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3.3 探索与表达规律
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 彝良县期末）按照一定规律排列的单项式：x，﹣x2，x3，﹣x4，x5…按照上述规律，第2024个单项式是（　　）
A．﹣x2024 B．x2024 C．﹣x2025 D．x2025
2．（2024秋 隆阳区期末）下面每个图中的四个数都是按相同规律填写的：
根据此规律确定x的值为（　　）
A．191 B．189 C．200 D．186
3．（2024秋 东港区校级期末）如图，数轴上O，A两点的距离为12，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处．按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6…An（n≥3，n是整数）处，问经过这样2024次跳动后的点A2024与A1A的中点的距离是（　　）
A．12﹣3 B．9﹣3
C．12﹣3 D．9﹣3
4．（2024秋 杨陵区期末）如图，小奕用火柴棒摆图形，第1个图形用了6根火柴棒；第2个图形用了11根火柴棒；第3个图形用了16根火柴棒…照这样的规律摆下去，第10个图形需要火柴棒的根数是（　　）
A．49根 B．50根 C．51根 D．60根
5．（2024秋 泰山区期末）已知a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的“哈利数”是：，﹣2的“哈利数”是，已知a1＝3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，a4是a3的“哈利数”，依此类推，则a2024＝（　　）
A．3 B． C．﹣2 D．
6．（2024秋 盐边县期末）如图，用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形，则图形中含有a个三角形，需要火柴棍的根数为（　　）
A．2a﹣1 B．2a C．2a+1 D．2a+2
7．（2024秋 德阳期末）如图所示，用火柴棒摆“金鱼”，图①中有8根火柴棒，图②中有14根火柴棒，图③中有20根火柴棒，…，按此规律，图⑨中火柴棒的根数是（　　）
A．38 B．44 C．50 D．56
8．（2024秋 齐河县期末）云南少数民族服饰以其精美的花纹和艳丽的色彩越来越受到追求独立与个性的设计师的喜爱．某民族服饰的花边均是由若干个平移形成的有规律的图案，如图，第①个图案由4个组成，第②个图案由7个中组成，第③个图案由10个中组成，…，按此规律排列下去，第100个图案中的个数为（　　）
A．303 B．299 C．3100+1 D．301
二．填空题（共5小题）
9．（2025 九龙坡区校级开学）将自然数列按照如图方式排列，如果2算作是第一次拐弯，那么第50次拐弯的数是 　 　 ．
10．（2024秋 泰山区期末）观察下列正方形中四个数，分别具有的一定规律，根据规律可得　 　 ．
11．（2025 南岗区校级模拟）如图，按一定规律摆放小黑点，则第6个图案中的小黑点个数为　 　 个．
12．（2024秋 古蔺县期末）如图，每个图都是由同样大小的正方形按一定规律组成，其中第①个图2个正方形，第②个图6个正方形，第③个图12个正方形，……第n个图中正方形有　 　 个（用n表示）
13．（2024秋 阳谷县期末）观察一组按规律排列的代数式：a+2b，a2﹣2b3，a3+2b5，a4﹣2b7，…，第n个式子是 　 　 ．（n为正整数）
三．解答题（共2小题）
14．（2024秋 腾冲市期末）观察以下各等式的规律：
第一个等式：，第二个等式：，第三个等式：，…．请根据上述等式的规律回答下列问题：
（1）猜想第n个等式（用含n的代数式表示），并证明你的猜想是正确的；
（2）计算：的值．
15．（2024秋 荔湾区校级期末）分别观察下列三组图形，并填写表格：
如图1所示，在由一些三角形组成的图形中，每条边上都排列了一些点，其中每个图形中所有点的总数记为Sn，Sn叫做第n个“三角形数”（n为整数，且n＞1）．类似的也可以用点排出一些“四边形数”，“五边形数”，如图2，图3所示．
第n个多边形 类型 n＝2 n＝3 n＝4 n＝5 n＝6 n＝7 … n＝k
