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15.1 图形的轴对称
一．选择题（共8小题）
1．（2025 深圳开学）下列图形中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024秋 东阿县期末）桌面上有A，B两个球，若要将B球射向桌面任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示4个点中，可以瞄准的点是（　　）
A．D B．E C．F D．G
3．（2024秋 霸州市期末）如图，点D是△ABC内部一点，点E，F，G分别是点D关于AB，BC，CA的对称点，则∠E+∠F+∠G＝（　　）
A．270° B．360° C．420° D．540°
4．（2025 深圳模拟）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点（A、P、A′不共线），下列结论中，错误的是（　　）
A．△AA′P是等腰三角形
B．MN垂直平分AA′、CC′
C．△ABC与△A′B′C′面积相等
D．直线AB，A′B′的交点不一定在直线MN上
5．（2025 固始县开学）小李将一张圆形纸对折再对折，然后在中间抠掉一个“2”字形（如图），再将它展开，展开后的圆形是图（　　）
A． B． C． D．
6．（2025春 南阳期末）如图，下面是三位同学的折纸示意图，点B与点B′是对应点，则AD依次是△ABC的（　　）
A．中线、角平分线、高 B．高、角平分线、中线
C．高、中线、角平分线 D．角平分线、中线、高
7．（2025春 大竹县期末）如图，AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若BD＝3，AD＝5，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．15 B．7.5 C．6 D．4.5
8．（2025春 于洪区期末）如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对应点分别是点C，D．下列结论不一定正确的是（　　）
A．AC⊥PQ B．AC∥BD C．CO＝CD D．△ABO≌△CDO
二．填空题（共5小题）
9．（2025春 渠县校级期末）如图，在面积为48的等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，P是BC边上的动点，点P关于直线AB、AC的对称点外别为M、N，则线段MN的最大值为 　 　 ．
10．（2025春 慈利县期末）如图，已知点M是∠ABC内一点，分别作出点M关于直线AB、BC的对称点M1、M2，连接M1M2分别交AB于点D，交BC于点E，若M1M2＝10cm，则△MDE的周长为　 　 cm．
11．（2025春 梁溪区期末）已知，在△ABC中，∠ABC＝105°，D、E为AC边上的两个动点，点A关于直线BD的对称点为点A′、点C关于直线BE的对称点为点C′，若射线BA′和BC′恰好将∠DBE三等分，则∠DBE＝ 　 　 °．
12．（2025春 宝丰县期末）如图，点C、D在线段AB的同侧，CA＝4，AB＝12，BD＝9，M是AB的中点，∠CMD＝120°，则CD长的最大值是 　 　 ．
13．（2025春 皇姑区期末）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，DA交AB于点F，若A′D∥BC，且∠B﹣∠A＝20°，则∠AED的度数为 　 　 ．
三．解答题（共2小题）
14．（2024秋 兰山区期末）如图，△ABC为等边三角形，点B关于AC的对称点为点F，连接AF，CF，点D在BC上，点E在CF上，BD＝CE，证明：AD＝AE．
15．（2025春 山亭区月考）如图，在折纸活动中，小李制作了一张△ABC的纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合．
（1）若∠B＝50°，∠C＝60°，求∠A的度数；
（2）若∠1+∠2＝130°，求∠A的度数；
（3）猜想：∠1+∠2与∠A的关系，请直接写出其关系式．
15.1 图形的轴对称
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025 深圳开学）下列图形中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A、C、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形，掌握轴对称图形的定义是解题的关键．
2．（2024秋 东阿县期末）桌面上有A，B两个球，若要将B球射向桌面任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示4个点中，可以瞄准的点是（　　）
A．D B．E C．F D．G
【考点】轴对称的性质．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】A
【分析】根据入射角等于反射角，结合网格特点即可求解．
【解答】解：根据题中所给的信息进行判断可得：将B球射向桌面的点D，可使一次反弹后击中A球，
故选：A．
【点评】本题考查轴对称的性质，解题关键是根据轴对称性质找到使入射角等于反射角相等的点．
3．（2024秋 霸州市期末）如图，点D是△ABC内部一点，点E，F，G分别是点D关于AB，BC，CA的对称点，则∠E+∠F+∠G＝（　　）
A．270° B．360° C．420° D．540°
【考点】轴对称的性质．
