资源简介

初中数学
线段、角的轴对称性
垂直平分线的判定与性质
角平分线的判定与性质
题型分类训练（三）
【题型9】 角平分线与垂直平分线的综合运用
【题型10】 角平分线与垂直平分线有关的作图题
【题型9 角平分线与垂直平分线的综合运用】
1.如图，平分，，垂足为E，交的延长线于点F，若恰好平分．则下列结论中：①是△ABC的高；②是△ABC的中线；③；④．其中正确的个数有（ ）.
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2.如图，在△ABC中，和的平分线，BF相交于，交BC于，BF交于，过点作于，下列结论中：①；②当时，AF+BE=AB；③OE=OF；④若，，则，正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
3.如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的个数（　　）
①CP平分∠ACF；②∠ABC+2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP+S△NCP．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4.如图，已知△ABC中，，，分别平分，，P为，的交点，则以下结论中：①，②，③，④P到边与边的距离相等，⑤，正确的结论有（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①④⑤
5．如图，△ABC的外角∠ACN，∠MAC的平分线CP，AP交于点P，PE⊥BM于点E，PF⊥BN于点F，下列结论中：①△ABC周长为2BE；②∠EPF＝2∠APC；③连接EF，则EF垂直平分线段BP；④△PAC的面积为△EAP与△FCP的面积和；⑤2∠CPB＝∠BAC．其中正确的是 （写序号）
6.如图，任意画一个∠BAC=60°的△ABC，再分别作△ABC的两条角平分线BE和CD，BE和CD相交于点P，连接 AP，有以下结论:
①∠BPC=120°；②AP平分∠BAC；③AD=AE；④PD=PE；⑤BD+CE=BC.
其中正确的结论为 （填序号）.
7.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC于点E，交AD于点F，下面结论：①∠BAD=∠C；②∠AFB=∠BEC；③S△BCE=BC·AE；④∠CAD=2∠CBE．其中正确结论的序号是 .

8.如图，点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：

①PM=PN恒成立；②△OMN的周长不变；③OM+ON的值不变；④四边形PMON的面积不变，其中正确的为 .（请填写正确结论前面的序号）．
9.如图，在△ABC中，∠A=60°（∠ABC＞∠A），角平分线BD、CE交于点O，OF⊥AB于点F．下列结论；①①S△BOC：S△BOE=BC：BE；②∠EOF=∠ABC-∠A；③BE+CD=BC；④S四边形BEDC=2S△BOC+S△EDO，其中正确结论是 ．

10.如图1，射线BD交△ABC的外角平分线CE于点P，已知∠A=78°，∠BPC=39°，BC=7，AB=4．
(1)求证：BD平分∠ABC；
(2)如图2，AC的垂直平分线交BD于点Q，交AC于点G，QM⊥BC于点M，求MC的长度．
11.在△ABC中，∠BAC=60°，线段BF、CE分别平分、交于点G．

(1)如图1，求的度数；
(2)如图2，求证：；
(3)如图3，过点C作交延长线于点D，连接，点N在延长线上，连接交于点，使，若，，求线段的长．
12.如图，OF是的平分线，点A在射线上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，点C，连接AB，PB．
(1)如图1，请指出AB与PB的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由．
13.角平分线性质定理描述了角平分线上的点到角两边距离的关系，小储发现将角平分线放在三角形中，有一些新的发现，请完成下列探索过程：

