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14.3 角的平分线
一．选择题（共8小题）
1．（2025 深圳开学）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD＝3，CD＝2，则点D到边AB的距离为（　　）
A．3 B．2 C． D．
2．（2024秋 东阿县期末）在△ABC外部取一点D，得△ABC和△DBC全等，下面是两名同学的作法：
甲：①作∠A的角平分线l；②以B为圆心，AB长为半径画弧，交l于点D，点D即为所求；
乙：①过点B作平行于AC的直线l；②过点C作平行于AB的直线m，交l于点D，点D即为所求．以下说法正确的是（　　）
A．两人都正确 B．两人都错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
3．（2024秋 凉州区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，CD＝5，△ABD的面积为30，则AB的值为（　　）
A．6 B．10 C．12 D．15
4．（2025春 成华区校级期中）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．
如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　）
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
5．（2024秋 商水县校级期末）如图，在△ABC中，AF⊥BC，通过尺规作图，得到直线DE，仔细观察作图痕迹，若∠B＝38°，则∠EAF的度数为（　　）
A．18° B．16° C．14° D．12°
6．（2024秋 灯塔市校级期末）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，延长AD至E，使AD＝DE，连接BE，△BDE的面积为10，△ABC的面积是13，则的值为（　　）
A． B． C．3 D．2
7．（2025春 周村区期末）如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（　　）
A．20 B．30 C．50 D．100
8．（2024秋 思明区校级期末）东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，△ABC是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路AB、AC的距离相等，且使得S△ABH＝S△BCH，则凉亭H是（　　）
A．∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点
B．∠BAC的角平分线与AB边上中线的交点
C．∠ABC的角平分线与AC边上中线的交点
D．∠ABC的角平分线与BC边上中线的交点
二．填空题（共5小题）
9．（2024秋 东区期末）如图，直角三角形ABC中∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，CE平分∠ACB，则ADE的周长是　 　 ．
10．（2024秋 蒸湘区校级期末）如图，∠C＝90°，∠BAD＝∠CAD，若BC＝8，BD＝5，AB＝10，则△ABD的面积为 　 　 ．
11．（2024秋 衡阳期末）如图，已知∠AOB与∠A′O′B′（∠AOB＜∠A′O′B′）给出部分尺规作图痕迹如图所示（无需补全作图痕迹），尺规作图过程如下：
（1）以O为圆心，适当长为半径做弧MN（弧MN足够长），交射线OA，OB分别于C，D两点，连结CD；
（2）以O′为圆心，OD长为半径作弧M′N′（弧M′N′足够长），交O′B′于点D′；
（3）以D′为圆心，CD长为半径作弧，交弧M′N′于点C′，作射线O′C′；若∠AOB＝40°，∠A′O′B′＝66°，当O′E为∠A′O′C′的平分线时，∠C′O′E的度数为　 　 ．
12．（2025春 双流区期末）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是 　 　 ．
13．（2025春 雁塔区校级期末）如图，△ABC的两条外角平分线BP，CP相交于点P．PE⊥AC交AC的延长线于点E．若△ABC的周长为9，PE＝2，S△BPC＝2，则S△ABC＝ 　 　 ．
三．解答题（共2小题）
14．（2025 南岗区校级开学）已知△ABC中，BE平分∠ABC，BE交AC于点E，CD平分∠ACB，交AB于点D，BE与CD交于点O．
（1）如图1．求证：；
（2）如图2，连接OA，求证：OA平分∠BAC．
15．（2024秋 海拉尔区期末）已知：在△ABC中，AD是BC边上的高．
（1）尺规作图：作∠BAC的平分线AE，交BC于点E；
（2）在（1）的条件下：若∠ABC＝105°，∠C＝45°，求∠EAD的度数．
14.3 角的平分线
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025 深圳开学）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD＝3，CD＝2，则点D到边AB的距离为（　　）
A．3 B．2 C． D．
【考点】角平分线的性质；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】由平行线的性质和等边对等角得到∠DBC＝∠ABD，然后利用角平分线的性质定理求解即可．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC（两直线平行，内错角相等），
∵AB＝AD＝3，
∴∠ADB＝∠ABD（等边对等角），
∴∠DBC＝∠ABD（等量代换），
∵∠C＝90°，CD＝2，
∴点D到边AB的距离＝CD＝2．
故选：B．
【点评】此题考查了平行线的性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