【专题】三角形；图形的全等；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】B
【分析】连接DA，DB，DC，由对称性可得AD＝AE＝AG，BD＝BE＝BF，DC＝CG＝CF，利用SSS可证明△AEB≌△ADB，△AGC≌△ADC，△BFC≌△BDC，可得∠E＝∠ADB，∠G＝∠ADC，∠F＝∠BDC，即可求解．
【解答】解：连接DA，DB，DC，
∵点E，F，G分别是点D关于AB，BC，CA的对称点，
∴AD＝AE＝AG，BD＝BE＝BF，DC＝CG＝CF，
在△AEB与△ADB中，，
∴△AEB≌△ADB（三边分别相等的两个三角形全等），
∴∠E＝∠ADB（全等三角形的对应角相等）；
同理得：△AGC≌△ADC（SSS），△BFC≌△BDC（SSS），
∴∠G＝∠ADC，∠F＝∠BDC；
∴∠E+∠F+∠G＝∠ADB+∠ADC+∠BDC＝360°（等量代换），
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称的性质，三角形全等的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
4．（2025 深圳模拟）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点（A、P、A′不共线），下列结论中，错误的是（　　）
A．△AA′P是等腰三角形
B．MN垂直平分AA′、CC′
C．△ABC与△A′B′C′面积相等
D．直线AB，A′B′的交点不一定在直线MN上
【考点】轴对称的性质．
【专题】平移、旋转与对称．
【答案】D
【分析】据对称轴的定义，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任意一点，可以判断出图中各点或线段之间的关系．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任意一点，
∴△AA′P是等腰三角形，MN垂直平分AA′，CC′，这两个三角形的面积相等，故A、B、C选项正确，
直线AB，A′B′关于直线MN对称，因此交点一定在MN上，故D错误，
故选：D．
【点评】本题考查轴对称的性质与运用，解题时注意：对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
5．（2025 固始县开学）小李将一张圆形纸对折再对折，然后在中间抠掉一个“2”字形（如图），再将它展开，展开后的圆形是图（　　）
A． B． C． D．
【考点】轴对称的性质．
【专题】平移、旋转与对称．
【答案】C
【分析】由轴对称的性质即可判断．
【解答】解：由轴对称的性质可得：展开后的圆形是选项C中的图形．
故选：C．
【点评】本题考查轴对称的性质，关键是明白数字左右对称，上下对称．
6．（2025春 南阳期末）如图，下面是三位同学的折纸示意图，点B与点B′是对应点，则AD依次是△ABC的（　　）
A．中线、角平分线、高 B．高、角平分线、中线
C．高、中线、角平分线 D．角平分线、中线、高
【考点】轴对称的性质；三角形的角平分线、中线和高．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】B
【分析】根据三角形的高，角平分线，中线的定义判断即可．
【解答】解：观察图形可知，AD依次是△ABC的高、角平分线、中线．
故选：B．
【点评】本题考查轴对称的性质，三角形的角平分线，中线，高，解题的关键是读懂图象信息．
7．（2025春 大竹县期末）如图，AD所在直线是△ABC的对称轴，点E，F是AD上的两点，若BD＝3，AD＝5，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．15 B．7.5 C．6 D．4.5
【考点】轴对称的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】B
【分析】根据△CEF和△BEF关于直线AD对称，得出S△BEF＝S△CEF，根据图中阴影部分的面积是S△ABC求出即可．
【解答】解：∵△ABC关于直线AD对称，
∴B、C关于直线AD对称，
∴△CEF和△BEF关于直线AD对称，
∴S△BEF＝S△CEF，
∵△ABC的面积是：BC×AD6×5＝15，
∴图中阴影部分的面积是S△ABC＝7.5．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称的性质．通过观察可以发现是轴对称图形，且阴影部分的面积为全面积的一半，根据轴对称图形的性质求解．其中看出三角形BEF与三角形CEF关于AD对称，面积相等是解决本题的关键．
8．（2025春 于洪区期末）如图，AD与BC交于点O，△ABO和△CDO关于直线PQ对称，点A，B的对应点分别是点C，D．下列结论不一定正确的是（　　）
A．AC⊥PQ B．AC∥BD C．CO＝CD D．△ABO≌△CDO
【考点】轴对称的性质；全等三角形的判定．
【专题】三角形；图形的全等；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】C
【分析】根据△ABO和△CDO关于直线PQ对称得出△ABO≌△CDO，PQ⊥AC，PQ⊥BD，然后逐项判断即可．
【解答】解：如图，连接AC、BD，
∵△ABO和△CDO关于直线PQ对称，
∴△ABO≌△CDO，AC⊥PQ，PQ⊥BD，
∴AC∥BD，
故A、B、D选项正确，
CO不一定等于CD，故C选项不一定正确，
故选：C．
【点评】本题考查轴对称的性质，关于某条直线对称的两个三角形全等，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．