三角形数 3 6 10 15 28 … a
四边形数 4 9 16 25 49 … b
五边形数 5 12 22 35 70 …
（1）请你将第6个“三角形数”，第6个“四边形数”，第6个“五边形数”，填写在上面的表格中；
（2）若第k个“三角形数”a，第k个“四边形数”为b，请用含a，b的代数式表示第k个“五边形数”，并填入表格中．
3.3 探索与表达规律
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 彝良县期末）按照一定规律排列的单项式：x，﹣x2，x3，﹣x4，x5…按照上述规律，第2024个单项式是（　　）
A．﹣x2024 B．x2024 C．﹣x2025 D．x2025
【考点】规律型：数字的变化类；单项式．
【专题】规律型．
【答案】A
【分析】先观察指数规律与符号规律，再进行解答即可．如果单项式的符号是正、负相间隔出现，则需要用（﹣1）n解决．
【解答】解：∵x＝（﹣1）2x1，﹣x2＝（﹣1）3x2，x3＝（﹣1）4x3，﹣x4＝（﹣1）5x4，x5＝（﹣1）6x5，
∴第n个单项式为（﹣1）n+1xn，
∴第2024个单项式为（﹣1）2024+1x2024＝﹣x2024．
故选：A．
【点评】本题考查了与单项式有关的规律探索，正确找出规律是解题的关键．
2．（2024秋 隆阳区期末）下面每个图中的四个数都是按相同规律填写的：
根据此规律确定x的值为（　　）
A．191 B．189 C．200 D．186
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型．
【答案】A
【分析】先根据4＝1×2+2，6＝2×2+2，8＝3×2+2，10＝4×2+2确定20＝2a+2，求出a，设a的下方数为b，由表格可得b＝a+1＝10，最后由7＝2×4﹣1，16＝3×6﹣2，29＝4×8﹣3，46＝5×10﹣4， ，得到x＝20×10﹣9＝191．
【解答】解：观察表格可得第n个表格的左上角的数等于n，
∵4＝1×2+2，6＝2×2+2，8＝3×2+2，10＝4×2+2， ，
∴20＝2a+2，
∴a＝9，
设a的下方数为b，
由表格可得b＝a+1＝10，
∵7＝2×4﹣1，16＝3×6﹣2，29＝4×8﹣3，46＝5×10﹣4， ，x＝20×10﹣9＝191，
故选：A．
【点评】此题主要考查了数字的变化规律，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律是关键．
3．（2024秋 东港区校级期末）如图，数轴上O，A两点的距离为12，一动点P从点A出发，按以下规律跳动：第1次跳动到AO的中点A1处，第2次从A1点跳动到A1O的中点A2处，第3次从A2点跳动到A2O的中点A3处．按照这样的规律继续跳动到点A4，A5，A6…An（n≥3，n是整数）处，问经过这样2024次跳动后的点A2024与A1A的中点的距离是（　　）
A．12﹣3 B．9﹣3
C．12﹣3 D．9﹣3
【考点】规律型：图形的变化类；数轴；有理数的混合运算．
【专题】规律型．
【答案】B
【分析】根据题意，第一次跳动到OA的中点A1处，离原点的长度为，第二次从A1处跳动到A2处，离原点的长度为，可推出跳动n次距离原点的长度为，即点An表示的数为，则点A2024表示的数为，再推出A1A的中点表示的数为9，即可解答．
【解答】解：∵数轴上O，A两点的距离为12，
∴点A表示的数为12，
A1表示的数为，
A2表示的数为，
A3表示的数为，
A4表示的数为，
……，
An表示的数为，
∴经过这样2024次跳动后的点A2024表示的数为，
∵点A表示的数为12，A1表示的数为6，
∴A1A的中点表示的数为，
∴经过这样2024次跳动后的点与A1A的中点的距离为：
，
故选：B．
【点评】本题主要考查了图形类的规律，数轴上两点的距离．熟练掌握各个点跳动的规律，是解题关键．
4．（2024秋 杨陵区期末）如图，小奕用火柴棒摆图形，第1个图形用了6根火柴棒；第2个图形用了11根火柴棒；第3个图形用了16根火柴棒…照这样的规律摆下去，第10个图形需要火柴棒的根数是（　　）
A．49根 B．50根 C．51根 D．60根
【考点】规律型：图形的变化类．
【专题】猜想归纳；推理能力．
【答案】C
