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2.2 平方根与立方根
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 射洪市期末）下列说法正确的是（　　）
A．9的平方根是3 B．
C．4的算术平方根是2 D．9的立方根是3
2．（2024秋 安岳县期末）已知，则（a+b）5的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
3．（2024秋 东区期末）49的平方根是（　　）
A．±7 B．7 C．± D．
4．（2024秋 海州区校级期末）下列各式中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024秋 郴州期末）已知某物体的质量m，其体积，则它的密度ρ为（　　）
A．10g/cm3 B． C．103g/cm D．152g/cm
6．（2024秋 淅川县期末）下列说法中正确的是（　　）
A．±4 B．0.09的平方根是0.3
C．1的立方根是±1 D．0的立方根是0
7．（2024秋 安化县期末）下列说法正确的是（　　）
A．4的算术平方根是2
B．的平方根是±8
C．立方根等于它本身的数只有1
D．正数的平方根有两个，立方根也有两个
8．（2025 裕华区校级开学）已知有一个数值转换器，其流程如图所示，当输入x的值是﹣64时，输出y的值是（　　）
A．﹣4 B． C．﹣2 D．
二．填空题（共3小题）
9．（2025 成都校级开学）已知一个正数的两个平方根分别是5﹣a和2a﹣1，那么a的值为　 　 ，这个正数为　 　 ．
10．（2025 广平县校级开学）如图，已知正方形ABCD与正方形GCEF，其面积之和为31，长方形HBCG的面积为9，则长方形HBCG的周长为　 　 ．
11．（2025春 龙胜县期中）如果，，那么　 　 ．
三．解答题（共2小题）
12．（2024秋 道县期末）已知实数a，b，c满足：，求：
（1）a，b，c的值．
（2）的算术平方根．
13．（2025春 琼海校级月考）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．
（1）请证明2，8，18这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根；
（2）已知4，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值．
2.2 平方根与立方根
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 射洪市期末）下列说法正确的是（　　）
A．9的平方根是3 B．
C．4的算术平方根是2 D．9的立方根是3
【考点】立方根；平方根；算术平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】C
【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义逐项判断即可．
【解答】解：A．9的平方根是±3，不符合题意；
B.，不符合题意；
C．4的算术平方根是2，符合题意；
D．9的立方根是，不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了平方根、算术平方根和立方根的定义，熟练掌握平方根、算术平方根和立方根的定义是解题的关键．
2．（2024秋 安岳县期末）已知，则（a+b）5的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．
【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】先根据完全平方公式可得，再根据偶次方和算术平方根的非负性可得a+2＝0，b﹣1＝0，从而可得a＝﹣2，b＝1，然后代入计算即可得．
【解答】解：由题意可得：，
∴a+2＝0，b﹣1＝0，
∴a＝﹣2，b＝1，
∴原式＝（﹣2+1）5＝（﹣1）5＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查了完全平方公式、偶次方和算术平方根的非负性等知识，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
3．（2024秋 东区期末）49的平方根是（　　）
A．±7 B．7 C．± D．
【考点】平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】根据平方根的定义即可得出答案．
【解答】解：49的平方根是±7．
故选：A．
【点评】本题考查了平方根，掌握一个正数的平方根有2个是解题的关键．
4．（2024秋 海州区校级期末）下列各式中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】算术平方根．
【专题】常规题型．
【答案】D
【分析】根据算术平方根的定义对各选项分析判断后利用排除法．
【解答】解：A、2，故本选项错误；
B、3，故本选项错误；
C、9，故本选项错误；
D、13，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了算术平方根的定义，对各选项分别计算即可判断，是基础题，难度不大．
5．（2024秋 郴州期末）已知某物体的质量m，其体积，则它的密度ρ为（　　）
A．10g/cm3 B． C．103g/cm D．152g/cm
【考点】算术平方根．
【专题】计算题；运算能力．
【答案】B
【分析】利用二次根式的运算法则计算．
【解答】解：ρ＝55，
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式，解题的关键是掌握二次根式的计算法则．
6．（2024秋 淅川县期末）下列说法中正确的是（　　）
A．±4 B．0.09的平方根是0.3
C．1的立方根是±1 D．0的立方根是0
【考点】立方根；平方根；算术平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】D
【分析】根据算术平方根的定义判断A选项，根据平方根的定义判断B选项，根据立方根的定义判断C，D选项．
【解答】解：A选项，4，故该选项不符合题意；
B选项，0.09的平方根是±0.3，故该选项不符合题意；
C选项，1的立方根是1，故该选项不符合题意；
