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线段的垂直平分线
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 高唐县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，点E是AC的中点，过点E作AC的垂线交BC于F，BD＝DF，连接AF，则有（　　）
A．AB＝BF B．AF＝BF C．BF＝CF D．AB＝CF
2．（2024秋 叙州区期末）如图，在△ABC中，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P、Q，作直线PQ交AB于点D，连结CD．若∠A＝36°，∠B＝94°，则∠BCD的度数为（　　）
A．10° B．14° C．20° D．24°
3．（2024秋 东阿县期末）在△ABC外部取一点D，得△ABC和△DBC全等，下面是两名同学的作法：
甲：①作∠A的角平分线l；②以B为圆心，AB长为半径画弧，交l于点D，点D即为所求；
乙：①过点B作平行于AC的直线l；②过点C作平行于AB的直线m，交l于点D，点D即为所求．以下说法正确的是（　　）
A．两人都正确 B．两人都错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
4．（2024秋 广汉市期末）如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠BAC＝80°，则∠OBC的度数是（　　）
A．15° B．20° C．10° D．25°
5．（2024秋 凉州区校级期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E，如果AB＝9，AC＝10，BC＝8，则△BCD的周长是（　　）
A．13.5 B．17 C．18 D．19
6．（2024秋 汾阳市期末）如图，已知△ABC的周长是37cm，且AB＝12cm，AC＝9cm，AB的垂直平分线与AB、BC分别交于点E、D，AC的垂直平分线与AC、BC分别交于点G、F，且点D在点F的左侧，则△ADF的周长是（　　）
A．16cm B．18cm C．20cm D．22cm
7．（2024秋 抚顺县期末）如图，直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且PA＝PB．小明说：“直线l是AB的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断正确的是（　　）
A．小明说得对
B．小亮说得对，可添条件为“∠A＝∠B”
C．小亮说得对，可添条件为“PO⊥AB”
D．两人说得都不对
8．（2025春 乐平市期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝54°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为（　　）
A．104° B．106° C．117° D．136°
二．填空题（共5小题）
9．（2024秋 涡阳县期末）如图，OE、OF分别是AC、BD的垂直平分线，垂足分别为E、F，且AB＝CD，∠ABD＝116°，∠CDB＝28°，则∠OBD＝　 　 °．
10．（2024秋 利津县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝14cm，D是AB的中点，DE⊥AB交AC于点E，△EBC的周长是24cm，则BC＝　 　 ．
11．（2025春 杜尔伯特县期末）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，交AB于点E，连接AD．若△ADC的周长为12，AE＝4，则△ABC的周长为　 　 ．
12．（2024秋 商水县校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线A→C→B→A运动，设运动时间为t（t＞0）秒．若点P恰好运动到AB的垂直平分线上时，t的值为 　 　 ．
13．（2024秋 大同期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝105°，∠A＝45°，．分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，F，作直线EF交AB于点M，连接CM；再分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，H，作直线GH交AB于点N，连接CN，则△CMN的周长为　 　 ．
三．解答题（共2小题）
14．（2024秋 郴州期末）如图，在△ABC中，BC＝10，AC＝7．
（1）尺规作图：作AB的垂直平分线DE，垂足为点D．交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）作出的图形中，连接AE，求△ACE的周长．
15．（2024秋 淅川县期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．
（1）用尺规完成以下基本作图：过点D作DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）中所作的图形中，求证：AD⊥EF．
线段的垂直平分线
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 高唐县期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，点E是AC的中点，过点E作AC的垂线交BC于F，BD＝DF，连接AF，则有（　　）
A．AB＝BF B．AF＝BF C．BF＝CF D．AB＝CF
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】根据题意可得FE是AC的垂直平分线，AD是BF的垂直平分线，即可求解．
【解答】解：∵过点E作AC的垂线交BC于F，点E是AC的中点，
