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22.2 二次函数与一元二次方程
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 三台县期末）关于x的二次函数y＝x2﹣3x+k的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024秋 渭城区校级期末）如图，二次函数y＝x2+x﹣m的图象与x轴的一个交点的横坐标为﹣2，则关于x的一元二次方程（x+1）2+（x+1）﹣m＝0的解是（　　）
A．x1＝0，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝2
C．x1＝﹣1，x2＝﹣4 D．x1＝﹣3，x2＝0
3．（2024秋 平定县期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，且与x轴相交于点（1，0），则方程ax2+bx+c＝0的根为（　　）
A．x1＝1，x2＝﹣3 B．x1＝1，x2＝﹣1
C．x1＝﹣3，x2＝﹣1 D．x1＝x2＝1
4．（2024秋 浉河区期末）若抛物线y＝x2+bx的对称轴是直线x＝2，则关于x的方程x2+bx＝0的解为（　　）
A．x1＝0，x2＝2 B．x1＝0，x2＝4
C．x1＝2，x2＝4 D．x1＝0，x2＝﹣4
5．（2024秋 杨陵区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是一条抛物线，自变量x与函数y的部分对应值如下表：
… ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
… 0 ﹣2 ﹣3 ﹣3 ﹣2 0 …
有下列结论：①抛物线的开口向下；②抛物线的对称轴是直线；③抛物线与x轴的交点坐标为（0，﹣3）；④由抛物线可知ax2+bx+c＜0的解集是﹣2＜x＜3．其中，正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
6．（2024秋 上犹县期末）已知二次函数y＝a（x2+2x）+c，a≠0的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．ac＞0
B．若点P（﹣2，m），都在该抛物线上，则m＜n
C．3a+c＞0
D．方程ax2+（2a+1）x+c＝0，有两个不相等的实数根
7．（2024秋 交城县期末）二次函数y＝ax2+bx+c自变量x与函数值y的对应关系如下表，设一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1，x2，且x1＜x2，则下列说法正确的是（　　）
x ﹣1.5 ﹣1 ﹣0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
y ﹣0.22 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 0.13 ﹣0.22
A．﹣1.5＜x1＜﹣1 B．﹣1＜x1＜﹣0.5
C．0.5＜x2＜1 D．1＜x2＜1.5
8．（2024秋 费县期末）小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数y＝x2（x﹣3）的图象，如图所示．通过观察此图象，下列说法错误的是（　　）
A．点（2，﹣4）在y＝x2（x﹣3）的图象上
B．当0＜x＜2时，y随x的增大而减小
C．x2（x﹣3）＝kx﹣2最多有三个实数根
D．若x＜3，则y＜0
二．填空题（共5小题）
9．（2025 杭州开学）若二次函数y＝3x2+bx+c的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程3x2+bx+c＝0的一个解x1＝3，则另一个解x2＝　 　 ．
10．（2024秋 巴东县期末）抛物线y＝ax2﹣6x﹣1与x轴没有交点，则a的取值范围是　 　 ．
11．（2024秋 奈曼旗期末）如图，将二次函数y＝x2﹣1位于x轴的下方的图象沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（实线部分）．当新函数中函数值y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围是 　 　 ．
12．（2024秋 旬阳市期末）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为﹣5和3，则二次函数y＝ax2+bx+c图象对称轴是直线　 　 ．
13．（2024秋 兴隆台区期末）二次函数与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B，以点C（0，3）为圆心半径为1的⊙C上有一动点D，则△ABD面积的最小值为　 　 ．
三．解答题（共2小题）
14．（2024秋 渭城区校级期末）已知二次函数y＝x2+2mx﹣3（m为常数）．
（1）求二次函数的图象与x轴的公共点的个数；
（2）若点A（1，4）在二次函数的图象上，求二次函数的表达式．
15．（2024秋 铜川期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝2x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A的坐标为（﹣6，0），点B的坐标为（2，0）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）点P是直线AC下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△ACP的面积最大？求此时点P的坐标及△ACP面积的最大值．
22.2 二次函数与一元二次方程
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 三台县期末）关于x的二次函数y＝x2﹣3x+k的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】D
【分析】运用根的判别式Δ＝b2﹣4ac，代入系数，可直接求解．
【解答】解：∵y＝x2﹣3x+k的图象与x轴有两个不同的交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4k＞0，