2．（2024秋 东阿县期末）在△ABC外部取一点D，得△ABC和△DBC全等，下面是两名同学的作法：
甲：①作∠A的角平分线l；②以B为圆心，AB长为半径画弧，交l于点D，点D即为所求；
乙：①过点B作平行于AC的直线l；②过点C作平行于AB的直线m，交l于点D，点D即为所求．以下说法正确的是（　　）
A．两人都正确 B．两人都错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
【考点】作图—基本作图；全等三角形的性质；角平分线的性质．
【专题】图形的全等；尺规作图；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】甲：先根据尺规作图的过程可知∠BAD＝∠CAD，AB＝BD，BC＝BC，两边的夹角不相等，所以这两个三角形不全等；乙：根据平行线的性质得∠ABC＝∠BCD，∠ACB＝∠CBD，再根据BC＝CB，可结合“角边角”得出△ABC≌△DCB，判断答案即可．
【解答】解：如图1，
根据题意可知∠BAD＝∠CAD，AB＝BD，BC＝BC，
∵两边的夹角不相等，
∴这两个三角形不全等；
如图2，
∵AB∥m，AC∥l，
∴∠ABC＝∠BCD，∠ACB＝∠CBD．
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（ASA），
综上所述，甲错误，乙正确，
故选：D．
【点评】本题主要考查了作图﹣基本作图，全等三角形的性质，角平分线的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
3．（2024秋 凉州区校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，CD＝5，△ABD的面积为30，则AB的值为（　　）
A．6 B．10 C．12 D．15
【考点】角平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】过D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质定理得到DE＝CD＝5，然后利用三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：过D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝5，
∵△ABD的面积为30，
∴，
即AB＝30，
解得AB＝12，则AB的值为12，
故选：C．
【点评】本题考查角平分线的性质，关键是角平分线性质的熟练掌握．
4．（2025春 成华区校级期中）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．
如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（　　）
A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等
C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等
D．以上均不正确
【考点】角平分线的性质；角平分线的定义．
【答案】A
【分析】过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，根据题意可得PE＝PF，再根据角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上可得OP平分∠AOB；
【解答】解：如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，
∵两把完全相同的长方形直尺，
∴PE＝PF，
∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），
故选：A．
【点评】此题主要考查了基本作图，关键是掌握角平分线的作法，以及全等三角形的判定和性质，关键是掌握角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上，全等三角形的判定定理SSS．
5．（2024秋 商水县校级期末）如图，在△ABC中，AF⊥BC，通过尺规作图，得到直线DE，仔细观察作图痕迹，若∠B＝38°，则∠EAF的度数为（　　）
A．18° B．16° C．14° D．12°
【考点】作图—基本作图；三角形内角和定理．
【专题】作图题；三角形；推理能力．
【答案】C
【分析】先根据作图得出DE是AB的垂直平分线，得出AE＝BE，推出∠BAE＝∠B＝38°，再根据垂直的定义得出∠AFB＝90°，求出∠BAF＝52°，最后可得出答案．
【解答】解：根据作图可知，DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠BAE＝∠B＝38°，
由条件可知∠AFB＝90°，
∴∠BAF＝90°﹣∠B＝90°﹣38°＝52°，
∴∠EAF＝∠BAF﹣∠EAF＝14°，
故选：C．
【点评】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角，垂直的定义，熟练掌握以上知识点是关键．
6．（2024秋 灯塔市校级期末）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，延长AD至E，使AD＝DE，连接BE，△BDE的面积为10，△ABC的面积是13，则的值为（　　）
A． B． C．3 D．2
【考点】角平分线的性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】A
【分析】由角平分线的性质可得DG＝DH，由三角形的面积关系可求解．
【解答】解：如图，过点D作DG⊥AC，交AC的延长线于G，DH⊥AB于H，
∵AD＝DE，△BDE的面积为10，
∴S△ABD＝S△BDE＝10，
∵△ABC的面积是13，
∴△ACD的面积是13﹣10＝3，
∵AD是∠BAC的平分线，DH⊥AB，DG⊥AC，
∴DG＝DH，
∴，