二．填空题（共5小题）
9．（2025春 渠县校级期末）如图，在面积为48的等腰△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，P是BC边上的动点，点P关于直线AB、AC的对称点外别为M、N，则线段MN的最大值为 　　 ．
【考点】轴对称的性质；等腰三角形的性质．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】．
【分析】连接AM、AN、AP，过点A作AD⊥MN于点D，由对称性可知AM＝AP＝AN、△MAN为顶角为定值的等腰三角形，当AM的值最大时，MN的值最大，观察图象可知，当点P与B或C重合时，AM的值最大，MN的值最大．
【解答】解：如图1中，连接AM、AN、AP．
∵点P关于直线AB，AC的对称点分别为M，N，
∴AM＝AP＝AN，∠MAB＝∠PAB，∠NAC＝∠PAC，
∴△MAN为顶角为定值的等腰三角形，
∴当AM的值最大时，MN的值最大，
即点P与B或C重合时，AP＝AM的值最大，如图2中（当点P与B重合），
设MN交AC于点T．
∵M，N关于AC对称，
∴MT＝TN，
∵S△ABC AC MT＝48，AC＝10，
∴MT，
∴MN，
∴MN的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了轴对称的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是找出MN最长时点P的位置．
10．（2025春 慈利县期末）如图，已知点M是∠ABC内一点，分别作出点M关于直线AB、BC的对称点M1、M2，连接M1M2分别交AB于点D，交BC于点E，若M1M2＝10cm，则△MDE的周长为　10　 cm．
【考点】轴对称的性质．
【专题】平移、旋转与对称．
【答案】10．
【分析】对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．根据对称轴的意义，可以求出EM＝EM2，DM1＝DM，M1M2＝10cm，可以求出△MDE的周长．
【解答】解：∵点M关于直线AB、BC的对称点M1、M2，
∴EM＝EM2，DM1＝DM，
∴△MDE的周长＝DE+EM+DM＝DE+EM2+DM1＝M1M2＝10（cm），
故答案为：10．
【点评】本题考查了轴对称的性质与运用，掌握其性质是解题的关键．
11．（2025春 梁溪区期末）已知，在△ABC中，∠ABC＝105°，D、E为AC边上的两个动点，点A关于直线BD的对称点为点A′、点C关于直线BE的对称点为点C′，若射线BA′和BC′恰好将∠DBE三等分，则∠DBE＝ 　63或45°　 °．
【考点】轴对称的性质．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观；运算能力．
【答案】63或45°．
【分析】根据射线BA'和BC'恰好将∠DBE三等分得∠DBA'＝A'BC'＝∠C'BE，根据轴对称性质得∠ABD＝∠DBA'，∠CBE＝∠C'BE，进而得∠ABD＝∠DBA'＝A'BC'＝∠C'BE＝∠CBE，则∠ABC＝5∠ABD，∠DBE＝3∠ABD，再根据∠ABC＝105°得∠ABD＝21°，由此可得∠DBE的度数．
【解答】解：依题意有以下两种情况：
①当BA'在BC'的左侧时，如图1所示：
∵射线BA'和BC'恰好将∠DBE三等分，
∴DBA'＝A'BC'＝∠C'BE，
∵点A关于直线BD的对称点为点A'、点C关于直线BE的对称点为点C'，
∴∠ABD＝∠DBA'，∠CBE＝∠C'BE，
∴∠ABD＝∠DBA'＝A'BC'＝∠C'BE＝∠CBE，
∴∠ABC＝5∠ABD，∠DBE＝3∠ABD，
∵∠ABC＝105°，
∴5∠ABD＝105°，
∴∠ABD＝21°，
∴∠DBE＝3∠ABD＝63°；
②当BA'在BC'的右侧时，如图2所示：
∵射线BA'和BC'恰好将∠DBE三等分，
设DBC'＝A'BC'＝∠A'BE＝α，
∴∠DBE＝3α，
∵点A关于直线BD的对称点为点A'、点C关于直线BE的对称点为点C'，
∴∠ABD＝∠DBA'＝2α，∠CBE＝∠C'BE＝2α，
∴∠ABC＝∠ABD+∠DBE+∠CBE＝7α＝105°，
解得：α＝15°，
∴∠DBE＝3α＝45°，
综上所述：∠DBE＝63°或45°．
故答案为：63或45°．
【点评】此题主要考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质，角的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点．
12．（2025春 宝丰县期末）如图，点C、D在线段AB的同侧，CA＝4，AB＝12，BD＝9，M是AB的中点，∠CMD＝120°，则CD长的最大值是 　19　 ．
【考点】轴对称的性质；线段的性质：两点之间线段最短．
【专题】平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】19．
【分析】作点A关于CM的对称点A′，作点B关于DM的对称点B′，证明△A′MB′为等边三角形，即可解决问题．
【解答】解：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′．
∵∠CMD＝120°，
∴∠AMC+∠DMB＝60°，
∴∠CMA′+∠DMB′＝60°，
∴∠A′MB′＝60°，
∵MA′＝MB′，
∴△A′MB′为等边三角形
∵CD≤CA′+A′B′+B′D＝CA+AM+BD＝4+6+9＝19，
∴CD的最大值为19，
故答案为：19．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题．