∴．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，会运用根的判别式去求参数是解题的关键．
2．（2024秋 渭城区校级期末）如图，二次函数y＝x2+x﹣m的图象与x轴的一个交点的横坐标为﹣2，则关于x的一元二次方程（x+1）2+（x+1）﹣m＝0的解是（　　）
A．x1＝0，x2＝3 B．x1＝﹣1，x2＝2
C．x1＝﹣1，x2＝﹣4 D．x1＝﹣3，x2＝0
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】D
【分析】先利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），则方程x2+x﹣m的解为x1＝﹣2，x2＝1，由于关于x的一元二次方程（x+1）2+（x+1）﹣m＝0可看作关于（x+1）的一元二次方程，所以x+1＝﹣2或x+1＝1，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+x﹣m的图象与x轴的一个交点的横坐标为﹣2，
即抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0），
而抛物线解析式为y，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），
即方程x2+x﹣m的解为x1＝﹣2，x2＝1，
∵关于x的一元二次方程（x+1）2+（x+1）﹣m＝0可看作关于（x+1）的一元二次方程，
∴x+1＝﹣2或x+1＝1，
解得x1＝﹣3，x2＝0，
即关于x的一元二次方程（x+1）2+（x+1）﹣m＝0的解为x1＝﹣3，x2＝0．
故选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
3．（2024秋 平定县期末）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1，且与x轴相交于点（1，0），则方程ax2+bx+c＝0的根为（　　）
A．x1＝1，x2＝﹣3 B．x1＝1，x2＝﹣1
C．x1＝﹣3，x2＝﹣1 D．x1＝x2＝1
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质．
【答案】A
【分析】根据抛物线的对称性确定抛物线与x轴的两个交点坐标为（1，0），（﹣3，0），从而得到一元二次方程ax2+bx+c＝0的解．
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点为（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝1，x2＝﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，同时考查了二次函数的性质．
4．（2024秋 浉河区期末）若抛物线y＝x2+bx的对称轴是直线x＝2，则关于x的方程x2+bx＝0的解为（　　）
A．x1＝0，x2＝2 B．x1＝0，x2＝4
C．x1＝2，x2＝4 D．x1＝0，x2＝﹣4
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质．
【答案】B
【分析】利用二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，求得b的值，将b值代入解一元二次方程即可．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，
∴．
∴b＝﹣4．
∴关于x的方程x2+bx＝0为：x2﹣4x＝0．
∴x1＝0，x2＝4．
故选：B．
【点评】本题主要考查了抛物线的性质，一元二次方程的解法，利用二次函数y＝x2+bx的对称轴为直线x＝2，求得b的值是解题的关键．
5．（2024秋 杨陵区期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是一条抛物线，自变量x与函数y的部分对应值如下表：
… ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 …
… 0 ﹣2 ﹣3 ﹣3 ﹣2 0 …
有下列结论：①抛物线的开口向下；②抛物线的对称轴是直线；③抛物线与x轴的交点坐标为（0，﹣3）；④由抛物线可知ax2+bx+c＜0的解集是﹣2＜x＜3．其中，正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】C
【分析】根据表格数据以及二次函数的性质逐项判断即可．
【解答】解：∵当x＝0和x＝1时，y＝﹣3，
∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）对称轴为直线，故②正确；
由表格数据可知，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，
抛物线开口向上，故①错误；
③当x＝0时，y＝﹣3，
则抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与y轴的交点坐标为（0，﹣3），故③错误；
④∵当x＝﹣2和x＝3时，y＝0，
∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（3，0），抛物线开口向上，
∴当﹣2＜x＜3时，y＜0，
∴抛物线ax2+bx+c＜0的解集是﹣2＜x＜3，故④正确．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质：熟练掌握二次函数y＝ax2+bx+c的性质是解决问题的关键．
6．（2024秋 上犹县期末）已知二次函数y＝a（x2+2x）+c，a≠0的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．ac＞0
B．若点P（﹣2，m），都在该抛物线上，则m＜n
C．3a+c＞0
D．方程ax2+（2a+1）x+c＝0，有两个不相等的实数根
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】D
【分析】根据函数解析式，再结合抛物线的性质进行判断即可．
【解答】解：∵y＝a（x2+2x）+c，
∴y＝ax2+2ax+c，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0；
由图象可知：抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，