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，添加恰当辅助线是解题的关键．
7．（2025春 周村区期末）如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（　　）
A．20 B．30 C．50 D．100
【考点】角平分线的性质．
【专题】三角形；几何直观．
【答案】C
【分析】根据角平分线的性质求出OE，最后用三角形的面积公式即可解答．
【解答】解：过O作OE⊥AB于点E，
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，
∴OE＝OD＝5，
∴△AOB的面积，
故选：C．
【点评】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出OE＝OD解答．
8．（2024秋 思明区校级期末）东湖高新区为打造成“向往之城”，正建设一批精品口袋公园．如图所示，△ABC是一个正在修建的口袋公园．要在公园里修建一座凉亭H，使该凉亭到公路AB、AC的距离相等，且使得S△ABH＝S△BCH，则凉亭H是（　　）
A．∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点
B．∠BAC的角平分线与AB边上中线的交点
C．∠ABC的角平分线与AC边上中线的交点
D．∠ABC的角平分线与BC边上中线的交点
【考点】角平分线的性质．
【专题】三角形；运算能力．
【答案】A
【分析】根据角平分线的性质定理可得点H在∠BAC的角平分线上，再根据三角形的中线性质可得△ABE的面积＝△BCE的面积，△AHE的面积＝△CHE的面积，然后利用等式的性质可得△ABH的面积＝△CBH的面积，即可解答．
【解答】解：如图：
∵AD平分∠BAC，点H在AD上，
∴点H到AB、AC的距离相等，
∵BE是AC边上的中线，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积，△AHE的面积＝△CHE的面积，
∴△ABE的面积﹣△AHE的面积＝△BCE的面积﹣△CHE的面积，
∴△ABH的面积＝△CBH的面积，
∴凉亭H是∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点，
故选：A．
【点评】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握三角形的角平分线和中线的性质是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
9．（2024秋 东区期末）如图，直角三角形ABC中∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，CE平分∠ACB，则ADE的周长是　12　 ．
【考点】角平分线的性质．
【专题】几何图形．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据角平分线的性质得出DE＝BE，进而得出CD＝BC，再利用三角形的边关系解答即可．
【解答】解：∵直角三角形ABC中∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，CE平分∠ACB，
∴DE＝BE，CD＝BC＝6，AC，
∴AD＝10﹣6＝4，
∴ADE的周长＝AE+DE+AD＝AE+BE+AD＝AB+AD＝4+8＝12，
故答案为：12
【点评】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出DE＝BE．
10．（2024秋 蒸湘区校级期末）如图，∠C＝90°，∠BAD＝∠CAD，若BC＝8，BD＝5，AB＝10，则△ABD的面积为 　15　 ．
【考点】角平分线的性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】15．
【分析】过点D作DE⊥AB交AB于点E，根据角平分线的性质得出CD＝DE＝BC﹣BD＝3，即可求解．
【解答】解：过点D作DE⊥AB交AB于点E，如图所示，
∵∠BAD＝∠CAD，∠C＝90°，
∴CD＝DE
∵BC＝8，BD＝5，
∴DE＝CD＝BC﹣BD＝8﹣5＝3，
∴，
故答案为：15．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．
11．（2024秋 衡阳期末）如图，已知∠AOB与∠A′O′B′（∠AOB＜∠A′O′B′）给出部分尺规作图痕迹如图所示（无需补全作图痕迹），尺规作图过程如下：
（1）以O为圆心，适当长为半径做弧MN（弧MN足够长），交射线OA，OB分别于C，D两点，连结CD；
（2）以O′为圆心，OD长为半径作弧M′N′（弧M′N′足够长），交O′B′于点D′；
（3）以D′为圆心，CD长为半径作弧，交弧M′N′于点C′，作射线O′C′；若∠AOB＝40°，∠A′O′B′＝66°，当O′E为∠A′O′C′的平分线时，∠C′O′E的度数为　13°或53°　 ．
【考点】作图—基本作图．
【专题】作图题；应用意识．
【答案】13°或53°．
【分析】分射线O′C′在∠A′O′B′的内部和外部两个情况求解即可．
【解答】解：由作图可知，∠AOB＝∠B′O′C′＝40°，
①当射线O′C′在∠A′O′B′的内部时，如图：
∵∠A′O′B′＝66°，∠B′O′C′＝40°，
∴∠A′O′C′＝∠A′O′B′﹣∠B′O′C＝66°﹣40°＝26°，
∵O′E为∠A′O′C′的平分线，
∴∠C'O'E13°；
②如图，当射线O′C′在∠A′O′B′的外部时，
∵∠A′O′B′＝66°，∠B′O′C′＝40°，
∴∠A′O′C′＝∠A′O′B′﹣∠B′O′C＝66°+40°＝106°，
∵O′E为∠A′O′C′的平分线，
∴∠C'O'E∠A'O'C'＝53°；
故答案为：13°或53°．
【点评】本题考查了作一个角等于已知角，角平分线的定义，角的和差，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线；