【分析】根据所给图形，依次求出所需火柴棒的根数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
第1个图形需要的火柴棒根数为：6＝1×5+1；
第2个图形需要的火柴棒根数为：11＝2×5+1；
第3个图形需要的火柴棒根数为：16＝3×5+1；
…，
所以第n个图形需要的火柴棒根数为（5n+1）根．
当n＝10时，
5n+1＝5×10+1＝51（根），
即第10个图形需要的火柴棒根数为51根．
故选：C．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现所需火柴棒的根数依次增加5是解题的关键．
5．（2024秋 泰山区期末）已知a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的“哈利数”是：，﹣2的“哈利数”是，已知a1＝3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，a4是a3的“哈利数”，依此类推，则a2024＝（　　）
A．3 B． C．﹣2 D．
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；运算能力．
【答案】D
【分析】先求出数列的前5个数得出该数列每4个数为一周期循环，据此可得．
【解答】解：∵a1＝3，
∴，
，
，
，
∴该数列每4个数为1周期循环，
∵2024÷4＝506，
∴，
故选：D．
【点评】此题主要考查规律型：数字的变化类，能根据题中提供材料寻找规律方法，熟练的进行计算是解题的关键．
6．（2024秋 盐边县期末）如图，用火柴棍拼成一排由三角形组成的图形，则图形中含有a个三角形，需要火柴棍的根数为（　　）
A．2a﹣1 B．2a C．2a+1 D．2a+2
【考点】规律型：图形的变化类．
【专题】规律型；运算能力．
【答案】C
【分析】根据题意发现规律即可．
【解答】解：根据题意得：第一个三角形需要3＝2×1+1根火柴棍；
第二个三角形共需要5＝2×2+1根火柴棍；
第三个图形共需要7＝2×3+1根火柴棍；
，
第a个三角形共需要（2a+1）根火柴棍，
故选：C．
【点评】本题考查了探索数字和图形的规律，解题的关键是明确找规律的常用的方法是通过一些特殊的图形变化，发现规律，然后推广到一般情况．
7．（2024秋 德阳期末）如图所示，用火柴棒摆“金鱼”，图①中有8根火柴棒，图②中有14根火柴棒，图③中有20根火柴棒，…，按此规律，图⑨中火柴棒的根数是（　　）
A．38 B．44 C．50 D．56
【考点】规律型：图形的变化类．
【专题】规律型；运算能力．
【答案】D
【分析】根据所给图形，依次求出图形中火柴棒的根数，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由所给图形可知，
图①中火柴棒的根数为8；
图②中火柴棒的根数为14；
图③中火柴棒的根数为20；
…，
所以图n中火柴棒的根数为（6n+2）个，
当n＝9时，6n+2＝56（根），
故选：D．
【点评】本题主要考查了图形变化的规律，发现规律是关键．
8．（2024秋 齐河县期末）云南少数民族服饰以其精美的花纹和艳丽的色彩越来越受到追求独立与个性的设计师的喜爱．某民族服饰的花边均是由若干个平移形成的有规律的图案，如图，第①个图案由4个组成，第②个图案由7个中组成，第③个图案由10个中组成，…，按此规律排列下去，第100个图案中的个数为（　　）
A．303 B．299 C．3100+1 D．301
【考点】规律型：图形的变化类．
【专题】规律型；运算能力．
【答案】D
【分析】根据所给图形总结规律即可．
【解答】解：∵第1个图案由4个基础图形组成，
第2个图案由7个基础图形组成，即7＝4+3＝4+3×1，
第3个图案由10个基础图形组成，10＝4+3+3＝4+3×2，
∴第n个图案中基础图形的个数为：4+3（n﹣1）＝3n+1，
∴第100图案中的个数为3×100+1＝301，
故选：D．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，解答的关键是发现基础图形数量的变化规律．
二．填空题（共5小题）
9．（2025 九龙坡区校级开学）将自然数列按照如图方式排列，如果2算作是第一次拐弯，那么第50次拐弯的数是 　651　 ．
【考点】规律型：数字的变化类．
【专题】规律型；运算能力；推理能力．
