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21.3 实际问题与一元二次方程
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 翠屏区期末）对于两个不相等的实数a，b，我们规定max{a，b}表示a，b中较大的数，如max{1，2}＝2，若已知max{x2，x2﹣4x}＝9，则x的值为（　　）
A．3或﹣3 B．或
C．﹣3或 D．3或
2．（2024秋 平遥县期末）为了推进乡村基础教育高质量发展，某区加大教育经费投入改善办学条件，2022年投入2000万元，预计2023年，2024年两年共投入8000万元．设投入经费的年平均增长率为x，根据题意所列方程是（　　）
A．2000（1+x）2＝8000
B．2000（1+x）+2000（1+x）2＝8000
C．2000（1+x2）＝8000
D．2000+2000（1+x）+2000（1+x）2＝8000
3．（2025 鼓楼区校级模拟）据国家文旅部统计，5月1日全国旅游收入为207.9亿元，5月1日、5月2日和5月3日的全国旅游收入之和为1027.96亿元．若全国旅游收入日平均增长率为x，则可以列出方程为（　　）
A．207.9+207.9（1+x）+207.9（1+x）2＝1027.96
B．207.9（1﹣x）2＝1027.96
C．207.9+207.9（1+x）2＝1027.96
D．207.9（1+x）2＝1027.96
4．（2025春 利津县期末）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握了66次手，设到会的人数为x人，则根据题意列方程为（　　）
A． B．x（x﹣1）＝66
C． D．x（x+1）＝66
5．（2024秋 三台县期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P从点B出发向终点C以每秒1个单位长度移动，点Q从点C出发向终点A以每秒2个单位长度移动，P，Q两点同时出发，一点先到达终点时P，Q两点同时停止，则（　　）秒后，△CPQ的面积等于5．
A．1 B．5 C．1或5 D．2或4
6．（2025 鲤城区校级模拟）某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为x m，则可列方程为（　　）
A．（30﹣x）（20﹣x）20×30
B．（30﹣2x）（20﹣x）20×30
C．30x+2×20x20×30
D．（30﹣2x）（20﹣x）20×30
7．（2024秋 奈曼旗期末）某厂家2023年3～7月生产的机器数量如图所示，设从4月份到6月份，该厂家机器产量的月平均增长率为x，则依据题意可列方程（　　）
A．137（1﹣x）2＝368 B．137（1+x）2＝368
C．180（1﹣x）2＝461 D．180（1+x）2＝461
8．（2024秋 杨陵区期末）在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请x个球队参加比春，则可列的方程为（　　）
A．x（x﹣1）＝28 B．x（x﹣1）＝14
C． D．
二．填空题（共5小题）
9．（2024秋 沁源县期末）山西某中学坚持对学生进行近视眼的防治，近视学生人数逐年减少．据统计，今年的近视学生人数是前年近视学生人数的70%．设这两年平均每年近视学生人数降低的百分率为x，根据题意，可列方程为 　 　 ．
10．（2024秋 滨城区校级期末）一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是31，每个支干长出　 　 个小分支．
11．（2024秋 双台子区期末）如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上拋，那么物体经过x秒离地面的高度（单位：m）为10x﹣4.9x2．根据物理学规律，物体经过　 　 秒落回地面．（结果精确到0.1）
12．（2024秋 交城县期末）自从“双减”政策实施以来，各中小学开展了丰富多彩的活动．某校拟举办一次书法作品展览，要在每张长和宽分别为50cm和80cm的矩形相片周围镶上一圈等宽的彩纸．根据美学观点，彩纸面积为相片面积的时较美观．若所镶彩纸的宽为x cm，根据题意，列方程为 　 　 ．
13．（2024秋 信丰县期末）某服装厂2022年销售额为8亿元，受出口影响，估计2024年销售额降为5.12亿元，设平均每年下降的百分比为x，可列方程为 　 　 ．
三．解答题（共2小题）
14．（2024秋 达州期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若每件衬衫降价4元，则该商场每天可盈利多少元？
（2）若该商场平均每天要盈利1200元，则每件衬衫应降价多少元？
15．（2024秋 石城县期末）老旧小区改造是对建成年代较早、失养失修失管、配套设备等不完善的小区进行综合改造，以提升居民生活质量．如图是县城某小区的一块闲置空地，长32m，宽20m的矩形，现在空地上修如图的三条宽度相等的小路，剩余部分种植花草，使得种花草的面积为570m2，求小路的宽．
21.3 实际问题与一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 翠屏区期末）对于两个不相等的实数a，b，我们规定max{a，b}表示a，b中较大的数，如max{1，2}＝2，若已知max{x2，x2﹣4x}＝9，则x的值为（　　）
A．3或﹣3 B．或
C．﹣3或 D．3或
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】D
【分析】分两种情况：①当x2＞x2﹣4x，即x＞0时，②当x2＜x2﹣4x，即x＜0时，根据定义建立方程，解方程即可得．
【解答】解：①当x2＞x2﹣4x，即x＞0时，则max{x2，x2﹣4x}＝x2＝9，
解得x＝3或x＝﹣3＜0（不符合题设，舍去）；
②当x2＜x2﹣4x，即x＜0时，max{x2，x2﹣4x}＝x2﹣4x＝9，
解得或（不符合题设，舍去）；
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解max{a，b}的定义，正确建立方程是解题关键．
2．（2024秋 平遥县期末）为了推进乡村基础教育高质量发展，某区加大教育经费投入改善办学条件，2022年投入2000万元，预计2023年，2024年两年共投入8000万元．设投入经费的年平均增长率为x，根据题意所列方程是（　　）
A．2000（1+x）2＝8000