D选项，0的立方根是0，故该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了平方根，算术平方根，立方根，注意平方根与算术平方根的区别．
7．（2024秋 安化县期末）下列说法正确的是（　　）
A．4的算术平方根是2
B．的平方根是±8
C．立方根等于它本身的数只有1
D．正数的平方根有两个，立方根也有两个
【考点】立方根；平方根；算术平方根．
【专题】整式；运算能力．
【答案】A
【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义，逐项分析判断即可求解．
【解答】解：A．4的算术平方根是2，选项说法正确，符合题意；
B． ，8的平方根是，选项说法错误，不符合题意；
C．立方根等于它本身的数是±1和0，选项说法错误，不符合题意；
D．正数的平方根有两个，立方根有1个，选项说法错误，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了算术平方根，平方根，立方根，掌握算术平方根，平方根，立方根的概念是关键．
8．（2025 裕华区校级开学）已知有一个数值转换器，其流程如图所示，当输入x的值是﹣64时，输出y的值是（　　）
A．﹣4 B． C．﹣2 D．
【考点】立方根；无理数；有理数．
【专题】实数；运算能力．
【答案】B
【分析】根据数字转换器的流程，对输入的x值进行处理，首先去立方根，然后判断结果是有理数还是无理数，如果是有理数则再次去立方根，直到结果为无理数．
【解答】解：∵（﹣4）3＝﹣64，
∴﹣64的立方根是﹣4，﹣4是有理数，
∴﹣4的立方根是．
故选：B．
【点评】本题考查了立方根，有理数定义，无理数定义，掌握立方根定义，有理数定义，无理数定义是解题的关键．
二．填空题（共3小题）
9．（2025 成都校级开学）已知一个正数的两个平方根分别是5﹣a和2a﹣1，那么a的值为　﹣4　 ，这个正数为　81　 ．
【考点】平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】﹣4，81．
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，它们的和等于0，可得：（5﹣a）+（2a﹣1）＝0，据此求出a的值是多少，进而求出这个正数是多少即可．
【解答】解：由题意可得：（5﹣a）+（2a﹣1）＝0，
a＝﹣4，
∴这个正数是：[5﹣（﹣4）]2＝81．
故答案为：﹣4，81．
【点评】此题主要考查了平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
10．（2025 广平县校级开学）如图，已知正方形ABCD与正方形GCEF，其面积之和为31，长方形HBCG的面积为9，则长方形HBCG的周长为　14　 ．
【考点】算术平方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】14．
【分析】设正方形ABCD的边长为a（a＞0），正方形GCEF的边长为b（b＞0），根据题意得出a2+b2＝31，ab＝9，再根据完全平方公式得出（a+b）2＝a2+b2+2ab＝31+2×9＝49，求出a+b＝7即可得出答案．
【解答】解：设正方形ABCD的边长为a（a＞0），正方形GCEF的边长为b（b＞0），
∵正方形ABCD与正方形GCEF，其面积之和为31，长方形HBCG的面积为9，
∴a2+b2＝31，ab＝9，
∴（a+b）2
＝a2+b2+2ab
＝31+2×9
＝31+18
＝49，
∵a+b＞0，
∴a+b＝7，
∴长方形HBCG的周长为：2（a+b）＝2×7＝14，
故答案为：14．
【点评】本题主要考查了算术平方根，解题的关键是熟练掌握正方形、长方形的面积公式和完全平方公式．
11．（2025春 龙胜县期中）如果，，那么　13.33　 ．
【考点】立方根．
【专题】实数；运算能力．
【答案】13.33．
【分析】根据立方根的被开方数向右移动三位，结果向右移动一位得出结果．
【解答】解：∵，，
∴13.33，
故答案为：13.33．
【点评】本题考查立方根，掌握立方根的被开方数移动的规律是解题关键．
三．解答题（共2小题）
12.（2024秋 道县期末）已知实数a，b，c满足：，求：
（1）a，b，c的值．
（2）的算术平方根．
【考点】算术平方根；非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）a＝﹣4，b＝5，c＝3；
（2）．
【分析】（1）原式可化为，由非负数的性质即可求解；
（2）由（1）中所求a，b，c的值，代入即可求解．
【解答】解：（1）∵，
∴，
∵，|5﹣b|≥0，（c﹣3）2≥0，
∴，|5﹣b|＝0，（c﹣3）2＝0，
∴a＝﹣4，b＝5，c＝3；
（2）由（1）知a＝﹣4，b＝5，c＝3，
∴a+b+c＝﹣4+5+3＝4，
∴2，
即的算术平方根是．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为零，则它们都为零；求算术平方根；掌握算术平方根、绝对值与平方数的非负性质是解题的关键．
13．（2025春 琼海校级月考）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．
（1）请证明2，8，18这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根；
（2）已知4，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值．
【考点】算术平方根．
【专题】新定义；分类讨论；实数；运算能力．
【答案】（1）证明过程见解答，最小算术平方根是4，最大算术平方根是12；
（2）a的值为1或100．
【分析】（1）根据“和谐组合”的定义分别求解算术平方根即可；
（2）根据题意分3种情况讨论，然后根据最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，分别列方程求解即可．
【解答】（1）证明：∵4，6，12，
∴2，8，18这三个数是“和谐组合”，
故最小算术平方根是4，最大算术平方根是12；
（2）解：分三种情况：①当4≤a≤25时，可得，解得：a＝0（舍去），
②当a≤4＜25时，可得，解得：a＝1，经检验符合题意，
③当4＜25≤a时，可得，解得：a＝100，经检验符合题意．
综上所述，a的值为1或100．
【点评】此题考查了算术平方根，掌握算术平方根的定义是关键．

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