【答案】651．
【分析】第一拐弯处是2，第二次拐弯处是3，第三次拐弯处是5，第四次拐弯处是7，第五次拐弯处是10…可以得到n个拐弯处的数．当n为奇数时，1+（1+3+5+…+n）；当n为偶数时，．第50次为偶数，代入即可计算出此处拐弯处的数．
【解答】解：第一拐弯处是2，第二次拐弯处是3，第三次拐弯处是5，第四次拐弯处是7，第五次拐弯处是10…
可以得到n个拐弯处的数．当n为奇数时，1+（1+3+5+…+n）；
当n为偶数时，．
第50次为偶数，
＝1+2×（1+2+3+…+50÷2）
＝1+2×（1+2+3+…+25）
＝651．
答：第50次拐弯的数是651．
故答案为：651．
【点评】本题考查规律型：数字的变化类，解答此题的关键是根据图找出拐弯外数的数与次数的规律，然后再根据规律解答．
10．（2024秋 泰山区期末）观察下列正方形中四个数，分别具有的一定规律，根据规律可得　　 ．
【考点】规律型：数字的变化类；代数式求值．
【专题】规律型．
【答案】．
【分析】观察可知，右下角的数等于其他三个数的和，且上面两个数是从1开始的自然数，左下角的数是从2开始的自然数，据此求出a＝79，b＝41，则m＝a+b+79＝41+80+79＝200，再代值计算即可．
【解答】解：1+2+2＝5，
3+3+4＝10，
4+5+6＝15，
以此类推可知，右下角的数等于其他三个数的和，
观察可知上面两个数是从1开始的自然数，左下角的数是从2开始的自然数，即第n幅图，右上角的数为2n，左下角的数为n+1，左上角的数为2n﹣1，
当2n＝80时，解得n＝40，
把n＝40，代入2n﹣1＝a，n+1＝b得，
∴a＝79，b＝41，
∴m＝a+b+79＝79+41+80＝200，
∴，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了数字类的规律探索，代数式求值，正确找出规律是解题的关键．
11．（2025 南岗区校级模拟）如图，按一定规律摆放小黑点，则第6个图案中的小黑点个数为　40　 个．
【考点】规律型：图形的变化类．
【专题】规律型；运算能力．
【答案】40．
【分析】由题意可知第1个图案有小黑点3×1＝3个；第2个图案有小黑点4×（2﹣1）＝4个；第3个图案有小黑点5×（3﹣1）＝10个；第4个图案有小黑点6×（4﹣1）＝18个；……；第n个图案有小黑点（n+2）（n﹣1）个（除第一个图案外）；然后问题可求解．
【解答】解：第1个图案有小黑点3个；
第2个图案有小黑点4个；
第3个图案有小黑点10个；
第4个图案有小黑点18个；
……；
∴第n个图案有小黑点（n+2）（n﹣1）个（除第一个图案外）；
∴第6个图案中的小黑点个数为（6+2）×（6﹣1）＝40（个）；
故答案为：40．
【点评】本题主要考查图形规律问题，解题的关键是找出图形的一般规律．
12．（2024秋 古蔺县期末）如图，每个图都是由同样大小的正方形按一定规律组成，其中第①个图2个正方形，第②个图6个正方形，第③个图12个正方形，……第n个图中正方形有　（n2+n）　 个（用n表示）
【考点】规律型：图形的变化类；列代数式．
【专题】规律型；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】设第n个图形中有an个正方形，观察图形，根据各图形中正方形个数的变化可找出变化规律“an＝n2+n”，此题得解．
【解答】解：设第n个图形中有an个正方形．
观察图形，可知：a1＝2，a2＝2+4＝6，a3＝2+4+6＝12，a4＝2+4+6+8＝20，…，
∴an＝2+4+6+…+（2n﹣2）+2nn2+n．
故答案为：（n2+n）．
【点评】本题考查了列代数式以及规律型：图形的变化类，根据各图形中正方形个数的变化，找出变化规律“an＝n2+n”是解题的关键．
13．（2024秋 阳谷县期末）观察一组按规律排列的代数式：a+2b，a2﹣2b3，a3+2b5，a4﹣2b7，…，第n个式子是 　an+（﹣1）n+12b2n﹣1　 ．（n为正整数）
【考点】规律型：数字的变化类；多项式．
【专题】规律型；推理能力．
【答案】an+（﹣1）n+12b2n﹣1．
【分析】根据已知的式子可以看出：每个式子的第一项中a的次数是式子的序号；第二项中b的次数是序号的2倍减1，而第二项的符号是第奇数项时是正号，第偶数项时是负号．
【解答】解：∵当n为奇数时，（﹣1）n+1＝1；