12．（2025春 双流区期末）如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直．若AD＝8，则点P到BC的距离是 　4　 ．
【考点】角平分线的性质；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】过点P作PE⊥BC于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得PA＝PE，PD＝PE，那么PE＝PA＝PD，依据AD＝8，进而求出PE＝4．
【解答】解：如图所示，过点P作PE⊥BC于E，
∵AB∥CD，PA⊥AB，
∴PD⊥CD，
∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，
∴PA＝PE，PD＝PE，
∴PE＝PA＝PD，
∵PA+PD＝AD＝8，
∴PA＝PD＝4，
∴PE＝4，即点P到BC的距离是4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键．
13．（2025春 雁塔区校级期末）如图，△ABC的两条外角平分线BP，CP相交于点P．PE⊥AC交AC的延长线于点E．若△ABC的周长为9，PE＝2，S△BPC＝2，则S△ABC＝ 　5　 ．
【考点】角平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】过点P作PF⊥BC于点F，PG⊥AB于点G，连接AP，根据角平分线的性质得到PF＝PG＝PE＝2，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：过点P作PF⊥BC于点F，PG⊥AB于点G，连接AP，
∵△ABC的两条外角平分线BP，CP相交于点P，PE⊥AC，PF⊥BC，PG⊥AB，PE＝2，
∴PF＝PG＝PE＝2，
∵S△BPC＝2，
∴BC×2＝2，
解得：BC＝2，
∵△ABC的周长为9，
∴AC+AB＝9﹣2＝7，
∴S△ABC＝S△ACP+S△ABP﹣S△BPCAC PEAB PG﹣S△BPC7×2﹣2＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、三角形的面积计算，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
三．解答题（共2小题）
14．（2025 南岗区校级开学）已知△ABC中，BE平分∠ABC，BE交AC于点E，CD平分∠ACB，交AB于点D，BE与CD交于点O．
（1）如图1．求证：；
（2）如图2，连接OA，求证：OA平分∠BAC．
【考点】角平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】（1）∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴设，∠，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣2∠ABE﹣∠ABC＝180°﹣2α﹣2β，
∠BOC＝180°﹣∠CBO﹣∠BCO＝180°﹣α﹣β，
∴；
（2）过O作OF⊥AB于点F，作OG⊥BC于点G，作OH⊥AC于点H，
∵BE平分∠ABC，
∴OF＝OG，
∵CD平分∠ACB，
∴OG＝OH，
∴OF＝OH（等量代换）．
∴OA平分∠BAC．
【分析】（1）根据角平分线和三角形内角和定理得到∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣2α﹣2β，∠BOC＝180°﹣∠CBO﹣∠BCO＝180°﹣α﹣β，即可得到结论；
（2）过O作OF⊥AB于点F，作OG⊥BC于点G，作OH⊥AC于点H，根据角平分线的性质得到OF＝OG，OG＝OH，则OF＝OH．根据角平分线的判定即可得到结论．
【解答】证明：（1）∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴设，∠，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣2∠ABE﹣∠ABC＝180°﹣2α﹣2β，
∠BOC＝180°﹣∠CBO﹣∠BCO＝180°﹣α﹣β，
∴；
（2）过O作OF⊥AB于点F，作OG⊥BC于点G，作OH⊥AC于点H，
∵BE平分∠ABC，
∴OF＝OG，
∵CD平分∠ACB，
∴OG＝OH，
∴OF＝OH（等量代换）．
∴OA平分∠BAC．
【点评】此题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是关键．
15．（2024秋 海拉尔区期末）已知：在△ABC中，AD是BC边上的高．
（1）尺规作图：作∠BAC的平分线AE，交BC于点E；
（2）在（1）的条件下：若∠ABC＝105°，∠C＝45°，求∠EAD的度数．
【考点】作图—基本作图；三角形内角和定理．
【专题】作图题；三角形；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）依据角平分线的尺规作图方法，即可得到∠BAC的平分线AE；
（2）依据三角形外角性质即可得到∠BAD的度数，依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得出∠BAE的度数，即可得到∠DAE的度数．
【解答】解：（1）如图所示，AE即为所求；
（2）∵∠ABC＝105°，∠D＝90°，
∴∠BAD＝105°﹣90°＝15°，
∵∠ABC＝105°，∠C＝45°，
∴∠BAC＝30°，
又∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE30°＝15°，
∴∠DAE＝∠BAD+∠EAB＝15°+15°＝30°．
【点评】本题主要考查了基本作图以及三角形内角和定理，解决问题的关键是掌握角平分线的定义以及尺规作图方法．

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