∴c＞0；
∴ac＜0，
故选项A错误；
∵抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下，
∵﹣1﹣（﹣2）＝1＜0.5﹣（﹣1）＝1.5，
∴m＞n，
故选项B错误；
由图象知，当x＝1时，y＜0，
即a+2a+c＝3a+c＜0，
故选项C错误；
由图可知：y＝ax2+2ax+c与直线y＝﹣x有两个交点，
ax2+2ax+c＝﹣x，
ax2+2ax+c+x＝0，
ax2+（2a+1）x+c＝0，
故方程ax2+（2a+1）x+c＝0有两个不相等的实数根，
选项D正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
7．（2024秋 交城县期末）二次函数y＝ax2+bx+c自变量x与函数值y的对应关系如下表，设一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1，x2，且x1＜x2，则下列说法正确的是（　　）
x ﹣1.5 ﹣1 ﹣0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5
y ﹣0.22 0.13 0.38 0.53 0.58 0.53 0.38 0.13 ﹣0.22
A．﹣1.5＜x1＜﹣1 B．﹣1＜x1＜﹣0.5
C．0.5＜x2＜1 D．1＜x2＜1.5
【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式；根与系数的关系；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】A
【分析】根据表格找出y的值接近0时对应的x的值的取值范围，从而分析求解．
【解答】解：由表格可得：
当﹣1.5＜x＜﹣1时，﹣0.22＜y＜0.13；
当2＜x＜2.5时，﹣0.22＜y＜0.13，
又∵一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1，x2，且x1＜x2，
∴﹣1.5＜x1＜﹣1，2＜x2＜2.5，
故选：A．
【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，结合表格中的数据找出方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解的近似值是解题的关键．
8．（2024秋 费县期末）小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数y＝x2（x﹣3）的图象，如图所示．通过观察此图象，下列说法错误的是（　　）
A．点（2，﹣4）在y＝x2（x﹣3）的图象上
B．当0＜x＜2时，y随x的增大而减小
C．x2（x﹣3）＝kx﹣2最多有三个实数根
D．若x＜3，则y＜0
【考点】抛物线与x轴的交点；根的判别式；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】平面直角坐标系；二次函数图象及其性质；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】D
【分析】依据题意，根据函数的图象逐个分析判断可以得解．
【解答】解：由题意，对于A，当x＝2时，y＝﹣4，
∴点（2，﹣4）在y＝x2（x﹣3）的图象上，故选项A正确；
对于B，结合图象可得，当0＜x＜2时，y随x的增大而减小，故选项B正确．
对于C，∵函数y＝x2（x﹣3）与直线y＝kx﹣2k＝k（x﹣2）的交点如图所示，
∴函数y＝x3﹣3x2与直线y＝kx﹣2k＝k（x﹣2）的交点最多3个．
∴方程x2（x﹣3）＝kx﹣2最多有三个实数根，故选项C正确；
对于D，结合图象可得 若x＜3，则y≤0，故D选项错误；
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的图象与性质，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
二．填空题（共5小题）
9．（2025 杭州开学）若二次函数y＝3x2+bx+c的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程3x2+bx+c＝0的一个解x1＝3，则另一个解x2＝　﹣1　 ．
【考点】抛物线与x轴的交点；根与系数的关系．
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．
【答案】﹣1．
【分析】根据二次函数的图象与x轴的交点关于对称轴对称，可直接求出x2的值．
【解答】解：∵二次函数y＝3x2+bx+c关于x的一元二次方程3x2+bx+c＝0的一个解x1＝3，另一个解为x2，对称轴为直线x＝1，
∴1，
解得：x2＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，根与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
10．（2024秋 巴东县期末）抛物线y＝ax2﹣6x﹣1与x轴没有交点，则a的取值范围是　a＜﹣9　 ．
【考点】抛物线与x轴的交点．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】a＜﹣9．
【分析】根据抛物线y＝ax2﹣6x﹣1与x轴没有交点，可知当y＝0时，方程ax2﹣6x﹣1＝0没有实数根，则Δ＜0，从而可以求得a的取值范围．
【解答】解：由题意可得：当y＝0时，方程ax2﹣6x﹣1＝0没有实数根，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4×a×（﹣1）＜0，a≠0，
解得，a＜﹣9，
故答案为：a＜﹣9．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点问题，正确记忆相关知识点是解题关键．
11．（2024秋 奈曼旗期末）如图，将二次函数y＝x2﹣1位于x轴的下方的图象沿x轴翻折，得到一个新函数的图象（实线部分）．当新函数中函数值y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围是 　﹣1≤x≤0或x≥1　 ．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】﹣1≤x≤0或x≥1．