∴FE是AC的垂直平分线，
∴FA＝FC，
∵在△ABC中，AD⊥BC，BD＝DF，
∴AD是BF的垂直平分线，
∴FA＝BA，
∴FA＝BA＝FC，
∴选项A、选项B、选项C不符合题意，选项D符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上任意一点到线段两个端点距离相等是解题的关键．
2．（2024秋 叙州区期末）如图，在△ABC中，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P、Q，作直线PQ交AB于点D，连结CD．若∠A＝36°，∠B＝94°，则∠BCD的度数为（　　）
A．10° B．14° C．20° D．24°
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【专题】作图题；线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】B
【分析】首先根据三角形内角和定理可以求出∠ACB＝50°，由尺规作图可知：PQ是AC的垂直平分线，所以可得DA＝DC，根据等边对等角可得∠DCA＝∠A＝36°，根据∠BCD＝∠BCA﹣∠DCA可求结果．
【解答】解：∵∠B＝94°，∠A＝36°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣36°﹣94°＝50°，
∵PQ是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DCA＝∠A＝36°，
∴∠BCD＝∠BCA﹣∠DCA＝50°﹣36°＝14°．
故选：B．
【点评】本题考查了尺规作图、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
3．（2024秋 东阿县期末）在△ABC外部取一点D，得△ABC和△DBC全等，下面是两名同学的作法：
甲：①作∠A的角平分线l；②以B为圆心，AB长为半径画弧，交l于点D，点D即为所求；
乙：①过点B作平行于AC的直线l；②过点C作平行于AB的直线m，交l于点D，点D即为所求．以下说法正确的是（　　）
A．两人都正确 B．两人都错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
【考点】作图—基本作图；全等三角形的性质；角平分线的性质．
【专题】图形的全等；尺规作图；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】甲：先根据尺规作图的过程可知∠BAD＝∠CAD，AB＝BD，BC＝BC，两边的夹角不相等，所以这两个三角形不全等；乙：根据平行线的性质得∠ABC＝∠BCD，∠ACB＝∠CBD，再根据BC＝CB，可结合“角边角”得出△ABC≌△DCB，判断答案即可．
【解答】解：如图1，
根据题意可知∠BAD＝∠CAD，AB＝BD，BC＝BC，
∵两边的夹角不相等，
∴这两个三角形不全等；
如图2，
∵AB∥m，AC∥l，
∴∠ABC＝∠BCD，∠ACB＝∠CBD．
在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（ASA），
综上所述，甲错误，乙正确，
故选：D．
【点评】本题主要考查了作图﹣基本作图，全等三角形的性质，角平分线的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
4．（2024秋 广汉市期末）如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线l1，l2相交于点O，若∠BAC＝80°，则∠OBC的度数是（　　）
A．15° B．20° C．10° D．25°
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】连接OA，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质得到∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，
【解答】解：如图所示，连接OA，
∵∠BAC＝80°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝180°﹣80°＝100°，
∵AB、AC的垂直平分线交于点O，
∴OB＝OA，OC＝OA，
∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB，
∴∠OBA+∠OCA＝∠OAB+∠OAC＝∠BAC，
∴∠OBC+∠OCB＝100°﹣（∠OBA+∠OCA）＝100°﹣∠BAC＝100°﹣80°＝20°，
∴∠OCB＝∠OBC＝10°，
所以∠OBC的度数为10°，
故选：C．
【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线性质是解题的关键．
5．（2024秋 凉州区校级期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE交AC于点D，交AB于点E，如果AB＝9，AC＝10，BC＝8，则△BCD的周长是（　　）
A．13.5 B．17 C．18 D．19
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．
【答案】C
【分析】根据线段垂直平分线得出AD＝BD，推出CD+BD＝10，即可求出答案．
【解答】解：∵DE是BA的垂直平分线，
∴AD＝DB，
∵AC＝10，
∴AD+CD＝10，
∴CD+BD＝10，
∵BC＝8，
∴△BCD的周长是CD+BD+BC＝10+8＝18，
故选：C．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，正确记忆线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解题关键．
6．（2024秋 汾阳市期末）如图，已知△ABC的周长是37cm，且AB＝12cm，AC＝9cm，AB的垂直平分线与AB、BC分别交于点E、D，AC的垂直平分线与AC、BC分别交于点G、F，且点D在点F的左侧，则△ADF的周长是（　　）
