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21.1 一元二次方程
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 凉山州期末）一元二次方程3x+7＝x（x﹣1）化为一般式后，二次项系数和一次项分别为（　　）
A．1，4 B．﹣1，4x C．1，4x D．x2，﹣4x
2．（2024秋 彝良县期末）若m是方程x2＝x﹣2＝0的一个根，则代数式m2﹣m的值为（　　）
A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．1或2
3．（2024秋 平遥县期末）已知x＝2是方程x2+m＝0的一个根，则这个方程的另一个根是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
4．（2025 金沙县校级一模）一元二次方程2x2﹣5x﹣1＝0的常数项是（　　）
A．2 B．﹣5 C．﹣1 D．1
5．（2024秋 梁园区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣2m＝0的一个根是x＝1，则m的值为（　　）
A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．3
6．（2024秋 龙南市期末）将方程3x2+1＝5x化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（　　）
A．3，5，1 B．3，5，﹣1 C．3，﹣5，﹣1 D．3，﹣5，1
7．（2024秋 三台县期末）已知实数a是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的根，则a2﹣3a+3的值为（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
8．（2024秋 赫章县期末）已知关于x的一元二次方程x2+x+a﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．
二．填空题（共5小题）
9．（2024秋 达州期末）已知m是方程x2﹣5x﹣2＝0的一个根，则2m2﹣10m﹣2的值为　 　 ．
10．（2024秋 沁源县期末）已知m是一元二次方程x2﹣4x+4＝0的一个根，则24+m2﹣4m的值为 　 　 ．
11．（2025 新华区校级开学）已知x＝1是关于x的方程x2+2ax+a2＝3的一个根，则代数式a（a﹣1）+a2+5a的值为　 　 ．
12．（2025 深圳模拟）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣ax＝0的一个根，则常数a的值是　 　 ．
13．（2024秋 凉州区校级期末）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0的常数项为0，则m的值是 　 　 ．
三．解答题（共2小题）
14．（2025春 宿迁校级期末）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
15．（2025春 霍邱县月考）已知实数a是一元二次方程x2﹣2025x+1＝0的一个根，求代数式的值．
21.1 一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 凉山州期末）一元二次方程3x+7＝x（x﹣1）化为一般式后，二次项系数和一次项分别为（　　）
A．1，4 B．﹣1，4x C．1，4x D．x2，﹣4x
【考点】一元二次方程的一般形式．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的一般形式即可解答．
【解答】解：一元二次方程3x+7＝x（x﹣1）化为一般形式为﹣x2+4x+7＝0，
二次项系数和一次项分别为﹣1，4x．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a、b、c是常数且a≠0），ax2叫二次项、bx叫一次项，c是常数项．其中a、b、c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，据此解答即可．
2．（2024秋 彝良县期末）若m是方程x2＝x﹣2＝0的一个根，则代数式m2﹣m的值为（　　）
A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．1或2
【考点】一元二次方程的解；代数式求值．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】B
【分析】根据方程的解的定义，m是方程的解，则m的值一定适合方程，将m代入方程中，然后利用整体思想即可求出代数式的值．
【解答】解：由条件可得：m2﹣m﹣2＝0，
∴m2﹣m＝2．
故选：B．
【点评】本题考查一元二次方程的解．熟练掌握该知识点是关键．
3．（2024秋 平遥县期末）已知x＝2是方程x2+m＝0的一个根，则这个方程的另一个根是（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】设方程的另一个根为a，根据根与系数的关系得到a+2＝0，求解即可．
【解答】解：设设方程的另一个根为a，根据根与系数的关系得到a+2＝0，
∴a＝﹣2；
故选：A．
【点评】本题考查根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键．
4．（2025 金沙县校级一模）一元二次方程2x2﹣5x﹣1＝0的常数项是（　　）
A．2 B．﹣5 C．﹣1 D．1
【考点】一元二次方程的一般形式．
【专题】一元二次方程及应用．
【答案】C
【分析】按照定义即可找到常数项．
【解答】解：已知一元二次方程2x2﹣5x﹣1＝0，则其常数项为﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程的一般式，掌握其性质是解题的关键．
5．（2024秋 梁园区校级期末）已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣2m＝0的一个根是x＝1，则m的值为（　　）
A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．3
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程解的定义，把x＝1代入方程，即可解得m的值．
【解答】解：由题意可知：12+5×1﹣2m＝0，
∴m＝3．
故选：D．
【点评】此题考查了一元二次方程，熟知一元二次方程的解满足方程是解题的关键．
6．（2024秋 龙南市期末）将方程3x2+1＝5x化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（　　）
A．3，5，1 B．3，5，﹣1 C．3，﹣5，﹣1 D．3，﹣5，1
【考点】一元二次方程的一般形式．
【专题】一元二次方程及应用；数感．
【答案】D
【分析】任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0），其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b是一次项系数；c叫做常数项．
【解答】解：将方程3x2+1＝5x化成ax2+bx+c＝0的形式，可得3x2﹣5x+1＝0，
则a，b，c的值分别为3，﹣5，1，
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．
