾股数组为 　 　 ．
10．（2025 连云港校级三模）如图，正方形网格中，每一小格的边长为1．网格内有△PAB，则∠PAB+∠PBA的度数是　 　 ．
三．解答题（共2小题）
11．（2024秋 桐柏县期末）如图，AD⊥CD，AB＝13，BC＝12，AD＝3，CD＝4，
（1）设∠CAB＝α，求∠B；（用α表示）
（2）求四边形ABCD的面积．
12．（2024秋 兴平市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AC上的一点，BC＝15，CD＝9，BD＝12．
（1）求证：△BDC是直角三角形；
（2）求AB的长．
1.2 一定是直角三角形吗
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2024秋 海州区校级期末）以下列各组数为边长，能够组成直角三角形的是（　　）
A．，， B．7，25，24 C．7，12，15 D．9，15，20
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】分别计算出两个较小的边长的平方和，再计算出最长边的平方，根据勾股定理的逆定理判定即可．
【解答】解：∵（）2+（）2＝7，（）2＝5，
∴，，不能组成直角三角形，A不符合题意；
∵72+242＝252，
∴7，25，24可以组成直角三角形，B符合题意；
∵72+122≠152，
∴7，12，15不可以组成直角三角形，C不符合题意；
∵92+152≠202，
∴9，15，20不可以组成直角三角形，D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
2．（2025 碑林区校级开学）下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A．10，15，18 B．7，24，25
C．0.3，0.4，0.5 D．
【考点】勾股数．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】B
【分析】满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数，由此即可判断．
【解答】解：A、102+152≠182，故A不符合题意；
B、72+242＝252，故B符合题意；
C、D中的数不是正整数，故C、D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查勾股数，关键是掌握勾股数的定义．
3．（2025春 庐阳区校级期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a，b，c．下列条件中，不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．c2＝a2﹣b2 B．a：b：c＝3：4：5
C．∠C＝∠B﹣∠A D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、∵c2＝a2﹣b2，
∴c2+b2＝a2，
∴△ABC是直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵a：b：c＝3：4：5，
∴设a＝3k，b＝3k，c＝5k，
∵a2+b2＝（3k）2+（4k）2＝25k2，c2＝（5k）2＝25k2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵∠C＝∠B﹣∠A，
∴∠C+∠A＝∠B，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠B＝180°，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴∠C＝180°75°，
∴△ABC不是直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理是解题的关键．
4．（2024秋 秦都区期末）在△ABC中，AB＝15，BC＝12，AC＝9，则△ABC的面积为（　　）
A．180 B．90 C．54 D．108
【考点】勾股定理的逆定理．
【答案】C
【分析】根据勾股定理的逆定理判定直角三角形，再根据直角三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：∵92+122＝152，
∴根据勾股定理的逆定理，三角形是直角三角形，两直角边为9和12，
所以面积9×12＝54．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是熟悉勾股定理的逆定理和三角形的面积公式．
5．（2024秋 唐河县期末）若△ABC的三边长分别是a，b，c，则下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的个数有（　　）
①∠A+∠B＝∠C；
②a．b：c＝5：12：13；
③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；
④b2＝（a+c）（a﹣c）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】A
【分析】根据直角三角形的定义，三角形内角和定理、勾股定理的逆定理一一判断即可．
【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
故△ABC是直角三角形；
②a：b：c＝5：12：13，可得：a2+b2＝c2，
故△ABC是直角三角形；
③∠A：∠B：∠C＝3：4：5，最大角∠C180°＝75°，
故△ABC不是直角三角形；
④b2＝（a﹣c）（a+c）＝a2﹣c2，
即b2＝a2﹣c2，
故△ABC是直角三角形；
∴不能判定△ABC是直角三角形的有1个．
故选：A．
【点评】此题考查了三角形内角和定理、勾股定理逆定理的运用，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
6．（2024秋 洋县期末）如图，点D、E分别为△ABC的边BC、AC上的点，连接AD、DE，过点E作EF∥BC，连接CF，若∠ADB＝∠CAD+30°，AE＝5，DE＝12，AD＝13，则∠DEF的度数为 　120°　 ．
【考点】勾股定理的逆定理；平行线的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】120°．
【分析】由三角形外角的性质，得出∠ACD＝30°，再结合平行线的性质，得到∠CEF＝30°，利用勾股定理逆定理，得出∠AED＝90°，即可求出∠DEF的度数．
【解答】解：∵∠ADB是△CAD的外角，
∴∠ADB＝∠CAD+∠ACD，
∵∠ADB＝∠CAD+30°，
∴∠ACD＝30°，
∵EF∥BC，
∴∠CEF＝∠ACD＝30°，
∵AE＝5，DE＝12，AD＝13，
∴AE2+DE2＝AD2，
∴∠AED＝90°，
∴∠CED＝90°，
∴∠DEF＝∠CEF+∠CED＝120°，
故答案为：120°．
【点评】本题考查了勾股定理逆定理，平行线的性质，利用勾股定理证明出△ADE是直角三角形是解题关键．
7．（2024秋 榆林期末）有一组勾股数，知道其中的两个数分别是24和7，则第三个数是 　25　 ．