A．16cm B．18cm C．20cm D．22cm
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线．
【答案】A
【分析】由垂直平分线的性质可知AD＝BD，AF＝CF，再根据△ADF的周长＝AD+DF+AF＝BD+DF+CF＝BC，结合题意即可求解．
【解答】解：∵△ABC的周长是37cm，且AB＝12cm，AC＝9cm，
∴BC＝16cm，
∵DE，FG分别垂直平分AB，AC，
∴AD＝BD，AF＝CF，
∴△ADF的周长＝AD+DF+AF＝BD+DF+CF＝BC＝16cm，
故选：A．
【点评】本题考查了垂直平分线的性质，牢固掌握其性质是解题的关键．
7．（2024秋 抚顺县期末）如图，直线l与线段AB交于点O，点P在直线l上，且PA＝PB．小明说：“直线l是AB的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断正确的是（　　）
A．小明说得对
B．小亮说得对，可添条件为“∠A＝∠B”
C．小亮说得对，可添条件为“PO⊥AB”
D．两人说得都不对
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】C
【分析】根据选项结合已知得出△PAO≌△PBO，从而得到AO＝BO，即可求出最终结果；
【解答】解：可添条件为PO⊥AB才能说：直线l是AB的垂直平分线，
证明如下：
在Rt△PAO和Rt△PBO中，
PA＝PB，PO＝PO，
∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL），
∴AO＝BO，
∴直线l是AB的垂直平分线，
故选：C．
【点评】本题主要考查垂直平分线的知识，熟练掌握线段垂直平分线的判定是解题的关键．
8．（2025春 乐平市期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝54°，P为△ABC内一点，过点P的直线MN分别交AB，BC于点M，N，若M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，则∠APC的度数为（　　）
A．104° B．106° C．117° D．136°
【考点】线段垂直平分线的性质．
【答案】C
【分析】由∠ABC＝54°，可得∠BMN+∠BNM＝126°，根据线段垂直平分线的性质可得：MA＝MP，NP＝NC，推出∠MAP＝∠MPA，∠NPC＝∠NCP，再结合三角形的外角性质可得∠MPA+∠NPC∠BMN∠BNM＝63°，最后根据∠APC＝180°﹣（∠MPA+∠NPC），即可求解．
【解答】解：由条件可知∠BMN+∠BNM＝180°﹣54°＝126°，
∵M在PA的垂直平分线上，N在PC的垂直平分线上，
∴MA＝MP，NP＝NC，
∴∠MAP＝∠MPA，∠NPC＝∠NCP，
∵∠BMN＝∠MAP+∠MPA＝2∠MPA，∠BNM＝∠NCP+∠NPC＝2∠NPC，
∴∠MPA+∠NPC∠BMN∠BNM126°＝63°，
∴∠APC＝180°﹣（∠MPA+∠NPC）＝180°﹣63°＝117°．
故选：C．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．
二．填空题（共5小题）
9．（2024秋 涡阳县期末）如图，OE、OF分别是AC、BD的垂直平分线，垂足分别为E、F，且AB＝CD，∠ABD＝116°，∠CDB＝28°，则∠OBD＝　44　 °．
【考点】线段垂直平分线的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】三角形；推理能力．
【答案】44．
【分析】连接OA、OC，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OC，OB＝OD，证明△AOB≌△COD，根据全等三角形的性质得到∠ABO＝∠CBO，计算即可．
【解答】解：如图，连接OA、OC，
∵OE、OF分别是AC、BD的垂直平分线，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（SSS），
∴∠ABO＝∠CDO，
∵∠ABD＝116°，∠CDB＝28°，
∴∠ABO+∠OBD＝116°，∠CDO﹣∠ODB＝28°，
∴∠ABO＝72°，∠OBD＝44°，
故答案为：44．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
10．（2024秋 利津县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝14cm，D是AB的中点，DE⊥AB交AC于点E，△EBC的周长是24cm，则BC＝　10cm　 ．
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据垂直平分线的性质判定AE＝BE；然后再找出AB、AC、AE间的数量关系；最后将其代入△EBC的周长公式求解即可．
【解答】解：在△ABE中，
∵D是AB的中点，DE⊥AB于D交AC于E，
∴AE＝BE；
在△ABC中，
∵AB＝AC＝14cm，AC＝AE+EC，
又∵CE+BE+BC＝24cm，
∴BC＝10cm．
故答案为：10cm．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
11．（2025春 杜尔伯特县期末）如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，交AB于点E，连接AD．若△ADC的周长为12，AE＝4，则△ABC的周长为　20　 ．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【专题】作图题．
【答案】20．
【分析】由作图方法可知，MN垂直平分AB，则AB＝2AE＝8，AD＝BD，根据三角形周长计算公式可推出AC+BC＝12，据此可得答案．
【解答】解：由作图方法可知，MN垂直平分AB，
∴AB＝2AE＝8，AD＝BD，