B．2000（1+x）+2000（1+x）2＝8000
C．2000（1+x2）＝8000
D．2000+2000（1+x）+2000（1+x）2＝8000
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【答案】B
【分析】设投入经费的年平均增长率为x，则2023年的教育经费为：2000（1+x），2024的教育经费为：2000（1+x）2，由“预计2023年，2024年两年共投入8000万元”列出二次方程即可．
【解答】解：设投入经费的年平均增长率为x，则2023年的教育经费为：2000（1+x），2024的教育经费为：2000（1+x）2，
由题意可得：2000（1+x）+2000（1+x）2＝8000，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解此题的关键．
3．（2025 鼓楼区校级模拟）据国家文旅部统计，5月1日全国旅游收入为207.9亿元，5月1日、5月2日和5月3日的全国旅游收入之和为1027.96亿元．若全国旅游收入日平均增长率为x，则可以列出方程为（　　）
A．207.9+207.9（1+x）+207.9（1+x）2＝1027.96
B．207.9（1﹣x）2＝1027.96
C．207.9+207.9（1+x）2＝1027.96
D．207.9（1+x）2＝1027.96
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】A
【分析】根据5月1日、5月2日和5月3日的全国旅游收入之和为1027.96亿元，列方程即可．
【解答】解：根据题意，可列方程为207.9+207.9（1+x）+207.9（1+x）2＝1027.96．
故选：A．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
4．（2025春 利津县期末）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握了66次手，设到会的人数为x人，则根据题意列方程为（　　）
A． B．x（x﹣1）＝66
C． D．x（x+1）＝66
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】利用握手的总次数＝参会人数×（参会人数﹣1）÷2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：依题意得x（x﹣1）＝66．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．（2024秋 三台县期末）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P从点B出发向终点C以每秒1个单位长度移动，点Q从点C出发向终点A以每秒2个单位长度移动，P，Q两点同时出发，一点先到达终点时P，Q两点同时停止，则（　　）秒后，△CPQ的面积等于5．
A．1 B．5 C．1或5 D．2或4
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】设移动时间为t秒，因为8÷2＝4秒，所以0≤t≤4，列方程得，解方程即可得到答案．
【解答】解：设移动时间为t秒，
∵8÷2＝4秒，
∴0≤t≤4，
根据题意得，
解得t＝1或t＝5（不符合题意，舍去），
∴1秒后，△CPQ的面积等于5，
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列方程是解题的关键．
6．（2025 鲤城区校级模拟）某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为x m，则可列方程为（　　）
A．（30﹣x）（20﹣x）20×30
B．（30﹣2x）（20﹣x）20×30
C．30x+2×20x20×30
D．（30﹣2x）（20﹣x）20×30
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】根据空白区域的面积矩形空地的面积可得．
【解答】解：设花带的宽度为xm，则可列方程为（30﹣2x）（20﹣x）20×30，
故选：B．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系．
7．（2024秋 奈曼旗期末）某厂家2023年3～7月生产的机器数量如图所示，设从4月份到6月份，该厂家机器产量的月平均增长率为x，则依据题意可列方程（　　）
A．137（1﹣x）2＝368 B．137（1+x）2＝368
C．180（1﹣x）2＝461 D．180（1+x）2＝461
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】设从4月份到6月份，该厂家机器产量的月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程即可．
【解答】解：设从4月份到6月份，该厂家机器产量的月平均增长率为x，根据题意得：
180（1+x）2＝461．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．能够根据题意列出方程是解题的关键．
8．（2024秋 杨陵区期末）在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排28场比赛，若邀请x个球队参加比春，则可列的方程为（　　）
A．x（x﹣1）＝28 B．x（x﹣1）＝14
C． D．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】C
【分析】利用比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：28．
故选：C．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
二．填空题（共5小题）
9．（2024秋 沁源县期末）山西某中学坚持对学生进行近视眼的防治，近视学生人数逐年减少．据统计，今年的近视学生人数是前年近视学生人数的70%．设这两年平均每年近视学生人数降低的百分率为x，根据题意，可列方程为 　（1﹣x）2＝70%　 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】（1﹣x）2＝70%．