7．（2024秋 三台县期末）已知实数a是关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的根，则a2﹣3a+3的值为（　　）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】根据题意得到a2﹣3a＝1，代入a2﹣3a+3计算即可．
【解答】解：由条件可知a2﹣3a﹣1＝0，
∴a2﹣3a＝1，
∴a2﹣3a+3＝1+3＝4，
故选：D．
【点评】本题考查了应用二次方程的解，代数式求值，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键．
8．（2024秋 赫章县期末）已知关于x的一元二次方程x2+x+a﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．
【考点】一元二次方程的解；解一元一次方程．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】将x＝0代入一元二次方程x2+x+a﹣1＝0得到a﹣1＝0，再解关于a的方程即可得到答案．
【解答】解：将x＝0代入一元二次方程x2+x+a﹣1＝0，
得a﹣1＝0，
解得：a＝1，
故选：A．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解一元一次方程．熟练掌握以上知识点是关键．
二．填空题（共5小题）
9．（2024秋 达州期末）已知m是方程x2﹣5x﹣2＝0的一个根，则2m2﹣10m﹣2的值为　2　 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】2．
【分析】根据题意，得到m2﹣5m﹣2＝0，进而得到m2﹣5m＝2，利用整体代入法求出代数式的值即可．
【解答】解：由条件可知m2﹣5m﹣2＝0，
∴m2﹣5m＝2，
∴2m2﹣10m﹣2＝2（m2﹣5m）﹣2＝2×2﹣2＝2；
故答案为：2．
【点评】本题考查一元二次方程的解，求代数式的值，熟练掌握以上知识点是关键．
10．（2024秋 沁源县期末）已知m是一元二次方程x2﹣4x+4＝0的一个根，则24+m2﹣4m的值为 　20　 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】20．
【分析】根据题意易得：m2﹣4m+4＝0，从而可得m2﹣4m＝﹣4，然后代入式子中进行计算，即可解答．
【解答】解：∵m是一元二次方程x2﹣4x+4＝0的一个根，
∴m2﹣4m+4＝0，
∴m2﹣4m＝﹣4，
∴24+m2﹣4m＝24+（﹣4）＝20，
故答案为：20．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
11．（2025 新华区校级开学）已知x＝1是关于x的方程x2+2ax+a2＝3的一个根，则代数式a（a﹣1）+a2+5a的值为　4　 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】4．
【分析】将x＝1代入方程可整理得到a2+2a的值，再整理代数式，为2a2+4a，由此可求．
【解答】解：将x＝1代入方程可得：12+2a×1+a2＝3，即1+2a+a2＝3，
整理可得a2+2a＝2，
∴a（a﹣1）+a2+5a＝a2﹣a+a2+5a＝2a2+4a＝2（a2+2a）＝2×2＝4，
∴代数式a（a﹣1）+a2+5a的值为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查一元二次方程的根的应用以及代数式的化简求值，求解出a2+2a的值是解决本题的关键．
12．（2025 深圳模拟）已知x＝1是关于x的一元二次方程x2﹣ax＝0的一个根，则常数a的值是　1　 ．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝1代入关于x的一元二次方程x2﹣ax＝0，列出关于a的方程，通过解该方程求得a值即可．
【解答】解：由条件可得12﹣a＝0，
解得，a＝1；
故答案为：1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解．熟练掌握该知识点是关键．
13．（2024秋 凉州区校级期末）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0的常数项为0，则m的值是 　﹣1　 ．
【考点】一元二次方程的一般形式；一元二次方程的定义．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】﹣1．
【分析】根据一元二次方程的定义和常数为0，得m﹣1≠0且m2﹣1＝0，进而得出答案．
【解答】解：∵一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0的常数项为0，
∴，
解得：m＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
三．解答题（共2小题）
14．（2025春 宿迁校级期末）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
【考点】一元二次方程的定义；等边三角形的性质．
【专题】一元二次方程及应用；等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】（1）等腰三角形；
（2）x1＝0，x2＝1．
【分析】（1）把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得ca+c﹣2b+a﹣c＝0，整理后根据等腰三角形的判定判断即可；
（2）根据等边三角形的性质得出a＝b＝c，代入方程，即可得出x2﹣x＝0，再解方程即可．
【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形，
理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0，
∴2a＝2b，
∴a＝b，
∴△ABC的形状是等腰三角形；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴a＝b＝c，
∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，
∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0，
即x2﹣x＝0，
解得：x1＝0，x2＝1，
即这个一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，等腰三角形的判定，等边三角形的性质等知识点，能理解一元二方程的解的定义是解（1）的关键，能根据等边三角形的性质得出a＝b＝c是解（2）的关键．
15．（2025春 霍邱县月考）已知实数a是一元二次方程x2﹣2025x+1＝0的一个根，求代数式的值．
【考点】一元二次方程的解．
【专题】方程与不等式；运算能力．
【答案】﹣1．
【分析】由方程的解可得a2﹣2025a+1＝0，可得a2+1＝2025a，a2﹣2024a＝a﹣1，再代入计算即可．
【解答】解：由题意可得：a2﹣2025a+1＝0．
∴a2+1＝2025a，
∴a2﹣2024a＝a﹣1，
∴．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解的含义，正确计算是解题关键．

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