当n为偶数时，（﹣1）n+1＝﹣1，
∵每个式子的第一项中a的次数是式子的序号；第二项中b的次数是序号的2倍减1，
∴第n个式子是an+（﹣1）n+12b2n﹣1．
故答案为：an+（﹣1）n+12b2n﹣1．
【点评】本题考查了多项式规律，认真观察式子的规律是解题的关键．
三．解答题（共2小题）
14．（2024秋 腾冲市期末）观察以下各等式的规律：
第一个等式：，第二个等式：，第三个等式：，…．请根据上述等式的规律回答下列问题：
（1）猜想第n个等式（用含n的代数式表示），并证明你的猜想是正确的；
（2）计算：的值．
【考点】规律型：数字的变化类；列代数式．
【专题】规律型．
【答案】（1）第n个等式：（n为正整数），
∵右边，
又∵左边，
∴左边＝右边，
∴等式成立；
（2）．
【分析】（1）观察等式即可得第n个等式，再证明即可；
（2）根据规律计算即可．
【解答】解：（1）第n个等式：（n为正整数），
∵右边，
又∵左边，
∴左边＝右边，
∴等式成立；
（2）原式
．
【点评】本题考查了规律型﹣数字的变化类，能找出规律是解题的关键．
15．（2024秋 荔湾区校级期末）分别观察下列三组图形，并填写表格：
如图1所示，在由一些三角形组成的图形中，每条边上都排列了一些点，其中每个图形中所有点的总数记为Sn，Sn叫做第n个“三角形数”（n为整数，且n＞1）．类似的也可以用点排出一些“四边形数”，“五边形数”，如图2，图3所示．
第n个多边形 类型 n＝2 n＝3 n＝4 n＝5 n＝6 n＝7 … n＝k
三角形数 3 6 10 15 28 … a
四边形数 4 9 16 25 49 … b
五边形数 5 12 22 35 70 …
（1）请你将第6个“三角形数”，第6个“四边形数”，第6个“五边形数”，填写在上面的表格中；
（2）若第k个“三角形数”a，第k个“四边形数”为b，请用含a，b的代数式表示第k个“五边形数”，并填入表格中．
【考点】规律型：图形的变化类；列代数式．
【专题】规律型；推理能力．
【答案】（1）
第n个多边形数类型 n＝2 n＝3 n＝4 n＝5 n＝6
三角形数 3 6 10 15 21
四边形数 4 9 16 25 36
五边形数 5 12 22 35 51
（2）
第n个多边形数类型 n＝2 n＝3 n＝4 n＝5 n＝6 n＝7 … n＝k
三角形数 3 6 10 15 21 28 … a
四边形数 4 9 16 25 36 49 … b
五边形数 5 12 22 35 51 70 … 2b﹣a
【分析】（1）先观察图形的规律，然后填写表格；
（2）根据纵向数字之间的关系可得到规律．
【解答】解：（1）对于三角形数：
当n＝2时，S2＝1+2＝3，
当n＝3时，S3＝1+2+3＝6，
当n＝4时，S4＝1+2+3+4＝10，
当n＝5时，S5＝1+2+3+4+5＝15，
当n＝6时，S6＝1+2+3+4+5+6＝21；
对于四边形数：
当n＝2时，S2＝1+3＝4，
当n＝3时，S3＝1+3+5＝9，
当n＝4时，S4＝1+3+5+7＝16，
当n＝5时，S5＝1+3+5+7+9＝25，
当n＝6时，S6＝1+3+5+7+9+11＝36；
对于五边形数：
当n＝2时，S2＝1+4＝5，
当n＝3时，S3＝1+4+7＝12，
当n＝4时，S4＝1+4+7+10＝22，
当n＝5时，S5＝1+4+7+10+13＝35，
当n＝6时，S6＝1+4+7+10+13+16＝51；
则表格如下：
第n个多边形数类型 n＝2 n＝3 n＝4 n＝5 n＝6
三角形数 3 6 10 15 21
四边形数 4 9 16 25 36
五边形数 5 12 22 35 51
（2）根据表格的前几列可得：
当n＝2时，2×4﹣3＝5，
当n＝3时，2×9﹣6＝12，
当n＝4时，2×16﹣10＝22，
以此类推可得：
当n＝k时，2b﹣a，
表格如下：
第n个多边形数类型 n＝2 n＝3 n＝4 n＝5 n＝6 n＝7 … n＝k
三角形数 3 6 10 15 21 28 … a
四边形数 4 9 16 25 36 49 … b
五边形数 5 12 22 35 51 70 … 2b﹣a
【点评】本题考查了图形类规律探索、用代数式表示数、图形的规律，掌握规律是解题的关键．

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