13．（2025春 皇姑区期末）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，DA交AB于点F，若A′D∥BC，且∠B﹣∠A＝20°，则∠AED的度数为 　100°　 ．
【考点】轴对称的性质；平行线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】100°．
【分析】由折叠的性质可得∠ADE，再根据平行线的性质可得∠ADF＝∠C，根据三角形的内角和定理用含有∠A的代数式表示出∠C的度数，再根据三角形的外角性质可得∠DEF的度数，进而得出∠AED的度数．
【解答】解：将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，DA交AB于点F，则∠ADE，
∵A′D∥BC，
∴∠ADF＝∠C，
∵∠B﹣∠A＝20°，
∴∠B＝∠A+20°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣（∠A+20°）﹣∠A＝160°﹣2∠A，
∴∠ADE∠C＝80°﹣∠A，
∴∠DEF＝∠A+∠ADE＝∠A+80°﹣∠A＝80°，
∴∠AED＝180°﹣80°＝100°．
故答案为：100°．
【点评】本题考查了轴对称的性质以及平行线的性质，正确求出∠DEF的度数是解答本题的关键．
三．解答题（共2小题）
14．（2024秋 兰山区期末）如图，△ABC为等边三角形，点B关于AC的对称点为点F，连接AF，CF，点D在BC上，点E在CF上，BD＝CE，证明：AD＝AE．
【考点】轴对称的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
【专题】三角形；图形的全等．
【答案】∵点B关于AC的对称点为点F，
∴AB＝AF，CB＝CF，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∴AF＝CF＝AC，
∴△AFC也为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACF＝60°，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE．
【分析】先由对称得AB＝AF，CB＝CF，再由等边三角形性质推出AF＝CF＝AC，∠ABC＝∠ACF，再证△ABD≌△ACE（SAS）即可得出结论．
【解答】证明：∵点B关于AC的对称点为点F，
∴AB＝AF，CB＝CF，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，
∴AF＝CF＝AC，
∴△AFC也为等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACF＝60°，
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE．
【点评】本题考查了对称的性质，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，掌握其性质是解题的关键．
15．（2025春 山亭区月考）如图，在折纸活动中，小李制作了一张△ABC的纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合．
（1）若∠B＝50°，∠C＝60°，求∠A的度数；
（2）若∠1+∠2＝130°，求∠A的度数；
（3）猜想：∠1+∠2与∠A的关系，请直接写出其关系式．
【考点】轴对称的性质；三角形内角和定理．
【专题】平移、旋转与对称；运算能力．
【答案】（1）70°；
（2）65°；
（3）∠1+∠2＝2∠A．
【分析】（1）直接根据三角形内角和定理求解即可；
（2）由折叠可得，，进而可得∠1+∠2＝360°﹣2∠AED﹣2∠ADE，结合∠AED+∠ADE+∠A＝180°，可得∠1+∠2＝2∠A＝130°，即可求解；
（3）同（2）求解即可得到答案．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，∠B＝50°，∠C＝60°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°；
（2）∵将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，
∴，，
∴∠1+∠2＝180°﹣∠AEA′+180°﹣∠ADA′＝360°﹣2∠AED﹣2∠ADE，
∵∠AED+∠ADE+∠A＝180°，
∴∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，
∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A，
∵∠1+∠2＝130°，
∴；
（3）∵将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，
∴，，
∴∠1+∠2＝180°﹣∠AEA′+180°﹣∠ADA′＝360°﹣2∠AED﹣2∠ADE，
∵∠AED+∠ADE+∠A＝180°，
∴∠AED+∠ADE＝180°﹣∠A，
∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A．
【点评】本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理，正确进行计算是解题关键．

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