【分析】先求得y＝|x2﹣1|与x轴的交点坐标，根据图象求得答案即可．
【解答】解：由题意可得：新函数的解析式为y＝|x2﹣1|．
∴当y＝0时，|x2﹣1|＝0，
解得x＝1或﹣1，
根据函数图象可得：当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的范围是﹣1≤x≤0或x≥1．
故答案为：﹣1≤x≤0或x≥1．
【点评】本题考查了二次函数与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，正确记忆相关知识点是解题关键．
12．（2024秋 旬阳市期末）已知一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为﹣5和3，则二次函数y＝ax2+bx+c图象对称轴是直线　x＝﹣1　 ．
【考点】抛物线与x轴的交点；根与系数的关系；二次函数的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据一元二次方程的两根得出抛物线与x轴的交点，再利用二次函数的对称性可得答案．
【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为﹣5和3，
∴二次函数y＝ax2+bx+c图象与x轴的交点为（﹣5，0）和（3，0），
由抛物线的对称性知抛物线的对称轴为x1，
故答案为：x＝﹣1．
【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握抛物线与x轴交点坐标与对应一元二次方程间的关系及抛物线的对称性．
13．（2024秋 兴隆台区期末）二次函数与x轴的正半轴交于点A，与y轴交于点B，以点C（0，3）为圆心半径为1的⊙C上有一动点D，则△ABD面积的最小值为　5　 ．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【专题】与圆有关的位置关系；运算能力．
【答案】．
【分析】连接AC，过点C作CE⊥AB于E，先求出A，B的坐标，根据面积得S△ABCBC OAAB CE，求出C到AB的距离CE，再确定点D到AB的最小距离，最后即可求出△ABD面积的最小值．
【解答】解：如图，连接AC，过点C作CE⊥AB于E，
对于抛物线，
令y＝0，，
x2＝2，
x2＝4，
∴x＝±2，
∴A（2，0），
令x＝0，y＝﹣2，则B（0，﹣2），
∴，
∵点C（0，3），
∴BC＝3﹣（﹣2）＝5，
∵，
∴，即点C到AB的距离为，
∵CD＝1，
∴点D到AB的最小距离为1，
∴△ABD的面积的最小值25，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数的性质，三角形的面积公式，点到直线的距离，求出圆心C到AB的距离是解本题的关键．
三．解答题（共2小题）
14．（2024秋 渭城区校级期末）已知二次函数y＝x2+2mx﹣3（m为常数）．
（1）求二次函数的图象与x轴的公共点的个数；
（2）若点A（1，4）在二次函数的图象上，求二次函数的表达式．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式．
【专题】二次函数图象及其性质．
【答案】（1）二次函数的图象与x轴有2个公共点；
（2）y＝x2+6x﹣3．
【分析】（1）令y＝0，则：x2+2mx﹣3＝0，利用根的判别式判定一元二次方程x2+2mx﹣3＝0根的情况，即可得出结论；
（2）用待定系数法求出抛物线解析式即可．
【解答】解：（1）令y＝0，则x2+2mx﹣3＝0，
由题意知：a＝1，b＝2m，c＝﹣3，
∴Δ＝（2m）2﹣4×1×（﹣3）＝4m2+12＞0，
∴关于x的一元二次方程x2+2mx﹣3＝0有两个不相等的实数根，
∴二次函数的图象与x轴有2个公共点；
（2）将点A（1，4）代入y＝x2+2mx﹣3中得，
4＝12+2m﹣3，
解得：m＝3，
∴二次函数的表达式为y＝x2+6x﹣3．
【点评】本题考查抛物线与x轴交点问题，待定系数法求抛物线解析式．熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系和待定系数法求抛物线解析式是解题的关键．
15．（2024秋 铜川期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝2x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点A的坐标为（﹣6，0），点B的坐标为（2，0）．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）点P是直线AC下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△ACP的面积最大？求此时点P的坐标及△ACP面积的最大值．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】（1）y＝2x2+8x﹣24；
（2）S△ACP的最大值为54，此时点P坐标为（﹣3，﹣30）．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求得点C坐标，再求得直线AC的函数表达式为y＝﹣4x﹣24，过P作y轴的平行线交AC于H，设P（m，2m2+8m﹣24），则H（m，﹣4m﹣24），﹣6＜m＜0，利用坐标与图形性质得到，利用二次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵A（﹣6，0），B（2，0），
∴，
解得，
∴y＝2x2+8x﹣24；
（2）∵y＝2x2+8x﹣24，
当x＝0时，y＝﹣24，
∴C（0，﹣24），
设直线AC的函数表达式为y＝kx﹣24，
将（﹣6，0）代入，得﹣6k﹣24＝0，解得k＝﹣4，
∴直线AC的函数表达式为y＝﹣4x﹣24，
过P作y轴的平行线交AC于H，如图，
设P（m，2m2+8m﹣24），则H（m，﹣4m﹣24），﹣6＜m＜0，
∴PH＝﹣4m﹣24﹣（2m2+8m﹣24）＝﹣4m﹣24﹣2m2﹣8m+24＝﹣2m2﹣12m，
∴，
∵﹣6＜0，﹣6＜m＜0，
∴当m＝﹣3时，S△ACP有最大值，最大值为54，此时点P坐标为（﹣3，﹣30）．
【点评】本题考查二次函数的综合，涉及待定系数法求函数表达式、二次函数的图象与性质、坐标与图形等知识，正确求得函数表达式是解答的关键．

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