【考点】勾股数．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】25．
【分析】设第三个数为x，根据勾股定理的逆定理得：①x2+72＝242，②242+72＝x2．再解x即可．
【解答】解：设第三个数为x，
∵是一组勾股数，
∴①x2+72＝242，
解得：x（不合题意，舍去），
②242+72＝x2，
解得：x＝25，
故答案为：25．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
8．（2024秋 太谷区期末）毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25） ，即当勾为3时，股为4，弦为5．分析上面数组的排列规律，当勾为13时，股和弦的值分别为　84，85　 ．
【考点】勾股数；规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；推理能力．
【答案】84、85．
【分析】观察所给数组的规律，继而可得出答案．
【解答】解：如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）……，即当勾为3时，股为4，弦为5，
3＝2×1+1，5＝2×2+1，7＝2×3+1，
4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），
由以上规律可知，当勾为13时，股为6×（13+1）＝84，弦为84+1＝85；
故答案为：84，85．
【点评】本题主要考查了勾股数，关键是找出数据之间的关系，掌握勾股定理．
9．（2024秋 新野县期末）勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…分析上面规律，第6个勾股数组为 　（13，84，85）　 ．
【考点】勾股数．
【专题】规律型；创新意识．
【答案】（13，84，85）．
【分析】由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…可知，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…可得第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）＝60，第6组勾股数中间的数为：6×（13+1）＝84，即可得出结论．
【解答】解：由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…可知，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…，
∴第4组勾股数中间的数为4×（9+1）＝40，即勾股数组为（9，40，41），
第5组勾股数中间的数为：5×（11+1）＝60，即勾股数组（11，60，61），
第6组勾股数中间的数为：6×（13+1）＝84，即勾股数组（13，84，85），
故答案为：（13，84，85）．
【点评】本题主要考查了勾股数，掌握勾股定理逆定理，找出数据之间的关系是解题的关键．
10．（2025 连云港校级三模）如图，正方形网格中，每一小格的边长为1．网格内有△PAB，则∠PAB+∠PBA的度数是　45°　 ．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】三角形；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】45°．
【分析】延长AP到C，使AP＝PC，连接BC，根据勾股定理求出AC＝PC＝BC，PC2+BC2＝PB2，根据等腰三角形的判定和勾股定理的逆定理得出△PCB是等腰直角三角形，再得出答案即可．
【解答】解：
延长AP到C，使AP＝PC，连接BC，
∵AP＝PC，
同理BC，
∵BP，
∴PC＝BC，PC2+BC2＝PB2，
∴△PCB是等腰直角三角形，
∴∠CPB＝∠CBP＝45°，
∴∠PAB+∠PBA＝∠CPB＝45°，
故答案为：45°．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角性质等知识点，能求出PC、PB、BC的长度是解此题的关键．
三．解答题（共2小题）
11．（2024秋 桐柏县期末）如图，AD⊥CD，AB＝13，BC＝12，AD＝3，CD＝4，
（1）设∠CAB＝α，求∠B；（用α表示）
（2）求四边形ABCD的面积．
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】（1）90°﹣α；
（2）36．
【分析】（1）由AD⊥CD，AD＝3，CD＝4，根据勾股定理可得AC＝5，再根据勾股定理逆定理可判断△ACB是直角三角形，利用∠CAB＝α，即可得到∠B的度数；
（2）由（1）中可知△ADC，△ACB都为直角三角形，四边形ABCD的面积等于△ADC，△ACB面积的和，利用三角形面积公式计算即可得到答案．
【解答】解：（1）∵AD⊥CD，AD＝3，CD＝4，
∴，
∵AB＝13，BC＝12，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴ACB＝90°，
∵∠CAB＝α，
∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣α；
（2）由图可得：四边形ABCD的面积＝S△CAD+S△ACB，
由（1）可知，△ACB，△ADC都为直角三角形，
∴四边形ABCD的面积．
【点评】本题考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．
12．（2024秋 兴平市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AC上的一点，BC＝15，CD＝9，BD＝12．
（1）求证：△BDC是直角三角形；
（2）求AB的长．
【考点】勾股定理的逆定理；等腰三角形的性质；勾股定理．
【专题】证明题；等腰三角形与直角三角形；几何直观；推理能力．
【答案】（1）证明：∵BC＝15，CD＝9，BD＝12，
∴BC2＝152＝CD2+BD2＝92+122，
∴∠BDC＝90°，
故△BDC是直角三角形；
（2）．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论；
（2）设AB＝AC＝x，则AD＝x﹣9，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵BC＝15，CD＝9，BD＝12，
∴BC2＝152＝225＝CD2+BD2＝92+122，
∴∠BDC＝90°，
故△BDC是直角三角形；
（2）解：设AB＝AC＝x，则AD＝x﹣9，
∵∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴AB2＝AD2+BD2，
∴x2＝（x﹣9）2+122，即18x＝225，
解得．
故AB的长为．
【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键．

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