【知识回顾】
（1）如图1，P是∠BOA的平分线上的一点，于点，作于点，试证：
【深入探究】
（2）如图2，在△ABC中，为的角平分线交于于点，其中，求．
【应用迁移】
（3）如图3，Rt△ABC中，的角平分线与的中线交于点F，P为中点，连接，若CP=4，S△BFP=20，则AB的长度为__________．
14.【了解概念】如图1，已知A，B为直线MN同侧的两点，点P为直线的一点，连接，，若，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”．
(1)【理解运用】如图2，在△ABC中，D为上一点，点D，E关于直线对称，连接并延长至点F，判断点B是否为点D，F关于直线AB的“等角点”，并说明理由；
(2)【拓展提升】
如图2，在（1）的条件下，若，，点Q是射线上一点，且点D，Q关于直线的“等角点”为点C，请利用尺规在图2中确定点Q的位置，并求出的度数；
(3)【拓展提升】
如图3，在△ABC中，，的平分线交于点O，点O到AC的距离为1，直线l垂直平分边，点P为点O，B关于直线l“等角点”，连接，，当时，的值为 　 　．
【题型10 角平分线与垂直平分线有关的作图题】
15.尺规作图，（要求：用直尺和圆规作图，保留作图痕迹．）
（1）如图①，已知P是直线l外一点，在直线l上求作一点Q，使得直线PQ⊥l垂足为Q．
（2）如图②，在直线MN上找一点C点，使点C到射线OA和OB的距离相等．
（3）如图③，在AB上找一点P，使点P到M、N两点的距离相等．
（4）如图④，在AC边上找一点E，使点E到点C的距离等于E到AB边的距离．
16.已知直线l及其两侧两点A、B，如图．
（1）在直线l上求一点P，使PA＝PB；（2）在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB．
（以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法）
17.如图，已知，请用无刻度直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）：
（1）在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点与点能重合，请在图①中作出点；
（2）在边上找一点，使得：将沿着过点的某一条直线折叠，点能落在边上的点处，且，请在图②中作出点.
18.利用网格线作图：在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等．然后，在射线AP上找一点Q，使QB＝QC．
19.如图，一个港湾内有M，N两个小岛，在N岛上的船公每天都要用渡船把M岛上的居民先送一部分到北岸上班，再接送剩下的一部分到南岸上班，然后回到N岛上的家中休息，试问怎样确定两岸的码头，才能使渡船行驶的路程最短.
20.（1）如图（1），在AB直线一侧有C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由；
（2）如图（2），在∠AOB内部找一点P，是否存在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由；
（3）如图（3），在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N四点组成周长最短，找出E、F两点，并说明理由.
21.如图，直线表示三条互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，可供选择的地址有几处？
22.如图，在规格为8×8的边长为1个单位的正方形网格中（每个小正方形的边长为1），△ABC的三个顶点都在格点上，且直线m、n互相垂直．
（1）画出△ABC关于直线n的对称图形△A′B′C′；
（2）直线m上存在一点P，使△APB的周长最小；
①在直线m上作出该点P；（保留画图痕迹）
②△APB的周长的最小值为　 　．（直接写出结果）
23.如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点．已知△ABC的顶点均在格点上．
(1)画出格点三角形ABC关于直线DE对称的△A'B'C'；
(2)△A'B'C'的面积是 ；
(3)在直线DE上找出点P，使| PA－PC |最大，并求出最大值为 ．（保留作图痕迹）
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案 B D D C ①②④⑤ ①②④⑤ ①②③④ ①③④ ①③④
10 【答案】(1)见解析；(2)MC=1.5 【详解】（1）证明：∵∠ACF=∠A+∠ABF，∠ECF=∠BPC+∠DBF， ∴∠ABF=∠ACF-78°，∠DBF=∠ECF-39°， ∵CE平分∠ACF， ∴∠ACF=2∠ECF， ∴∠ABF=2∠ECF-78°=2（∠ECF-39°）=2∠DBF， ∴BD平分∠ABC； （2）解：连接AQ，CQ，过点Q作BA的垂线交BA的延长线于N， ∵QG垂直平分AC， ∴AQ=CQ， ∵BD平分∠ABC，QM⊥BC，QN⊥BA， ∴QM=QN， ∴Rt△QNA≌Rt△QMC（HL）， ∴NA=MC， ∵QM=QN，BQ=BQ， ∴Rt△QNB≌Rt△QMB（HL）， ∴NB=MB， ∴BC=BM+MC=BN+MC=AB+AN+MC， ∴7=4+2MC， ∴MC=1.5．
11 【答案】(1)；(2)见解析；(3)5. 【详解】（1）解：在△ABC中，， ∵ ∴， ∵平分、平分， ∴，， ∴， 在△BGC中，， ∴． （2）解：作平分交于点，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：作交延长线于点，作交延长线于点，作于点， 如图所示： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ， ， ∴， ∵， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 作于点，于点，于点， ∵， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴．
12 【答案】(1)，理由见解析；(2)存在，理由见解析. 【详解】（1）解： 理由如下：连接BQ ∵BC垂直平分OQ ∴ ∴ ∵OF平分 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）存在，理由：如图，连接， ∵垂直平分， ∴， 在△BQC和△BOC中， ∴（） ∴， ∵平分， ， ∴， ∴， ∴， 在△AOB和△PQB中， ∴（）， ∴．
13 【答案】（1）见解析；（2）；（3）10 【详解】（1）证明：， ， 在△POD和△POE中， ， ∴△POD≌△POE（AAS）， （2）解：如图，过点作于点，作于点， 平分， ， ， ， 同理可证， ∴． ， ， 设，则 ， ， ； （3）解：过E作于G，连接， ∵P为中点， ∴， 设， ∵是边上的中线， ∴设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：10．
14 【答案】(1)点B是点D，F关于直线AB的“等角点”；(2)；(3). 【详解】（1）点B是点D，F关于直线AB的“等角点”，理由如下： ∵D、E关于AB对称， ∴， ， ∴， ∵∠ABE=∠MBF， ∴∠ABC=∠MBF， ∴点B是点D，F关于直线AB的“等角点”； （2）如图2， ∵， ， ∴． ∵点D，Q关于直线，的“等角点”分别为点B和点C， ∴， ∴， ∴； （3）如图3，连接， ∵直线l垂直平分， ∴， ∴∠BPK=∠CPK， ∵点P为点O，B关于直线“等角点”， ∴∠OPT=∠BPK， ∴∠CPK=∠OPT， ∴O、P、C共线， ∴， 作于D， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴．
15 【解答】（1）如图①中，根据要求作出图形； （2）如图②中，作∠AOB的角平分线交MN于点C，点C即为所求； （3）如图③中，作线段MN的垂直平分线交AB于点P，点P即为所求； （4）如图④中，过C作AC的垂线交AB的延长线于D，再作∠ADC的平分线，根据角平分线的性质可证，E到AB的距离和E到CD的距离相等，也即E到点C的距离等于E到AB的距离，E为所求．
16 【答案】见试题解答内容 【解答】解：
17 【答案】（1）作线段BC的垂直平分线，交BC于点M，即为所求．点M如图①所示： （2）过点B作BO⊥BC，交CA的延长线于点O，作∠BOC的平分线交BC于点N，即为所求．点N如图②所示：
18 【答案】解：如图，点P就是所要求作的到AB和AC的距离相等的点，点Q就是所要求作的使QB＝QC的点．
19 如下图所示，
20 如下图所示，
21 解答：4处，如下图所示：
22 （1）如图△A'B'C'为所求图形. （2）①如图:点P为所求点； ②;
23 （1）如图△A'B'C'为所求图形. （2）S△A'B'C'=5； （3）延长AC，交直线DE于点P，则点P即为所求，最大值为；

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