∵△ADC的周长为12，
∴AC+CD+AD＝12，
∴AC+CD+BD＝AC+BC＝12，
∴△ABC的周长＝AC+BC+AB＝12+8＝20，
故答案为：20．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质及其尺规作图，掌握其性质是解题的关键．
12．（2024秋 商水县校级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿折线A→C→B→A运动，设运动时间为t（t＞0）秒．若点P恰好运动到AB的垂直平分线上时，t的值为 　或19　 ．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】线段、角、相交线与平行线；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】或19
【分析】点P恰好运动到AB的垂直平分线上时，分两种情况进行讨论，即可得到t的值．
【解答】解：如图，AB的垂直平分线交AC和AB于P1、P2，
∵∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，
∴AC8（cm），
当P运动到P1时，
∵AP1＝t cm，
∴P1C＝（8﹣t）cm，
∵P1P2垂直平分AB，
∴AP1＝BP1，
由勾股定理可得：，
∴（8﹣t）2+62＝t2，
∴t；
当P运动到P2时，
∵P2A＝P2B，
∴t﹣14，
∴t＝19，
综上所述：t的值为或19，
故答案为：或19．
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是要分两种情况讨论．
13．（2024秋 大同期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝105°，∠A＝45°，．分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，F，作直线EF交AB于点M，连接CM；再分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，H，作直线GH交AB于点N，连接CN，则△CMN的周长为　2+2　 ．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【专题】作图题；推理能力．
【答案】．
【分析】由作图可知ME、GH分别是AC、BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知AM＝CM，CN＝BN，∠A＝∠ACM＝45°，利用勾股定理可求AM＝CM＝2、，根据三角形的周长公式可以求出△CMN的周长为．
【解答】解：由作图：分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点E，F，分别以点B，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点G，H，
可知：ME、GH分别是AC、BC的垂直平分线，
∴AM＝CM，CN＝BN，∠A＝∠ACM＝45°，
∴∠AMC＝180°﹣∠ACM﹣∠A＝90°，
∴∠BMC＝∠AMC＝90°，
又∵，
∴，
∵∠ACB＝105°，
∴∠BCM＝105°﹣45°＝60°，
在Rt△BMC中，∠B＝180°﹣∠BMC﹣∠BCM＝30°，
∴BC＝2CM＝4，
∴，
∵△CMN的周长为，
∴△CMN的周长是．
故答案为：．
【点评】本题考查了用尺规作图作线段的垂直平分线、三角形内角和定理、直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，解决本题的关键是根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得到等腰三角形，再利用等腰三角形的性质找到角之间的关系．
三．解答题（共2小题）
14．（2024秋 郴州期末）如图，在△ABC中，BC＝10，AC＝7．
（1）尺规作图：作AB的垂直平分线DE，垂足为点D．交BC于点E；（要求：保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）作出的图形中，连接AE，求△ACE的周长．
【考点】作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）如图，直线DE即为所求；
（2）17．
【分析】（1）根据要求作出图形即可；
（2）证明AE＝EB，推出△AEC的周长＝AC+BC即可．
【解答】解：（1）如图，直线DE即为所求；
（2）∵DE垂直平分线段AB，
∴EA＝EB，
∴△AEC的周长＝AE+EC+AC＝EB+EC+AC＝BC+AC＝17．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
15．（2024秋 淅川县期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．
（1）用尺规完成以下基本作图：过点D作DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）中所作的图形中，求证：AD⊥EF．
【考点】作图—基本作图．
【专题】作图题；几何直观；推理能力．
【答案】见解答．
【分析】（1）利用基本作图，过D点作DF⊥AC于F点；
（2）先根据角平分线的性质得到DE＝DF，则可判断Rt△ADE≌Rt△ADF，所以AE＝AF，则根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理得到AD垂直平分EF．
【解答】（1）解：如图，
（2）证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
而DE＝DF，
∴AD垂直平分EF，
即AD⊥EF．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质．

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