【分析】设前年近视学生人数为a人，则今年近视学生人数为70%a，利用今年的近视学生人数＝前年的近视学生人数×（1﹣这两年平均每年近视学生人数降低的百分率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设前年近视学生人数为a人，则今年近视学生人数为70%a，
根据题意得：a（1﹣x）2＝70%a，
即（1﹣x）2＝70%．
故答案为：（1﹣x）2＝70%．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10．（2024秋 滨城区校级期末）一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是31，每个支干长出　5　 个小分支．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】设每个支干长出x根小分支，则可表示出主干、支干和小分支的总数，由条件可列出方程，可求得答案．
【解答】解：设每个支干长出x根小分支，
根据题意可得1+x+x2＝31，
解得x＝5或x＝﹣6（舍去），
∴每个支干长出5根小分支，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，找出题目中的等量关系，列出方程是解题的关键．
11．（2024秋 双台子区期末）如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上拋，那么物体经过x秒离地面的高度（单位：m）为10x﹣4.9x2．根据物理学规律，物体经过　2.0　 秒落回地面．（结果精确到0.1）
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】2.0．
【分析】根据物体回落到地面，即10x﹣4.9x2＝0，求解即可．
【解答】解：根据物体落回地面，可得10x﹣4.9x2＝0，
∴x1＝0（舍），．
故答案为：2.0．
【点评】本题考查了一元二次方程的实际运用，列出一元二次方程并求解是解题的关键．
12．（2024秋 交城县期末）自从“双减”政策实施以来，各中小学开展了丰富多彩的活动．某校拟举办一次书法作品展览，要在每张长和宽分别为50cm和80cm的矩形相片周围镶上一圈等宽的彩纸．根据美学观点，彩纸面积为相片面积的时较美观．若所镶彩纸的宽为x cm，根据题意，列方程为 　　 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
【答案】．
【分析】设所镶彩纸的宽为x cm，则大长方形的长和宽分别为（50+2x）cm、（80+2x）cm，再根据彩纸面积为相片面积的列出方程即可．
【解答】解：设所镶彩纸的宽为x cm，则大长方形的长和宽分别为（50+2x）cm、（80+2x）cm，
由题意得，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理彩纸面积为相片面积的是解题的关键．
13．（2024秋 信丰县期末）某服装厂2022年销售额为8亿元，受出口影响，估计2024年销售额降为5.12亿元，设平均每年下降的百分比为x，可列方程为 　8（1﹣x）2＝5.12　 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】8（1﹣x）2＝5.12．
【分析】利用估计该服装厂2024年的销售额＝该服装厂2022年的销售额×（1﹣平均每年下降的百分比）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：8（1﹣x）2＝5.12．
故答案为：8（1﹣x）2＝5.12．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
三．解答题（共2小题）
14．（2024秋 达州期末）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元．为了扩大销售，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若每件衬衫降价4元，则该商场每天可盈利多少元？
（2）若该商场平均每天要盈利1200元，则每件衬衫应降价多少元？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）1008元；
（2）20元．
【分析】（1）根据“每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件”解答即可；
（2）设每件衬衫应降价x元，则平均每天可销售（20+2x）件，根据总利润＝单件利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【解答】解：（1）∵每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，
∴若商场每件降价4元，商场平均每天可多售出2×4＝8（件），
∴每天共盈利（8+20）×（40﹣4）＝1008（元），
答：若每件衬衫降价4元，则商场平均每天可盈利1008元；
（2）设每件衬衫应降价x元，则商场平均每天可销售（20+2x）件，
根据题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20，
∵要扩大销售量，尽量减少库存，
∴x＝20．
答：每件衬衫应降价20元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15．（2024秋 石城县期末）老旧小区改造是对建成年代较早、失养失修失管、配套设备等不完善的小区进行综合改造，以提升居民生活质量．如图是县城某小区的一块闲置空地，长32m，宽20m的矩形，现在空地上修如图的三条宽度相等的小路，剩余部分种植花草，使得种花草的面积为570m2，求小路的宽．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用．
【答案】小路的宽为1米．
【分析】设小路的宽为x米，由题意得根据题意得（32﹣2x）（20﹣x）＝570，然后解方程，并检验即可．
【解答】解：设小路的宽为x米，
根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570，
x2﹣36x+35＝0，
解得x1＝1，x2＝35（舍去），
答：小路的宽为1米．
【点评】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．

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